Teorema del valor extremo

Continuous real function on a closed interval has a maximum and a minimum

Una función continua en el intervalo cerrado que muestra el máximo absoluto (rojo) y el mínimo absoluto (azul). ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle [a,b]}$

En cálculo , el teorema del valor extremo establece que si una función de valor real es continua en el intervalo cerrado y acotado , entonces debe alcanzar un máximo y un mínimo , cada uno al menos una vez. Es decir, existen números y en tales que: ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle [a,b]}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle [a,b]}$ $${\displaystyle f(c)\leq f(x)\leq f(d)\quad \forall x\in [a,b].}$$

El teorema del valor extremo es más específico que el teorema de acotación relacionado , que establece simplemente que una función continua en el intervalo cerrado está acotada en ese intervalo; es decir, existen números reales y tales que: ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle [a,b]}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle M}$ $${\displaystyle m\leq f(x)\leq M\quad \forall x\in [a,b].}$$

Esto no dice que y sean necesariamente los valores máximo y mínimo de en el intervalo que es lo que estipula el teorema del valor extremo también debe ser el caso. ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle [a,b],}$

El teorema de los valores extremos se utiliza para demostrar el teorema de Rolle . En una formulación debida a Karl Weierstrass , este teorema establece que una función continua de un espacio compacto no vacío a un subconjunto de los números reales alcanza un máximo y un mínimo.

Historia

El teorema del valor extremo fue demostrado originalmente por Bernard Bolzano en la década de 1830 en una obra titulada Function Theory , pero el trabajo permaneció inédito hasta 1930. La prueba de Bolzano consistió en demostrar que una función continua en un intervalo cerrado estaba acotada y luego demostrar que la función alcanzaba un valor máximo y un valor mínimo. Ambas pruebas implicaban lo que hoy se conoce como el teorema de Bolzano-Weierstrass . ^[1]

Funciones a las que no se aplica el teorema

Los siguientes ejemplos muestran por qué el dominio de la función debe ser cerrado y acotado para que se aplique el teorema. Ninguno de ellos alcanza un máximo en el intervalo dado.

1. ${\displaystyle f(x)=x}$definido sobre no está acotado desde arriba. ${\displaystyle [0,\infty )}$
2. ${\displaystyle f(x)={\frac {x}{1+x}}}$definido sobre está acotado pero no alcanza su límite superior mínimo . ${\displaystyle [0,\infty )}$ ${\displaystyle 1}$
3. ${\displaystyle f(x)={\frac {1}{x}}}$definido sobre no está acotado desde arriba. ${\displaystyle (0,1]}$
4. ${\displaystyle f(x)=1-x}$definido sobre está acotado pero nunca alcanza su límite superior mínimo . ${\displaystyle (0,1]}$ ${\displaystyle 1}$

La definición de los dos últimos ejemplos muestra que ambos teoremas requieren continuidad en . ${\displaystyle f(0)=0}$ ${\displaystyle [a,b]}$

Generalización a espacios métricos y topológicos

Al pasar de la recta real a los espacios métricos y espacios topológicos generales , la generalización apropiada de un intervalo cerrado y acotado es un conjunto compacto . Se dice que un conjunto es compacto si tiene la siguiente propiedad: de cada colección de conjuntos abiertos tales que , se puede elegir una subcolección finita tal que . Esto suele enunciarse de forma abreviada como "cada recubrimiento abierto de tiene un subrecubrimiento finito". El teorema de Heine-Borel afirma que un subconjunto de la recta real es compacto si y solo si es cerrado y acotado. En consecuencia, un espacio métrico tiene la propiedad de Heine-Borel si cada conjunto cerrado y acotado es también compacto. ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle U_{\alpha }}$ ${\textstyle \bigcup U_{\alpha }\supset K}$ ${\displaystyle U_{\alpha _{1}},\ldots ,U_{\alpha _{n}}}$ ${\textstyle \bigcup _{i=1}^{n}U_{\alpha _{i}}\supset K}$ ${\displaystyle K}$

El concepto de función continua también se puede generalizar. Dados espacios topológicos , se dice que una función es continua si para cada conjunto abierto , también es abierta. Dadas estas definiciones, se puede demostrar que las funciones continuas conservan la compacidad: ^[2] ${\displaystyle V,\ W}$ ${\displaystyle f:V\to W}$ ${\displaystyle U\subset W}$ ${\displaystyle f^{-1}(U)\subset V}$

Teorema  —  Si son espacios topológicos, es una función continua y es compacta, entonces también es compacta. ${\displaystyle V,\ W}$ ${\displaystyle f:V\to W}$ ${\displaystyle K\subset V}$ ${\displaystyle f(K)\subset W}$

En particular, si , entonces este teorema implica que es cerrado y acotado para cualquier conjunto compacto , lo que a su vez implica que alcanza su supremo e ínfimo en cualquier conjunto compacto (no vacío) . Por lo tanto, tenemos la siguiente generalización del teorema del valor extremo: ^[2] ${\displaystyle W=\mathbb {R} }$ ${\displaystyle f(K)}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle K}$

Teorema  —  Si es un conjunto compacto no vacío y es una función continua, entonces está acotado y existen tales que y . ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle f:K\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle p,q\in K}$ ${\displaystyle f(p)=\sup _{x\in K}f(x)}$ ${\displaystyle f(q)=\inf _{x\in K}f(x)}$

De manera un poco más general, esto también es cierto para una función semicontinua superior. (ver espacio compacto#Funciones y espacios compactos ).

Demostración de los teoremas

Observamos la prueba del límite superior y el máximo de . Al aplicar estos resultados a la función , se deduce la existencia del límite inferior y el resultado del mínimo de . Observe también que todo en la prueba se hace dentro del contexto de los números reales . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle -f}$ ${\displaystyle f}$

Primero demostramos el teorema de acotación, que es un paso en la demostración del teorema del valor extremo. Los pasos básicos involucrados en la demostración del teorema del valor extremo son:

1. Demuestre el teorema de acotación.
2. Encuentra una secuencia tal que su imagen converja al supremo de . ${\displaystyle f}$
3. Demuestre que existe una subsecuencia que converge a un punto en el dominio .
4. Utilice la continuidad para demostrar que la imagen de la subsecuencia converge al supremo.

Prueba del teorema de acotación

Teorema de acotación  :  si es continua en entonces está acotada en ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle [a,b],}$ ${\displaystyle [a,b].}$

Prueba

Supóngase que la función no está acotada superiormente en el intervalo . Entonces, para cada número natural , existe un tal que . Esto define una sucesión . Como está acotada, el teorema de Bolzano-Weierstrass implica que existe una subsucesión convergente de . Denotemos su límite por . Como es cerrada, contiene a . Como es continua en , sabemos que converge al número real (ya que es secuencialmente continua en ). Pero para cada , lo que implica que diverge a , una contradicción. Por lo tanto, está acotada superiormente en .  ∎ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle [a,b]}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle x_{n}\in [a,b]}$ ${\displaystyle f(x_{n})>n}$ ${\displaystyle (x_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ ${\displaystyle [a,b]}$ ${\displaystyle (x_{n_{k}})_{k\in \mathbb {N} }}$ ${\displaystyle ({x_{n}})}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle [a,b]}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f(x_{{n}_{k}})}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f(x_{{n}_{k}})>n_{k}\geq k}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle f(x_{{n}_{k}})}$ ${\displaystyle +\infty }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle [a,b]}$

Prueba alternativa

Consideremos el conjunto de puntos en tal que está acotado por . Observamos que es uno de esos puntos, ya que está acotado por el valor . Si es otro punto, entonces todos los puntos entre y también pertenecen a . En otras palabras, es un intervalo cerrado en su extremo izquierdo por . ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle [a,b]}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle [a,p]}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle [a,a]}$ ${\displaystyle f(a)}$ ${\displaystyle e>a}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle a}$

Ahora es continua por la derecha en , por lo tanto existe tal que para todo en . Por lo tanto está acotada por y en el intervalo de modo que todos estos puntos pertenecen a . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \delta >0}$ ${\displaystyle |f(x)-f(a)|<1}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle [a,a+\delta ]}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f(a)-1}$ ${\displaystyle f(a)+1}$ ${\displaystyle [a,a+\delta ]}$ ${\displaystyle B}$

Hasta ahora, sabemos que es un intervalo de longitud distinta de cero, cerrado en su extremo izquierdo por . ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle a}$

A continuación, está acotado superiormente por . Por lo tanto, el conjunto tiene un supremo en  ; llamémoslo . De la longitud no nula de podemos deducir que . ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle [a,b]}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle s>a}$

Supóngase que . Ahora bien , es continua en , por lo tanto, existe tal que para todo en de modo que está acotada en este intervalo. Pero de la supremacía de se sigue que existe un punto perteneciente a , digamos, que es mayor que . Por lo tanto, está acotada en que se superpone de modo que está acotada en . Sin embargo, esto contradice la supremacía de . ${\displaystyle s<b}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle \delta >0}$ ${\displaystyle |f(x)-f(s)|<1}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle [s-\delta ,s+\delta ]}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle s-\delta /2}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle [a,e]}$ ${\displaystyle [s-\delta ,s+\delta ]}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle [a,s+\delta ]}$ ${\displaystyle s}$

Por lo tanto, debemos tener . Ahora es continua a la izquierda en , por lo tanto existe tal que para todo en de modo que está acotado en este intervalo. Pero se sigue de la supremacía de que existe un punto perteneciente a , digamos, que es mayor que . Por lo tanto está acotado en que se superpone de modo que está acotado en .   ∎ ${\displaystyle s=b}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle \delta >0}$ ${\displaystyle |f(x)-f(s)|<1}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle [s-\delta ,s]}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle s-\delta /2}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle [a,e]}$ ${\displaystyle [s-\delta ,s]}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle [a,s]}$

Pruebas del teorema del valor extremo

Prueba del teorema del valor extremo

Por el teorema de acotación, f está acotada desde arriba, por lo tanto, por la completitud de Dedekind de los números reales, existe la cota mínima superior (suprema) M de f . Es necesario encontrar un punto d en [ a , b ] tal que M = f ( d ). Sea n un número natural. Como M es la cota mínima superior, M – 1/ n no es una cota superior para f . Por lo tanto, existe d _n en [ a , b ] de modo que M – 1/ n < f ( d _n ). Esto define una sucesión { d _n }. Como M es una cota superior para f , tenemos M – 1/ n < f ( d _n ) ≤ M para todo n . Por lo tanto, la sucesión { f ( d _n )} converge a M .

El teorema de Bolzano-Weierstrass nos dice que existe una subsucesión { }, que converge a algún d y, como [ a , b ] es cerrada, d está en [ a , b ]. Como f es continua en d , la sucesión { f ( )} converge a f ( d ). Pero { f ( d _{n k} )} es una subsucesión de { f ( d _n )} que converge a M , por lo que M = f ( d ). Por lo tanto, f alcanza su supremo M en d .  ∎ ${\displaystyle d_{n_{k}}}$ ${\displaystyle d_{n_{k}}}$

Prueba alternativa del teorema del valor extremo

El conjunto { y ∈ R  : y = f ( x ) para algún x ∈ [ a , b ]} es un conjunto acotado. Por lo tanto, su límite superior mínimo existe por propiedad de límite superior mínimo de los números reales. Sea M = sup( f ( x ))  en  [ a , b ] . Si no hay ningún punto x en [ a ,  b ] tal que f ( x ) =  M , entonces f ( x ) < M en [ a ,  b ]. Por lo tanto, 1/( M − f ( x )) es continua en [ a , b ].

Sin embargo, para cada número positivo ε , siempre hay algún x en [ a ,  b ] tal que M − f ( x ) < ε porque M es el límite superior mínimo. Por lo tanto, 1/( M − f ( x )) > 1/ ε , lo que significa que 1/( M − f ( x )) no está acotado. Dado que toda función continua en [ a , b ] está acotada, esto contradice la conclusión de que 1/( M − f ( x )) era continua en [ a ,  b ]. Por lo tanto, debe haber un punto x en [ a ,  b ] tal que f ( x ) =  M . ∎

Prueba usando los hiperreales

Prueba

En el contexto del cálculo no estándar , sea N un hiperentero   infinito . El intervalo [0, 1] tiene una extensión hiperreal natural. Considérese su partición en N subintervalos de igual longitud infinitesimal 1/ N , con puntos de partición x _i  = i  / N a medida que i "corre" de 0 a N. La función ƒ   también se extiende naturalmente a una función ƒ * definida en los hiperreales entre 0 y 1. Nótese que en el contexto estándar (cuando N   es finito), un punto con el valor máximo de ƒ siempre puede elegirse entre los N +1 puntos x _i , por inducción. Por lo tanto, por el principio de transferencia , hay un hiperentero i ₀ tal que 0 ≤ i ₀  ≤ N y   para todo i  = 0, ...,  N. Considérese el punto real donde st es la función de la parte estándar . Un punto real arbitrario x se encuentra en un subintervalo adecuado de la partición, es decir , de modo que  st ( x _i ) = x . Aplicando st a la desigualdad , obtenemos . Por continuidad de ƒ   tenemos ${\displaystyle f^{*}(x_{i_{0}})\geq f^{*}(x_{i})}$ $${\displaystyle c=\mathbf {st} (x_{i_{0}})}$$ ${\displaystyle x\in [x_{i},x_{i+1}]}$ ${\displaystyle f^{*}(x_{i_{0}})\geq f^{*}(x_{i})}$ ${\displaystyle \mathbf {st} (f^{*}(x_{i_{0}}))\geq \mathbf {st} (f^{*}(x_{i}))}$

${\displaystyle \mathbf {st} (f^{*}(x_{i_{0}}))=f(\mathbf {st} (x_{i_{0}}))=f(c)}$.

Por lo tanto, ƒ ( c ) ≥ ƒ ( x ), para todo x real , lo que demuestra que c es un máximo de ƒ . ^[3] ∎

Prueba a partir de los primeros principios

Afirmación      Si es continua en entonces alcanza su supremo en ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle [a,b]}$ ${\displaystyle [a,b]}$

Prueba

Por el teorema de acotación, está acotado por encima de y por la propiedad de completitud de los números reales tiene un supremo en . Llamémoslo , o . Es claro que la restricción de al subintervalo donde tiene un supremo que es menor o igual que , y que aumenta de a cuando aumenta de a . ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle [a,b]}$ ${\displaystyle [a,b]}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M[a,b]}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle [a,x]}$ ${\displaystyle x\leq b}$ ${\displaystyle M[a,x]}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M[a,x]}$ ${\displaystyle f(a)}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$

Si entonces hemos terminado. Supongamos por tanto que y sea . Consideremos el conjunto de puntos en tales que . ${\displaystyle f(a)=M}$ ${\displaystyle f(a)<M}$ ${\displaystyle d=M-f(a)}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle [a,b]}$ ${\displaystyle M[a,x]<M}$

Claramente  ; además, si es otro punto en entonces todos los puntos entre y también pertenecen a porque es monótona creciente. Por lo tanto es un intervalo no vacío, cerrado en su extremo izquierdo por . ${\displaystyle a\in L}$ ${\displaystyle e>a}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle M[a,x]}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle a}$

Ahora es continua por la derecha en , por lo tanto existe tal que para todo en . Por lo tanto es menor que en el intervalo de modo que todos estos puntos pertenecen a . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \delta >0}$ ${\displaystyle |f(x)-f(a)|<d/2}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle [a,a+\delta ]}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle M-d/2}$ ${\displaystyle [a,a+\delta ]}$ ${\displaystyle L}$

A continuación, está limitado por arriba por y por lo tanto tiene un supremo en : llamémoslo . Vemos de lo anterior que . Mostraremos que es el punto que estamos buscando, es decir, el punto donde alcanza su supremo, o en otras palabras . ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle [a,b]}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle s>a}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f(s)=M}$

Supongamos lo contrario, es decir , consideremos los dos casos siguientes: ${\displaystyle f(s)<M}$ ${\displaystyle d=M-f(s)}$

1. ${\displaystyle s<b}$. Como es continua en , existe tal que para todo en . Esto significa que es menor que en el intervalo . Pero se sigue de la supremacía de que existe un punto, digamos, perteneciente a que es mayor que . Por la definición de , . Sea entonces para todo en , . Tomando como el mínimo de y , tenemos para todo en . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle \delta >0}$ ${\displaystyle |f(x)-f(s)|<d/2}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle [s-\delta ,s+\delta ]}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle M-d/2}$ ${\displaystyle [s-\delta ,s+\delta ]}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle s-\delta }$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle M[a,e]<M}$ ${\displaystyle d_{1}=M-M[a,e]}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle [a,e]}$ ${\displaystyle f(x)\leq M-d_{1}}$ ${\displaystyle d_{2}}$ ${\displaystyle d/2}$ ${\displaystyle d_{1}}$ ${\displaystyle f(x)\leq M-d_{2}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle [a,s+\delta ]}$
   Por lo tanto , de modo que ... Esto, sin embargo, contradice la supremacía de y completa la prueba. ${\displaystyle M[a,s+\delta ]<M}$ ${\displaystyle s+\delta \in L}$ ${\displaystyle s}$
2. ${\displaystyle s=b}$. Como es continua por la izquierda en , existe tal que para todo en . Esto significa que es menor que en el intervalo . Pero se sigue de la supremacía de que existe un punto, digamos, perteneciente a que es mayor que . Por la definición de , . Sea entonces para todo en , . Tomando como el mínimo de y , tenemos para todo en . Esto contradice la supremacía de y completa la prueba. ∎ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle \delta >0}$ ${\displaystyle |f(x)-f(s)|<d/2}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle [s-\delta ,s]}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle M-d/2}$ ${\displaystyle [s-\delta ,s]}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle s-\delta }$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle M[a,e]<M}$ ${\displaystyle d_{1}=M-M[a,e]}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle [a,e]}$ ${\displaystyle f(x)\leq M-d_{1}}$ ${\displaystyle d_{2}}$ ${\displaystyle d/2}$ ${\displaystyle d_{1}}$ ${\displaystyle f(x)\leq M-d_{2}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle [a,b]}$ ${\displaystyle M}$

Extensión a funciones semicontinuas

Si la continuidad de la función f se debilita a semicontinuidad , entonces se cumplen la mitad correspondiente del teorema de acotación y el teorema del valor extremo y los valores –∞ o +∞, respectivamente, de la línea de números reales extendida pueden permitirse como valores posibles. ^{[ aclaración necesaria ]}

Se dice que una función es semicontinua superior si ${\displaystyle f:[a,b]\to [-\infty ,\infty )}$ $${\displaystyle \limsup _{y\to x}f(y)\leq f(x)\quad \forall x\in [a,b].}$$

Teorema  —  Si una función f  : [ a , b ] → [–∞, ∞) es semicontinua superior, entonces f está acotada superiormente y alcanza su supremo.

Prueba

Si para todo x en [ a , b ], entonces el supremo es también y el teorema es verdadero. En todos los demás casos, la prueba es una ligera modificación de las pruebas dadas anteriormente. En la prueba del teorema de acotación, la semicontinuidad superior de f en x sólo implica que el límite superior de la subsucesión { f ( x _{n k} )} está acotado superiormente por f ( x ) < ∞, pero eso es suficiente para obtener la contradicción. En la prueba del teorema del valor extremo, la semicontinuidad superior de f en d implica que el límite superior de la subsucesión { f ( d _{n k} )} está acotado superiormente por f ( d ), pero esto es suficiente para concluir que f ( d ) = M .  ∎ ${\displaystyle f(x)=-\infty }$ ${\displaystyle -\infty }$

La aplicación de este resultado a − f demuestra un resultado similar para los ínfimos de funciones semicontinuas inferiores. Se dice que una función es semicontinua inferior si ${\displaystyle f:[a,b]\to [-\infty ,\infty )}$ $${\displaystyle \liminf _{y\to x}f(y)\geq f(x)\quad \forall x\in [a,b].}$$

Teorema  —  Si una función f  : [ a , b ] → (–∞, ∞] es semicontinua inferior, entonces f está acotada inferiormente y alcanza su ínfimo .

Una función de valor real es semicontinua tanto superior como inferior si y solo si es continua en el sentido habitual. Por lo tanto, estos dos teoremas implican el teorema de acotación y el teorema del valor extremo.

Referencias

1. Rusnock, Paul; Kerr-Lawson, Angus (2005). "Bolzano y continuidad uniforme". Historia Mathematica . 32 (3): 303–311. doi :10.1016/j.hm.2004.11.003.
2. Rudin, Walter (1976). Principios del análisis matemático. Nueva York: McGraw Hill. pp. 89-90. ISBN 0-07-054235-X.
3. Keisler, H. Jerome (1986). Cálculo elemental: un enfoque infinitesimal (PDF) . Boston: Prindle, Weber & Schmidt. pág. 164. ISBN 0-87150-911-3.

Lectura adicional

• Adams, Robert A. (1995). Cálculo: un curso completo . Lectura: Addison-Wesley. págs. 706–707. ISBN 0-201-82823-5.
• Protter, MH ; Morrey, CB (1977). "Los teoremas de acotación y de valores extremos". Un primer curso de análisis real . Nueva York: Springer. págs. 71–73. ISBN 0-387-90215-5.

Enlaces externos

• Una prueba del teorema del valor extremo en el corte del nudo
• Teorema del valor extremo de Jacqueline Wandzura con contribuciones adicionales de Stephen Wandzura, del Proyecto de demostraciones Wolfram .
• Weisstein, Eric W. "Teorema del valor extremo". MathWorld .
• Prueba del sistema Mizar : http://mizar.org/version/current/html/weierstr.html#T15