función cuasiconvexa

Función matemática con conjuntos de nivel inferior convexos.

Una función cuasiconvexa que no es convexa

Una función que no es cuasiconvexa: el conjunto de puntos en el dominio de la función cuyos valores de función están por debajo de la línea roja discontinua es la unión de los dos intervalos rojos, que no es un conjunto convexo.

La función de densidad de probabilidad de la distribución normal es cuasicóncava pero no cóncava.

La densidad articular normal bivariada es cuasicóncava.

En matemáticas , una función cuasiconvexa es una función con valor real definida en un intervalo o en un subconjunto convexo de un espacio vectorial real de manera que la imagen inversa de cualquier conjunto de la forma es un conjunto convexo . Para una función de una sola variable, a lo largo de cualquier tramo de la curva, el punto más alto es uno de los puntos finales. El negativo de una función cuasiconvexa se dice que es cuasicóncavo . ${\displaystyle (-\infty ,a)}$

La cuasiconvexidad es una propiedad más general que la convexidad en el sentido de que todas las funciones convexas también son cuasiconvexas, pero no todas las funciones cuasiconvexas son convexas. Las funciones unimodales univariadas son cuasiconvexas o cuasicóncavas; sin embargo, este no es necesariamente el caso de funciones con múltiples argumentos . Por ejemplo, la función de Rosenbrock bidimensional es unimodal pero no cuasiconvexa y las funciones con conjuntos de subniveles estrella-convexos pueden ser unimodales sin ser cuasiconvexas.

Definición y propiedades

Una función definida en un subconjunto convexo de un espacio vectorial real es cuasiconvexa si para todos y tenemos ${\displaystyle f:S\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle x,y\in S}$ ${\displaystyle \lambda \in [0,1]}$

${\displaystyle f(\lambda x+(1-\lambda )y)\leq \max {\big \{}f(x),f(y){\big \}}.}$

En palabras, si es tal que siempre es cierto que un punto directamente entre otros dos puntos no da un valor de función más alto que el de los otros dos puntos, entonces es cuasiconvexo. Tenga en cuenta que los puntos y , y el punto directamente entre ellos, pueden ser puntos en una línea o, más generalmente, puntos en un espacio de n dimensiones. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$

Una función cuasilineal es a la vez cuasiconvexa y cuasicóncava.

La gráfica de una función que es a la vez cóncava y cuasiconvexa en números reales no negativos.

Una forma alternativa (ver introducción) de definir una función cuasiconvexa es exigir que cada conjunto de subniveles sea un conjunto convexo. ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle S_{\alpha }(f)=\{x\mid f(x)\leq \alpha \}}$

si además

${\displaystyle f(\lambda x+(1-\lambda )y)<\max {\big \{}f(x),f(y){\big \}}}$

para todos y , entonces es estrictamente cuasiconvexo . Es decir, la cuasiconvexidad estricta requiere que un punto directamente entre otros dos puntos dé un valor de función más bajo que uno de los otros puntos. ${\displaystyle x\neq y}$ ${\displaystyle \lambda \in (0,1)}$ ${\displaystyle f}$

Una función cuasicóncava es una función cuyo negativo es cuasiconvexo, y una función estrictamente cuasicóncava es una función cuyo negativo es estrictamente cuasiconvexo. De manera equivalente, una función es cuasicóncava si ${\displaystyle f}$

${\displaystyle f(\lambda x+(1-\lambda )y)\geq \min {\big \{}f(x),f(y){\big \}}.}$

y estrictamente cuasicóncavo si

${\displaystyle f(\lambda x+(1-\lambda )y)>\min {\big \{}f(x),f(y){\big \}}}$

Una función (estrictamente) cuasiconvexa tiene conjuntos de contornos inferiores (estrictamente) convexos, mientras que una función (estrictamente) cuasicóncava tiene conjuntos de contornos superiores (estrictamente) convexos .

Una función que es a la vez cuasiconvexa y cuasicóncava es cuasilineal .

Un caso particular de cuasiconcavidad, si , es la unimodalidad , en la que hay un valor localmente máximo. ${\displaystyle S\subset \mathbb {R} }$

Aplicaciones

Las funciones cuasiconvexas tienen aplicaciones en análisis matemático , optimización matemática y teoría de juegos y economía .

Optimización matemática

En optimización no lineal , la programación cuasiconvexa estudia métodos iterativos que convergen a un mínimo (si existe) para funciones cuasiconvexas. La programación cuasiconvexa es una generalización de la programación convexa . ^[1] La programación cuasiconvexa se utiliza en la solución de problemas duales "sustitutos" , cuyos biduales proporcionan cierres cuasiconvexos del problema primario, que por lo tanto proporcionan límites más estrechos que los cierres convexos proporcionados por los problemas duales lagrangianos . ^[2] En teoría , los problemas de programación cuasiconvexa y convexa se pueden resolver en un tiempo razonable, donde el número de iteraciones crece como un polinomio en la dimensión del problema (y en el recíproco del error de aproximación tolerado); ^{[3] sin embargo, estos métodos teóricamente "eficientes" utilizan} reglas de tamaño de paso de "series divergentes" , que se desarrollaron por primera vez para métodos clásicos de subgradiente . Los métodos subgradientes clásicos que utilizan reglas de series divergentes son mucho más lentos que los métodos modernos de minimización convexa, como los métodos de proyección subgradiente, los métodos de descenso de paquetes y los métodos de filtro no suaves.

Economía y ecuaciones diferenciales parciales: teoremas Minimax

En microeconomía , las funciones de utilidad cuasicóncavas implican que los consumidores tienen preferencias convexas . Las funciones cuasiconvexas también son importantes en la teoría de juegos , la organización industrial y la teoría del equilibrio general , particularmente para las aplicaciones del teorema minimax de Sion . Generalizando un teorema minimax de John von Neumann , el teorema de Sion también se utiliza en la teoría de ecuaciones diferenciales parciales .

Preservación de la cuasiconvexidad.

Operaciones que preservan la cuasiconvexidad.

• El máximo de funciones cuasiconvexas (es decir , ) es cuasiconvexa. De manera similar, el máximo de funciones cuasiconvexas estrictas es cuasiconvexa estricta. ^[4] De manera similar, el mínimo de funciones cuasicóncavas es cuasicóncavo, y el mínimo de funciones estrictamente cuasicóncavas es estrictamente cuasicóncavo. ${\displaystyle f=\max \left\lbrace f_{1},\ldots ,f_{n}\right\rbrace }$
• composición con función no decreciente: cuasiconvexa, no decreciente, luego es cuasiconvexa. De manera similar, si es cuasicóncavo, no decreciente, entonces es cuasicóncavo. ${\displaystyle g:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} }$ ${\displaystyle h:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f=h\circ g}$ ${\displaystyle g:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} }$ ${\displaystyle h:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f=h\circ g}$
• minimización (es decir , cuasiconvexo, conjunto convexo, luego es cuasiconvexo) ${\displaystyle f(x,y)}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle h(x)=\inf _{y\in C}f(x,y)}$

Operaciones que no preservan la cuasiconvexidad

• La suma de funciones cuasiconvexas definidas en el mismo dominio no tiene por qué ser cuasiconvexa: en otras palabras, si son cuasiconvexas, entonces no es necesario que lo sean. ${\displaystyle f(x),g(x)}$ ${\displaystyle (f+g)(x)=f(x)+g(x)}$
• La suma de funciones cuasiconvexas definidas en diferentes dominios (es decir, si son cuasiconvexas ) no tiene por qué ser cuasiconvexa. Estas funciones se denominan "descompuestas aditivamente" en economía y "separables" en optimización matemática . ${\displaystyle f(x),g(y)}$ ${\displaystyle h(x,y)=f(x)+g(y)}$

Ejemplos

• Toda función convexa es cuasiconvexa.
• Una función cóncava puede ser cuasiconvexa. Por ejemplo, es a la vez cóncavo y cuasiconvexo. ${\displaystyle x\mapsto \log(x)}$
• Cualquier función monótona es a la vez cuasiconvexa y cuasicóncava. De manera más general, una función que disminuye hasta un punto y aumenta a partir de ese punto es cuasiconvexa (compárese con unimodalidad ).
• La función suelo es un ejemplo de función cuasiconvexa que no es ni convexa ni continua. ${\displaystyle x\mapsto \lfloor x\rfloor }$

Ver también

• función convexa
• función cóncava
• Función logarítmicamente cóncava
• Pseudoconvexidad en el sentido de varias variables complejas (no convexidad generalizada)
• función pseudoconvexa
• función invex
• Concavificación

Referencias

1. Di Guglielmo (1977, págs. 287–288): Di Guglielmo, F. (1977). "Dualidad no convexa en optimización multiobjetivo". Matemáticas de la Investigación de Operaciones . 2 (3): 285–291. doi :10.1287/moor.2.3.285. JSTOR  3689518. SEÑOR  0484418.
2. Di Guglielmo, F. (1981). "Estimaciones de la brecha de dualidad para problemas de optimización discretos y cuasiconvexos". En Schaible, Siegfried; Ziemba, William T. (eds.). Concavidad generalizada en optimización y economía: Actas del Instituto de Estudios Avanzados de la OTAN celebradas en la Universidad de Columbia Británica, Vancouver, BC, del 4 al 15 de agosto de 1980 . Nueva York: Academic Press, Inc. [Harcourt Brace Jovanovich, Editores]. págs. 281–298. ISBN 0-12-621120-5. SEÑOR  0652702.
3. Kiwiel, Krzysztof C. (2001). "Convergencia y eficiencia de métodos subgradientes para minimización cuasiconvexa". Programación Matemática, Serie A. 90 (1). Berlín, Heidelberg: Springer: 1–25. doi :10.1007/PL00011414. ISSN  0025-5610. SEÑOR  1819784. S2CID  10043417.Kiwiel reconoce que Yuri Nesterov fue el primero en establecer que los problemas de minimización cuasiconvexos se pueden resolver de manera eficiente.
4. Johansson, Edvard; Petersson, David (2016). Optimización de parámetros para soluciones de equilibrio de sistemas de acción de masas (tesis de maestría). págs. 13-14 . Consultado el 26 de octubre de 2016 .

• Avriel, M., Diewert, WE, Schaible, S. y Zang, I., Concavidad generalizada , Plenum Press, 1988.
• Crouzeix, J.-P. (2008). "Cuasiconcavidad". En Durlauf, Steven N.; Blume, Lawrence E (eds.). Diccionario de economía New Palgrave (Segunda ed.). Palgrave Macmillan. págs. 815–816. doi :10.1057/9780230226203.1375. ISBN 978-0-333-78676-5.
• Singer, Ivan Análisis convexo abstracto . Serie de monografías y textos avanzados de la Sociedad Canadiense de Matemáticas. Una publicación de Wiley-Interscience. John Wiley & Sons, Inc., Nueva York, 1997. xxii+491 págs.  ISBN 0-471-16015-6 

enlaces externos

• SION, M., "Sobre los teoremas generales del minimax", Pacific J. Math. 8 (1958), 171-176.
• Glosario de programación matemática
• Funciones cóncavas y cuasi cóncavas - por Charles Wilson, Departamento de Economía de la Universidad de Nueva York
• Cuasiconcavidad y cuasiconvexidad - por Martin J. Osborne, Departamento de Economía de la Universidad de Toronto