Epígrafe (matemáticas)

Epígrafe de una función

Una función (en negro) es convexa si y sólo si la región encima de su gráfica (en verde) es un conjunto convexo . Esta región es el epígrafe de la función.

En matemáticas , el epígrafe o supergrafo ^[1] de una función valorada en los números reales extendidos es el conjunto ${\displaystyle f:X\to [-\infty ,\infty ]}$ ${\displaystyle [-\infty ,\infty ]=\mathbb {R} \cup \{\pm \infty \}}$

$${\displaystyle \operatorname {epi} f=\{(x,r)\in X\times \mathbb {R} ~:~r\geq f(x)\}}$$

producto cartesiano que se encuentran sobre o encima de la gráfica^[2]epígrafe estricto ${\displaystyle X\times \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \operatorname {epi} _{S}f}$ ${\displaystyle X\times \mathbb {R} }$

Es importante destacar que, a diferencia del gráfico, el epígrafe siempre consta enteramente de puntos (esto es cierto para el gráfico sólo cuando tiene un valor real). Si la función toma como valor entonces no será un subconjunto de su epígrafe. Por ejemplo, si entonces el punto pertenecerá pero no a. Sin embargo, estos dos conjuntos están estrechamente relacionados porque el gráfico siempre se puede reconstruir a partir del epígrafe, y viceversa. . ${\displaystyle f,}$ ${\displaystyle X\times \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \pm \infty }$ ${\displaystyle \operatorname {graph} f}$ ${\displaystyle \operatorname {epi} f.}$ ${\displaystyle f\left(x_{0}\right)=\infty }$ ${\displaystyle \left(x_{0},f\left(x_{0}\right)\right)=\left(x_{0},\infty \right)}$ ${\displaystyle \operatorname {graph} f}$ ${\displaystyle \operatorname {epi} f.}$

El estudio de funciones continuas de valores reales en análisis real ha estado tradicionalmente muy asociado al estudio de sus gráficas , que son conjuntos que proporcionan información geométrica (e intuición) sobre dichas funciones. ^[2] Los epígrafes tienen el mismo propósito en los campos del análisis convexo y el análisis variacional , en los que el enfoque principal está en funciones convexas valoradas en en lugar de funciones continuas valoradas en un espacio vectorial (como o ). ^[2] Esto se debe a que, en general, para tales funciones, la intuición geométrica se obtiene más fácilmente a partir del epígrafe de una función que de su gráfica. ^[2] De manera similar a cómo se usan los gráficos en el análisis real, el epígrafe a menudo se puede usar para dar interpretaciones geométricas de las propiedades de una función convexa , para ayudar a formular o probar hipótesis o para ayudar en la construcción de contraejemplos . ${\displaystyle [-\infty ,\infty ]}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$

Definición

La definición del epígrafe se inspiró en la de la gráfica de una función , donde laLa gráfica dese define como el conjunto. ${\displaystyle f:X\to Y}$

$${\displaystyle \operatorname {graph} f:=\{(x,y)\in X\times Y~:~y=f(x)\}.}$$

Elepígrafe oel supergrafo de una función valorada en losnúmeros reales extendidoses el conjunto^[2] ${\displaystyle f:X\to [-\infty ,\infty ]}$ ${\displaystyle [-\infty ,\infty ]=\mathbb {R} \cup \{\pm \infty \}}$

$${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}\operatorname {epi} f&=\{(x,r)\in X\times \mathbb {R} ~:~r\geq f(x)\}\\&=\left[f^{-1}(-\infty )\times \mathbb {R} \right]\cup \bigcup _{x\in f^{-1}(\mathbb {R} )}(\{x\}\times [f(x),\infty ))\end{alignedat}}}$$

En la unión over que aparece arriba en el lado derecho de la última línea, el conjunto puede interpretarse como un "rayo vertical" que consta de todos los puntos "directamente encima" de él. De manera similar, el conjunto de puntos sobre o debajo de la gráfica de una función es su ${\displaystyle x\in f^{-1}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle \{x\}\times [f(x),\infty )}$ ${\displaystyle (x,f(x))}$ ${\displaystyle X\times \mathbb {R} }$hipógrafo .

Elepígrafe estricto es el epígrafe sin el gráfico:

$${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}\operatorname {epi} _{S}f&=\{(x,r)\in X\times \mathbb {R} ~:~r>f(x)\}\\&=\operatorname {epi} f\setminus \operatorname {graph} f\\&=\bigcup _{x\in X}\left(\{x\}\times (f(x),\infty )\right)\end{alignedat}}}$$

Relaciones con otros conjuntos

A pesar de que podría tomar uno (o ambos) de como valor (en cuyo caso su gráfico no sería un subconjunto de ), el epígrafe de se define como un subconjunto de en lugar de de Esto es intencional porque cuando es un El espacio vectorial entonces también lo es, pero nunca es un espacio vectorial ^[2] (ya que la recta de números reales extendida no es un espacio vectorial). Esta deficiencia permanece incluso si en lugar de ser un espacio vectorial, es simplemente un subconjunto no vacío de algún espacio vectorial. El epígrafe, al ser un subconjunto de un espacio vectorial, permite aplicar más fácilmente herramientas relacionadas con el análisis real y el análisis funcional (y otros campos). ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \pm \infty }$ ${\displaystyle X\times \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X\times \mathbb {R} }$ ${\displaystyle X\times [-\infty ,\infty ].}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X\times \mathbb {R} }$ ${\displaystyle X\times [-\infty ,\infty ]}$ ${\displaystyle [-\infty ,\infty ]}$ ${\displaystyle X\times [-\infty ,\infty ]}$ ${\displaystyle X}$

El dominio (más que el codominio ) de la función no es particularmente importante para esta definición; puede ser cualquier espacio lineal ^[1] o incluso un conjunto arbitrario ^[3] en lugar de . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

El epígrafe estricto y el gráfico siempre están separados. ${\displaystyle \operatorname {epi} _{S}f}$ ${\displaystyle \operatorname {graph} f}$

El epígrafe de una función está relacionado con su gráfica y su epígrafe estricto por ${\displaystyle f:X\to [-\infty ,\infty ]}$

$${\displaystyle \,\operatorname {epi} f\,\subseteq \,\operatorname {epi} _{S}f\,\cup \,\operatorname {graph} f}$$

${\displaystyle f}$

$${\displaystyle \operatorname {epi} f=\left[\operatorname {epi} _{S}f\,\cup \,\operatorname {graph} f\right]\,\cap \,[X\times \mathbb {R} ]}$$

Reconstrucción de funciones a partir de epígrafes.

El epígrafe está vacío si y sólo si la función es idénticamente igual al infinito.

Así como cualquier función se puede reconstruir a partir de su gráfica, también se puede reconstruir cualquier función extendida de valor real a partir de su epígrafe (incluso cuando toma como valor). Dado el valor se puede reconstruir a partir de la intersección de con la "línea vertical" que pasa de la siguiente manera: ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle E:=\operatorname {epi} f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \pm \infty }$ ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle E\cap (\{x\}\times \mathbb {R} )}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \{x\}\times \mathbb {R} }$ ${\displaystyle x}$

• Caso 1: si y sólo si ${\displaystyle E\cap (\{x\}\times \mathbb {R} )=\varnothing }$ ${\displaystyle f(x)=\infty ,}$
• Caso 2: si y sólo si ${\displaystyle E\cap (\{x\}\times \mathbb {R} )=\{x\}\times \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f(x)=-\infty ,}$
• caso 3: en caso contrario, es necesariamente de la forma a partir de la cual se puede obtener el valor de tomando el mínimo del intervalo. ${\displaystyle E\cap (\{x\}\times \mathbb {R} )}$ ${\displaystyle \{x\}\times [f(x),\infty ),}$ ${\displaystyle f(x)}$

Las observaciones anteriores se pueden combinar para dar una fórmula única para en términos de Específicamente, para cualquier ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle E:=\operatorname {epi} f.}$ ${\displaystyle x\in X,}$

$${\displaystyle f(x)=\inf _{}\{r\in \mathbb {R} ~:~(x,r)\in E\}}$$

${\displaystyle \inf _{}\varnothing :=\infty .}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle E:=\operatorname {epi} _{S}f.}$

Relaciones entre propiedades de funciones y sus epígrafes.

Una función es convexa si y sólo si su epígrafe es un conjunto convexo . El epígrafe de una función afín real es un medio espacio en ${\displaystyle g:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n+1}.}$

Una función es semicontinua inferior si y sólo si su epígrafe es cerrado .

Ver también

• Dominio efectivo
• Hipógrafo (matemáticas)  – Término de análisis matemáticoPáginas que muestran descripciones de wikidata como alternativa
• Función convexa adecuada

Citas

1. Pekka Neittaanmäki; Sergey R. Repin (2004). Métodos confiables para simulación por computadora: control de errores y estimaciones a posteriori. Elsevier. pag. 81.ISBN​ 978-0-08-054050-4.
2. Rockafellar & Wets 2009, págs. 1–37.
3. Charalambos D. Aliprantis; Kim C. Frontera (2007). Análisis dimensional infinito: una guía para el autoestopista (3ª ed.). Medios de ciencia y negocios de Springer. pag. 8.ISBN​ 978-3-540-32696-0.

Referencias

• Rockafellar, R. Tyrrell ; Wets, Roger J.-B. (26 de junio de 2009). Análisis variacional . Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. vol. 317. Berlín Nueva York: Springer Science & Business Media . ISBN 9783642024313. OCLC  883392544.
• Rockafellar, Ralph Tyrell (1996), Análisis convexo , Princeton University Press, Princeton, Nueva Jersey. ISBN 0-691-01586-4 .