Teorema de Heine-Borel

El subconjunto del espacio euclidiano es compacto si y sólo si es cerrado y acotado

En el análisis real, el teorema de Heine-Borel , llamado así en honor a Eduard Heine y Émile Borel , establece:

Para un subconjunto S del espacio euclidiano R ⁿ , las dos afirmaciones siguientes son equivalentes:

• S es compacto , es decir, cada cubierta abierta de S tiene una subcubierta finita
• S es cerrado y acotado .

Historia y motivación

La historia de lo que hoy se llama el teorema de Heine-Borel comienza en el siglo XIX, con la búsqueda de fundamentos sólidos del análisis real. El concepto de continuidad uniforme y el teorema que establece que toda función continua en un intervalo cerrado y acotado es uniformemente continua eran fundamentales para la teoría. Peter Gustav Lejeune Dirichlet fue el primero en demostrar esto e implícitamente utilizó la existencia de una subcubierta finita de una cubierta abierta dada de un intervalo cerrado en su prueba. ^[1] Utilizó esta prueba en sus conferencias de 1852, que se publicaron recién en 1904. ^[1] Más tarde, Eduard Heine , Karl Weierstrass y Salvatore Pincherle utilizaron técnicas similares. Émile Borel en 1895 fue el primero en enunciar y demostrar una forma de lo que ahora se llama el teorema de Heine-Borel. Su formulación se restringió a las cubiertas contables . Pierre Cousin (1895), Lebesgue (1898) y Schoenflies (1900) lo generalizaron a coberturas arbitrarias. ^[2]

Prueba

Si un conjunto es compacto, entonces debe ser cerrado.

Sea S un subconjunto de R ⁿ . Observemos primero lo siguiente: si a es un punto límite de S , entonces cualquier colección finita C de conjuntos abiertos, tal que cada conjunto abierto U ∈ C sea disjunto de algún entorno V _U de a , no puede ser un recubrimiento de S . De hecho, la intersección de la familia finita de conjuntos V _U es un entorno W de a en R ⁿ . Como a es un punto límite de S , W debe contener un punto x en S . Este x ∈ S no está cubierto por la familia C , porque cada U en C es disjunto de V _U y, por lo tanto, disjunto de W , que contiene a x .

Si S es compacto pero no cerrado, entonces tiene un punto límite a que no está en S . Considérese una colección C ′ que consiste en un entorno abierto N ( x ) para cada x ∈ S , elegido lo suficientemente pequeño como para no intersecar ningún entorno V _x de a . Entonces C ′ es una cobertura abierta de S , pero cualquier subcolección finita de C ′ tiene la forma de C discutida previamente, y por lo tanto no puede ser una subcobertura abierta de S . Esto contradice la compacidad de S . Por lo tanto, cada punto límite de S está en S , por lo que S es cerrado.

La prueba anterior se aplica casi sin cambios para demostrar que cualquier subconjunto compacto S de un espacio topológico de Hausdorff X está cerrado en X.

Si un conjunto es compacto, entonces está acotado.

Sea un conjunto compacto en , y una bola de radio 1 centrada en . Entonces el conjunto de todas esas bolas centradas en es claramente una cubierta abierta de , ya que contiene todos los . Como es compacto, tome una subcubierta finita de esta cubierta. Esta subcubierta es la unión finita de bolas de radio 1. Considere todos los pares de centros de estas (finitas) bolas (de radio 1) y sea el máximo de las distancias entre ellas. Entonces, si y son los centros (respectivamente) de bolas unitarias que contienen arbitrarias , la desigualdad triangular dice: ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \mathbf {R} ^{n}}$ ${\displaystyle U_{x}}$ ${\displaystyle x\in \mathbf {R} ^{n}}$ ${\displaystyle x\in S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \cup _{x\in S}U_{x}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle C_{p}}$ ${\displaystyle C_{q}}$ ${\displaystyle p,q\in S}$

$${\displaystyle d(p,q)\leq d(p,C_{p})+d(C_{p},C_{q})+d(C_{q},q)\leq 1+M+1=M+2.}$$

Por lo tanto, el diámetro de está limitado por . ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle M+2}$

Lema: Un subconjunto cerrado de un conjunto compacto es compacto.

Sea K un subconjunto cerrado de un conjunto compacto T en R ⁿ y sea C _K una cubierta abierta de K . Entonces U = R ⁿ \ K es un conjunto abierto y

$${\displaystyle C_{T}=C_{K}\cup \{U\}}$$

es una cubierta abierta de T . Como T es compacto, entonces C _T tiene una subcubierta finita que también cubre al conjunto más pequeño K . Como U no contiene ningún punto de K , el conjunto K ya está cubierto por que es una subcolección finita de la colección original C _K . Por lo tanto, es posible extraer de cualquier cubierta abierta C _K de K una subcobertura finita. ${\displaystyle C_{T}',}$ ${\displaystyle C_{K}'=C_{T}'\setminus \{U\},}$

Si un conjunto es cerrado y acotado, entonces es compacto.

Si un conjunto S en R ⁿ está acotado, entonces puede estar encerrado dentro de una caja n

$${\displaystyle T_{0}=[-a,a]^{n}}$$

donde a > 0. Por el lema anterior, es suficiente demostrar que T ₀ es compacto.

Supongamos, por contradicción, que T ₀ no es compacto. Entonces existe una cubierta abierta infinita C de T ₀ que no admite ninguna subcubierta finita. Mediante la bisección de cada uno de los lados de T ₀ , la caja T ₀ se puede descomponer en 2 ⁿ sub n -cajas, cada una de las cuales tiene un diámetro igual a la mitad del diámetro de T ₀ . Entonces al menos una de las 2 ⁿ secciones de T ₀ debe requerir una subcubierta infinita de C , de lo contrario C mismo tendría una subcubierta finita, al unir entre sí las cubiertas finitas de las secciones. Llamemos a esta sección T ₁ .

De la misma manera, los lados de T ₁ se pueden bisecar, obteniéndose 2 ⁿ secciones de T ₁ , al menos una de las cuales debe requerir una subcubierta infinita de C . Continuando de la misma manera se obtiene una secuencia decreciente de n -cajas anidadas:

$${\displaystyle T_{0}\supset T_{1}\supset T_{2}\supset \ldots \supset T_{k}\supset \ldots }$$

donde la longitud del lado de T _k es (2 a ) / 2 ^k , que tiende a 0 cuando k tiende a infinito. Definamos una sucesión ( x _k ) tal que cada x _k esté en T _k . Esta sucesión es de Cauchy , por lo que debe converger a algún límite L . Como cada T _k es cerrado, y para cada k la sucesión ( x _k ) está eventualmente siempre dentro de T _k , vemos que L  ∈  T _k para cada k .

Como C cubre T ₀ , entonces tiene algún miembro U  ∈ C tal que L  ∈ U . Como U es abierto, hay una n -bola B ( L ) ⊆ U . Para un k suficientemente grande , se tiene T _k ⊆ B ( L ) ⊆ U , pero entonces el número infinito de miembros de C necesarios para cubrir T _k se puede reemplazar por solo uno: U , una contradicción.

Por lo tanto, T ₀ es compacto. Como S es cerrado y un subconjunto del conjunto compacto T ₀ , entonces S también es compacto (véase el lema anterior).

Generalización del teorema de Heine-Borel

En espacios métricos generales, tenemos el siguiente teorema:

Para un subconjunto de un espacio métrico , las dos afirmaciones siguientes son equivalentes: ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle (X,d)}$

• ${\displaystyle S}$es compacto,
• ${\displaystyle S}$es precompacto ^[3] y completo. ^[4]

Lo anterior se desprende directamente de Jean Dieudonné , teorema 3.16.1, ^[5] que establece:

Para un espacio métrico , las tres condiciones siguientes son equivalentes: ${\displaystyle (X,d)}$

• (a) es compacto; ${\displaystyle X}$
• (b) cualquier secuencia infinita en tiene al menos un valor de clúster; ^[6] ${\displaystyle X}$
• (c) es precompacto y completo. ${\displaystyle X}$

Propiedad Heine-Borel

El teorema de Heine-Borel no se cumple como se indica para espacios vectoriales métricos y topológicos generales , y esto da lugar a la necesidad de considerar clases especiales de espacios donde esta proposición es verdadera. Se dice que estos espacios tienen la propiedad de Heine-Borel .

En la teoría de espacios métricos

Se dice que un espacio métrico tiene la propiedad de Heine-Borel si cada conjunto cerrado y acotado ^[7] es compacto. ${\displaystyle (X,d)}$ ${\displaystyle X}$

Muchos espacios métricos no tienen la propiedad de Heine-Borel, como el espacio métrico de los números racionales (o, de hecho, cualquier espacio métrico incompleto). Los espacios métricos completos también pueden no tener la propiedad; por ejemplo, ningún espacio de Banach de dimensión infinita tiene la propiedad de Heine-Borel (como los espacios métricos). Aún más trivial, si la línea real no está dotada de la métrica habitual, puede no tener la propiedad de Heine-Borel.

Un espacio métrico tiene una métrica de Heine-Borel que es localmente idéntica a Cauchy si y solo si es completa , -compacta y localmente compacta . ^[8] ${\displaystyle (X,d)}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle \sigma }$

En la teoría de espacios vectoriales topológicos

Se dice que un espacio vectorial topológico tiene la propiedad de Heine-Borel ^[9] (RE Edwards utiliza el término espacio acotado compacto ^[10] ) si cada conjunto cerrado acotado ^[11] es compacto. ^{[12] Ningún} espacio de Banach de dimensión infinita tiene la propiedad de Heine-Borel (como espacios vectoriales topológicos). Pero algunos espacios de Fréchet de dimensión infinita tienen, por ejemplo, el espacio de funciones suaves en un conjunto abierto ^[10] y el espacio de funciones holomorfas en un conjunto abierto . ^{[10] De manera más general, cualquier} espacio nuclear cuasicompleto tiene la propiedad de Heine-Borel. Todos los espacios de Montel también tienen la propiedad de Heine-Borel. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle C^{\infty }(\Omega )}$ ${\displaystyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle H(\Omega )}$ ${\displaystyle \Omega \subset \mathbb {C} ^{n}}$

Véase también

• Teorema de Bolzano-Weierstrass

Notas

1. Raman-Sundström, Manya (agosto–septiembre de 2015). "Una historia pedagógica de la compacidad". American Mathematical Monthly . 122 (7): 619–635. arXiv : 1006.4131 . doi :10.4169/amer.math.monthly.122.7.619. JSTOR  10.4169/amer.math.monthly.122.7.619. S2CID  119936587.
2. Sundström, Manya Raman (2010). "Una historia pedagógica de la compacidad". arXiv : 1006.4131v1 [math.HO].
3. Un conjunto de un espacio métrico se llama precompacto (o a veces "totalmente acotado"), si para alguno existe una cobertura finita de por conjuntos de diámetro . ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle (X,d)}$ ${\displaystyle \epsilon >0}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle <\epsilon }$
4. Un conjunto de un espacio métrico se llama completo si cualquier secuencia de Cauchy en es convergente a un punto en . ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle (X,d)}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$
5. Diedonnné, Jean (1969): Fundamentos del análisis moderno, volumen 1, edición ampliada y corregida. Academic Press, Nueva York, Londres, pág. 58
6. Se dice que un punto es un valor de conjunto de una secuencia infinita de elementos de , si existe una subsecuencia tal que . ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle (x_{n})}$ ${\displaystyle x_{n}\in X}$ ${\displaystyle (x_{n_{k}})}$ ${\displaystyle x=\lim _{k\to \infty }x_{n_{k}}}$
7. Se dice que un conjunto en un espacio métrico está acotado si está contenido en una bola de radio finito, es decir, existe y tal que . ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle (X,d)}$ ${\displaystyle a\in X}$ ${\displaystyle r>0}$ ${\displaystyle B\subseteq \{x\in X:\ d(x,a)\leq r\}}$
8. Williamson y Janos 1987.
9. Kirillov y Gvishiani 1982, teorema 28.
10. Edwards 1965, 8.4.7.
11. Se dice que un conjunto en un espacio vectorial topológico está acotado si para cada vecindad de cero en existe un escalar tal que . ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle B\subseteq \lambda \cdot U}$
12. En el caso en que la topología de un espacio vectorial topológico se genera mediante alguna métrica, esta definición no es equivalente a la definición de la propiedad de Heine-Borel de como espacio métrico, ya que la noción de conjunto acotado en como espacio métrico es diferente de la noción de conjunto acotado en como espacio vectorial topológico. Por ejemplo, el espacio de funciones suaves en el intervalo con la métrica (aquí está la derivada -ésima de la función ) tiene la propiedad de Heine-Borel como espacio vectorial topológico pero no como espacio métrico. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{\infty }[0,1]}$ ${\displaystyle [0,1]}$ ${\displaystyle d(x,y)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{2^{k}}}\cdot {\frac {\max _{t\in [0,1]}|x^{(k)}(t)-y^{(k)}(t)|}{1+\max _{t\in [0,1]}|x^{(k)}(t)-y^{(k)}(t)|}}}$ ${\displaystyle x^{(k)}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle x\in {\mathcal {C}}^{\infty }[0,1]}$

Referencias

• P. Dugac (1989). "Sobre la correspondencia de Borel et le théorème de Dirichlet – Heine – Weierstrass – Borel – Schoenflies – Lebesgue". Arco. Int. Historia. Ciencia . 39 : 69-110.
• BookOfProofs: Propiedad de Heine-Borel
• Jeffreys, H.; Jeffreys, BS (1988). Métodos de física matemática . Cambridge University Press. ISBN 978-0521097239.
• Williamson, R.; Janos, L. (1987). "Métricas de construcción con la propiedad de Heine-Borel". Proc. AMS . 100 (3): 567–573. doi : 10.1090/S0002-9939-1987-0891165-X .
• Kirillov, AA; Gvishiani, AD (1982). Teoremas y problemas del análisis funcional . Springer-Verlag Nueva York. ISBN 978-1-4613-8155-6.
• Edwards, RE (1965). Análisis funcional . Holt, Rinehart y Winston. ISBN 0030505356.

Enlaces externos

• Ivan Kenig, Dr. Prof. Hans-Christian Graf v. Botthmer, Dmitrij Tiessen, Andreas Timm, Viktor Wittman (2004). El teorema de Heine-Borel. Hannover: Leibniz Universität. Archivado desde el original (avi • mp4 • mov • swf • video transmitido por streaming) el 19 de julio de 2011.
• "Teorema de recubrimiento de Borel-Lebesgue", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Teorema de Heine-Borel de Mathworld
• "Un análisis de las primeras demostraciones del teorema de Heine-Borel: la demostración de Lebesgue"