En matemáticas , la teoría de intersecciones es una de las ramas principales de la geometría algebraica , donde se da información sobre la intersección de dos subvariedades de una variedad dada. [1] La teoría de variedades es más antigua, con raíces en el teorema de Bézout sobre curvas y la teoría de eliminación . Por otro lado, la teoría topológica alcanzó más rápidamente una forma definitiva.
La teoría de intersecciones aún se encuentra en desarrollo. Actualmente, el foco principal está puesto en los ciclos fundamentales virtuales, los anillos de intersección cuánticos, la teoría de Gromov-Witten y la extensión de la teoría de intersecciones desde los esquemas a las pilas . [2]
Para una variedad orientada y conexa M de dimensión 2 n la forma de intersección se define en el n - ésimo grupo de cohomología (lo que se suele llamar la 'dimensión media') por la evaluación del producto de copa en la clase fundamental [ M ] en H 2 n ( M , ∂ M ) . Dicho con precisión, existe una forma bilineal
dado por
con
Esta es una forma simétrica para n par (por lo que 2 n = 4 k doblemente par ), en cuyo caso la firma de M se define como la firma de la forma, y una forma alternada para n impar (por lo que 2 n = 4 k + 2 es simplemente par ). A estas se las puede denominar uniformemente formas ε-simétricas , donde ε = (−1) n = ±1 respectivamente para las formas simétricas y antisimétricas. En algunas circunstancias, es posible refinar esta forma a una forma ε -cuadrática , aunque esto requiere datos adicionales, como un encuadre del fibrado tangente. Es posible eliminar la condición de orientabilidad y trabajar con coeficientes Z /2 Z en su lugar.
Estas formas son invariantes topológicos importantes . Por ejemplo, un teorema de Michael Freedman establece que las 4-variedades compactas simplemente conexas están (casi) determinadas por sus formas de intersección, salvo el homeomorfismo .
Por la dualidad de Poincaré , resulta que hay una manera de pensar en esto geométricamente. Si es posible, elija subvariedades n -dimensionales representativas A , B para los duales de Poincaré de a y b . Entonces, λ M ( a , b ) es el número de intersección orientado de A y B , que está bien definido porque, dado que las dimensiones de A y B suman la dimensión total de M, se intersecan genéricamente en puntos aislados. Esto explica la terminología forma de intersección .
William Fulton en Intersection Theory (1984) escribe
... si A y B son subvariedades de una variedad no singular X , el producto de intersección A · B debería ser una clase de equivalencia de ciclos algebraicos estrechamente relacionados con la geometría de cómo A ∩ B , A y B están situados en X . Dos casos extremos han sido los más familiares. Si la intersección es propia , es decir dim( A ∩ B ) = dim A + dim B − dim X , entonces A · B es una combinación lineal de los componentes irreducibles de A ∩ B , con coeficientes las multiplicidades de intersección. En el otro extremo, si A = B es una subvariedad no singular, la fórmula de autointersección dice que A · B está representado por la clase de Chern superior del fibrado normal de A en X .
Dar una definición, en el caso general, de la multiplicidad de intersecciones fue la principal preocupación del libro Fundamentos de la geometría algebraica de André Weil de 1946. El trabajo de BL van der Waerden en la década de 1920 ya había abordado la cuestión; en la escuela italiana de geometría algebraica las ideas eran bien conocidas, pero las cuestiones fundamentales no se abordaron con el mismo espíritu.
Una maquinaria que funcione bien para la intersección de los ciclos algebraicos V y W requiere algo más que tomar simplemente la intersección de la teoría de conjuntos V ∩ W de los ciclos en cuestión. Si los dos ciclos están en "buena posición", entonces el producto de intersección , denotado V · W , debería consistir en la intersección de la teoría de conjuntos de las dos subvariedades. Sin embargo, los ciclos pueden estar en mala posición, por ejemplo, dos líneas paralelas en el plano, o un plano que contiene una línea (que se interseca en el espacio tridimensional). En ambos casos, la intersección debería ser un punto, porque, de nuevo, si se mueve un ciclo, esta sería la intersección. La intersección de dos ciclos V y W se llama propia si la codimensión de la intersección (de la teoría de conjuntos) V ∩ W es la suma de las codimensiones de V y W , respectivamente, es decir, el valor "esperado".
Por lo tanto, se utiliza el concepto de ciclos móviles utilizando relaciones de equivalencia apropiadas en ciclos algebraicos . La equivalencia debe ser lo suficientemente amplia como para que, dados dos ciclos V y W , existan ciclos equivalentes V′ y W′ tales que la intersección V′ ∩ W′ sea propia. Por supuesto, por otro lado, para un segundo V′′ y W′′ equivalentes , V′ ∩ W′ debe ser equivalente a V′′ ∩ W′′ .
Para los propósitos de la teoría de intersecciones, la equivalencia racional es la más importante. Brevemente, dos ciclos r -dimensionales en una variedad X son racionalmente equivalentes si hay una función racional f en una subvariedad ( r + 1) -dimensional Y , es decir, un elemento del cuerpo de funciones k ( Y ) o equivalentemente una función f : Y → P 1 , tal que V − W = f −1 (0) − f −1 (∞) , donde f −1 (⋅) se cuenta con multiplicidades. La equivalencia racional satisface las necesidades esbozadas anteriormente.
El principio rector en la definición de multiplicidades de intersección de ciclos es la continuidad en cierto sentido. Consideremos el siguiente ejemplo elemental: la intersección de una parábola y = x 2 y un eje y = 0 debería ser 2 · (0, 0) , porque si uno de los ciclos se mueve (aún en un sentido indefinido), hay precisamente dos puntos de intersección que convergen a (0, 0) cuando los ciclos se aproximan a la posición representada. (La imagen es engañosa en la medida en que la intersección aparentemente vacía de la parábola y la línea y = −3 está vacía, porque solo se representan las soluciones reales de las ecuaciones).
La primera definición completamente satisfactoria de multiplicidades de intersección fue dada por Serre : Sea la variedad ambiental X suave (o todos los anillos locales regulares ). Además, sean V y W dos subvariedades (irreducibles, reducidas y cerradas), tales que su intersección es propia. La construcción es local, por lo tanto, las variedades pueden representarse por dos ideales I y J en el anillo de coordenadas de X . Sea Z un componente irreducible de la intersección de la teoría de conjuntos V ∩ W y z su punto genérico . La multiplicidad de Z en el producto de intersección V · W se define por
la suma alternada sobre la longitud del anillo local de X en z de los grupos de torsión de los anillos de factores correspondientes a las subvariedades. Esta expresión a veces se denomina fórmula Tor de Serre .
Observaciones:
El anillo de Chow es el grupo de ciclos algebraicos módulo equivalencia racional junto con el siguiente producto de intersección conmutativo :
siempre que V y W se encuentran correctamente, donde es la descomposición de la intersección de la teoría de conjuntos en componentes irreducibles.
Dadas dos subvariedades V y W , se puede tomar su intersección V ∩ W , pero también es posible, aunque más sutil, definir la autointersección de una sola subvariedad.
Dada, por ejemplo, una curva C en una superficie S , su intersección consigo misma (como conjuntos) es simplemente ella misma: C ∩ C = C . Esto es claramente correcto, pero por otro lado insatisfactorio: dadas dos curvas distintas en una superficie (sin ningún componente en común), se intersecan en algún conjunto de puntos, que por ejemplo uno puede contar, obteniendo un número de intersección , y podemos desear hacer lo mismo para una curva dada: la analogía es que intersecar curvas distintas es como multiplicar dos números: xy , mientras que la autointersección es como elevar al cuadrado un solo número: x 2 . Formalmente, la analogía se enuncia como una forma bilineal simétrica (multiplicación) y una forma cuadrática (elevación al cuadrado).
Una solución geométrica para esto es intersecar la curva C no consigo misma, sino con una versión ligeramente desplazada de sí misma. En el plano, esto solo significa trasladar la curva C en alguna dirección, pero en general se habla de tomar una curva C′ que sea linealmente equivalente a C , y contar la intersección C · C′ , obteniendo así un número de intersección, denotado C · C . Nótese que a diferencia de las curvas distintas C y D , los puntos de intersección reales no están definidos, porque dependen de una elección de C′ , pero los “puntos de autointersección de C”′ pueden interpretarse como k puntos genéricos en C , donde k = C · C . Más apropiadamente, el punto de autointersección de C es el punto genérico de C , tomado con multiplicidad C · C .
Alternativamente, se puede “resolver” (o motivar) este problema algebraicamente dualizando y observando la clase de [ C ] ∪ [ C ] – esto da un número y plantea la cuestión de una interpretación geométrica. Nótese que pasar a clases de cohomología es análogo a reemplazar una curva por un sistema lineal.
Tenga en cuenta que el número de autointersección puede ser negativo, como lo ilustra el siguiente ejemplo.
Consideremos una línea L en el plano proyectivo P 2 : tiene autointersección número 1 ya que todas las demás líneas la cruzan una vez: uno puede empujar L hasta L′ , y L · L′ = 1 (para cualquier elección) de L′ , por lo tanto L · L = 1 . En términos de formas de intersección, decimos que el plano tiene una de tipo x 2 (solo hay una clase de líneas, y todas se intersecan entre sí).
Obsérvese que en el plano afín , uno podría empujar L hacia una línea paralela, por lo que (pensando geométricamente) la cantidad de puntos de intersección depende de la elección del empuje. Se dice que “el plano afín no tiene una buena teoría de intersecciones”, y la teoría de intersecciones en variedades no proyectivas es mucho más difícil.
Una línea en una P 1 × P 1 (que también puede interpretarse como la cuádrica no singular Q en P 3 ) tiene autointersección 0 , ya que una línea se puede mover fuera de sí misma. (Es una superficie reglada .) En términos de formas de intersección, decimos que P 1 × P 1 tiene una de tipo xy : hay dos clases básicas de líneas, que se intersecan entre sí en un punto ( xy ), pero tienen cero autointersección (no hay términos x 2 o y 2 ).
Un ejemplo clave de números de autointersección es la curva excepcional de una explosión, que es una operación central en geometría biracional . Dada una superficie algebraica S , la explosión en un punto crea una curva C. Esta curva C es reconocible por su género, que es 0 , y su número de autointersección, que es −1 . (Esto no es obvio.) Nótese que, como corolario, P 2 y P 1 × P 1 son superficies mínimas (no son explosiones), ya que no tienen ninguna curva con autointersección negativa. De hecho, el teorema de contracción de Castelnuovo establece lo inverso: cada (−1) -curva es la curva excepcional de alguna explosión (puede ser "derribada").
![{\displaystyle \lambda _{M}(a,b)=\langle a\smile b,[M]\rangle \in \mathbf {Z} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5224441f15083b73af07a158d2c8f3ddc7e2ce70)
