Pseudoconvexidad

En matemáticas , más precisamente en la teoría de funciones de varias variables complejas , un conjunto pseudoconvexo es un tipo especial de conjunto abierto en el espacio complejo n -dimensional C ⁿ . Los conjuntos pseudoconvexos son importantes, ya que permiten la clasificación de dominios de holomorfía .

Dejar

${\displaystyle G\subset {\mathbb {C} }^{n}}$

sea ​​un dominio, es decir, un subconjunto abierto y conexo . Se dice que es pseudoconvexo (o pseudoconvexo de Hartog ) si existe una función plurisubarmónica continua en tal que el conjunto ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle G}$

${\displaystyle \{z\in G\mid \varphi (z)<x\}}$

es un subconjunto relativamente compacto de para todos los números reales En otras palabras, un dominio es pseudoconvexo si tiene una función de agotamiento plurisubarmónica continua. Todo conjunto (geométricamente) convexo es pseudoconvexo. Sin embargo, hay dominios pseudoconvexos que no son geométricamente convexos. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle x.}$ ${\displaystyle G}$

Cuando tiene un límite (dos veces continuamente diferenciable ) , esta noción es la misma que la pseudoconvexidad de Levi, con la que es más fácil trabajar. Más específicamente, con un límite, se puede demostrar que tiene una función definitoria, es decir, que existe que es tal que , y . Ahora, es pseudoconvexa si y solo si para cada y en el espacio tangente complejo en p, es decir, ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle C^{2}}$ ${\displaystyle C^{2}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \rho :\mathbb {C} ^{n}\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle C^{2}}$ ${\displaystyle G=\{\rho <0\}}$ ${\displaystyle \partial G=\{\rho =0\}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle p\in \partial G}$ ${\displaystyle w}$

${\displaystyle \nabla \rho (p)w=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial \rho (p)}{\partial z_{j}}}w_{j}=0}$, tenemos

${\displaystyle \sum _{i,j=1}^{n}{\frac {\partial ^{2}\rho (p)}{\partial z_{i}\partial {\bar {z_{j}}}}}w_{i}{\bar {w_{j}}}\geq 0.}$

La definición anterior es análoga a las definiciones de convexidad en el análisis real.

Si no tiene límite, el siguiente resultado de aproximación puede ser útil. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle C^{2}}$

Proposición 1 Si es pseudoconvexo, entonces existen dominios pseudoconvexos de Levi fuertemente acotados con un borde ( suave ) que son relativamente compactos en , tales que ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G_{k}\subset G}$ ${\displaystyle C^{\infty }}$ ${\displaystyle G}$

${\displaystyle G=\bigcup _{k=1}^{\infty }G_{k}.}$

Esto se debe a que una vez que tenemos un as en la definición, en realidad podemos encontrar una función de agotamiento C ^∞ . ${\displaystyle \varphi }$

El casonorte= 1

En una dimensión compleja, todo dominio abierto es pseudoconvexo. Por lo tanto, el concepto de pseudoconvexidad es más útil en dimensiones superiores a 1.

Véase también

• Poliedro analítico
• Eugenio Elia Levi
• Cáscara holomórficamente convexa
• Colector Stein

Referencias

• Bremermann, HJ (1956). "Convexidad compleja". Transacciones de la American Mathematical Society . 82 (1): 17–51. doi : 10.1090/S0002-9947-1956-0079100-2 . JSTOR  1992976.
• Lars Hörmander , Introducción al análisis complejo en varias variables , Holanda Septentrional, 1990. ( ISBN 0-444-88446-7 ). 
• Steven G. Krantz. Teoría de funciones de varias variables complejas , AMS Chelsea Publishing, Providence, Rhode Island, 1992.
• Siu, Yum-Tong (1978). "Pseudoconvexidad y el problema de Levi". Boletín de la Sociedad Matemática Americana . 84 (4): 481–513. doi : 10.1090/S0002-9904-1978-14483-8 . MR  0477104.
• Catlin, David (1983). "Condiciones necesarias para la subelipticidad del problema de ∂ ¯ {\displaystyle {\bar {\partial }}} -Neumann". Anales de Matemáticas . 117 (1): 147–171. doi :10.2307/2006974. JSTOR  2006974.
• Zimmer, Andrew (2019). "Caracterización de la pseudoconvexidad fuerte, obstrucciones a los biholomorfismos y exponentes de Lyapunov". Mathematische Annalen . 374 (3–4): 1811–1844. arXiv : 1703.01511 . doi :10.1007/s00208-018-1715-7. S2CID  253714537.
• Fornæss, John; Wold, Erlend (2018). "Un dominio no estrictamente pseudoconvexo para el cual la función de compresión tiende a 1 hacia el límite". Revista del Pacífico de Matemáticas . 297 : 79–86. arXiv : 1611.04464 . doi :10.2140/pjm.2018.297.79. S2CID  119149200.

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Enlaces externos

• Range, R. Michael (febrero de 2012), "¿QUÉ ES... un dominio pseudoconvexo?" (PDF) , Notices of the American Mathematical Society , 59 (2): 301–303, doi : 10.1090/noti798
• "Pseudoconvexo y pseudocóncavo", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]