Invariante de Gromov-Witten

En matemáticas , específicamente en topología simpléctica y geometría algebraica , los invariantes de Gromov-Witten ( GW ) son números racionales que, en determinadas situaciones, cuentan curvas pseudoholomórficas que cumplen condiciones prescritas en una variedad simpléctica determinada . Las invariantes de GW pueden empaquetarse como una clase de homología o cohomología en un espacio apropiado, o como el producto de copa deformada de la cohomología cuántica . Estos invariantes se han utilizado para distinguir variedades simplécticas que antes eran indistinguibles. También desempeñan un papel crucial en la teoría de cuerdas cerrada de tipo IIA . Llevan el nombre de Mikhail Gromov y Edward Witten .

La definición matemática rigurosa de las invariantes de Gromov-Witten es larga y difícil, por lo que se trata por separado en el artículo sobre mapas estables . Este artículo intenta una explicación más intuitiva de lo que significan los invariantes, cómo se calculan y por qué son importantes.

Definición

Considera lo siguiente:

• X : una variedad simpléctica cerrada de dimensión 2 k ,
• A : una clase de homología bidimensional en X ,
• g : un número entero no negativo,
• n : un número entero no negativo.

Ahora definimos las invariantes de Gromov-Witten asociadas a la 4-tupla: ( X , A , g , n ). Sea el espacio de módulos Deligne-Mumford de curvas de género g con n puntos marcados y denote el espacio de módulos de mapas estables en X de clase A , para alguna estructura casi compleja elegida J en X compatible con su forma simpléctica. Los elementos de son de la forma: ${\displaystyle {\overline {\mathcal {M}}}_{g,n}}$ ${\displaystyle {\overline {\mathcal {M}}}_{g,n}(X,A)}$ ${\displaystyle {\overline {\mathcal {M}}}_{g,n}(X,A)}$

${\displaystyle (C,x_{1},\ldots ,x_{n},f)}$,

donde C es una curva (no necesariamente estable) con n puntos marcados x ₁ , ..., x _n y f  : C → X es pseudoholomórfico. El espacio de módulos tiene dimensión real.

${\displaystyle d:=2c_{1}^{X}(A)+(2k-6)(1-g)+2n.}$

Dejar

${\displaystyle \mathrm {st} (C,x_{1},\ldots ,x_{n})\in {\overline {\mathcal {M}}}_{g,n}}$

denotamos la estabilización de la curva. Dejar

${\displaystyle Y:={\overline {\mathcal {M}}}_{g,n}\times X^{n},}$

que tiene dimensión real . Hay un mapa de evaluación. ${\displaystyle 6g-6+2(k+1)n}$

${\displaystyle {\begin{cases}\mathrm {ev} :{\overline {\mathcal {M}}}_{g,n}(X,A)\to Y\\\mathrm {ev} (C,x_{1},\ldots ,x_{n},f)=\left(\operatorname {st} (C,x_{1},\ldots ,x_{n}),f(x_{1}),\ldots ,f(x_{n})\right).\end{cases}}}$

El mapa de evaluación envía la clase fundamental de a una clase de homología racional d -dimensional en Y , denotada ${\displaystyle {\overline {\mathcal {M}}}_{g,n}(X,A)}$

${\displaystyle GW_{g,n}^{X,A}\in H_{d}(Y,\mathbb {Q} ).}$

En cierto sentido, esta clase de homología es la invariante de Gromov-Witten de X para los datos g , n y A. Es un invariante de la clase de isotopía simpléctica de la variedad simpléctica X.

Para interpretar geométricamente la invariante de Gromov-Witten, sea β una clase de homología en y clases de homología en X , tal que la suma de las codimensiones de sea igual a d . Estos inducen clases de homología en Y mediante la fórmula de Künneth . Dejar ${\displaystyle {\overline {\mathcal {M}}}_{g,n}}$ ${\displaystyle \alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n}}$ ${\displaystyle \beta ,\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n}}$

${\displaystyle GW_{g,n}^{X,A}(\beta ,\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n}):=GW_{g,n}^{X,A}\cdot \beta \cdot \alpha _{1}\cdots \alpha _{n}\in H_{0}(Y,\mathbb {Q} ),}$

donde denota el producto de intersección en la homología racional de Y. Este es un número racional, el invariante de Gromov-Witten para las clases dadas. Este número da un recuento "virtual" del número de curvas pseudoholomórficas (en la clase A , de género g , con dominio en la parte β del espacio Deligne-Mumford) cuyos n puntos marcados se asignan a ciclos que representan el . ${\displaystyle \cdot }$ ${\displaystyle \alpha _{i}}$

En pocas palabras , un invariante GW cuenta cuántas curvas hay que cruzan n subvariedades elegidas de X. Sin embargo, debido a la naturaleza "virtual" del conteo, no es necesario que sea un número natural, como se podría esperar que lo sea. Porque el espacio de mapas estables es un orbifold , cuyos puntos de isotropía pueden aportar valores no enteros al invariante.

Existen numerosas variaciones de esta construcción, en las que se utiliza la cohomología en lugar de la homología, la integración reemplaza a la intersección, las clases de Chern retiradas del espacio Deligne-Mumford también se integran, etc.

Técnicas computacionales

Las invariantes de Gromov-Witten son generalmente difíciles de calcular. Si bien se definen para cualquier estructura genérica casi compleja J , para la cual la linealización D del operador es sobreyectiva , en realidad deben calcularse con respecto a una J específica elegida . Es más conveniente elegir J con propiedades especiales, como simetrías no genéricas o integrabilidad. De hecho, los cálculos se realizan a menudo en variedades de Kähler utilizando técnicas de geometría algebraica. ${\displaystyle {\bar {\partial }}_{j,J}}$

Sin embargo, una J especial puede inducir una D no sobreyectiva y, por tanto, un espacio de módulos de curvas pseudoholomórficas mayor de lo esperado. En términos generales, se corrige este efecto formando a partir del cokernel de D un paquete vectorial , llamado paquete de obstrucción , y luego realizando el invariante GW como la integral de la clase de Euler del paquete de obstrucción. Para precisar esta idea se requieren importantes argumentos técnicos utilizando estructuras de Kuranishi .

La principal técnica computacional es la localización . Esto se aplica cuando X es tórico , lo que significa que actúa sobre él un toro complejo, o al menos localmente tórico. Entonces se puede utilizar el teorema del punto fijo de Atiyah-Bott , de Michael Atiyah y Raoul Bott , para reducir o localizar el cálculo de un invariante GW a una integración sobre el lugar geométrico de la acción en punto fijo.

Otro enfoque es emplear cirugías simplécticas para relacionar X con uno o más espacios cuyos invariantes GW se calculan más fácilmente. Por supuesto, primero hay que entender cómo se comportan las invariantes bajo las cirugías. Para tales aplicaciones, a menudo se utilizan los invariantes GW relativos más elaborados , que cuentan curvas con condiciones de tangencia prescritas a lo largo de una subvariedad simpléctica de X de codimensión real dos.

Invariantes relacionados y otras construcciones

Los invariantes de GW están estrechamente relacionados con otros conceptos de geometría, incluidos los invariantes de Donaldson y los invariantes de Seiberg-Witten en la categoría simpléctica, y la teoría de Donaldson-Thomas en la categoría algebraica. Para cuatro variedades simplécticas compactas, Clifford Taubes demostró que una variante de los invariantes GW (ver Invariante Gromov de Taubes ) es equivalente a los invariantes de Seiberg-Witten. Para los triples algebraicos, se conjetura que contienen la misma información que los invariantes de Donaldson-Thomas con valores enteros . Las consideraciones físicas también dan lugar a los invariantes Gopakumar-Vafa , que pretenden dar un recuento de enteros subyacente a la teoría típicamente racional de Gromov-Witten. Las invariantes de Gopakumar-Vafa no tienen actualmente una definición matemática rigurosa, y este es uno de los principales problemas del tema.

Las invariantes de Gromov-Witten de variedades proyectivas suaves se pueden definir completamente dentro de la geometría algebraica. La geometría enumerativa clásica de curvas planas y de curvas racionales en espacios homogéneos son capturadas por invariantes GW. Sin embargo, la principal ventaja que tienen los invariantes GW sobre los recuentos enumerativos clásicos es que son invariantes ante deformaciones de la estructura compleja del objetivo. Las invariantes GW también proporcionan deformaciones de la estructura del producto en el anillo de cohomología de una variedad simpléctica o proyectiva; se pueden organizar para construir el anillo de cohomología cuántica de la variedad X , que es una deformación de la cohomología ordinaria. La asociatividad del producto deformado es esencialmente una consecuencia de la naturaleza autosemejante del espacio de módulos de mapas estables que se utilizan para definir las invariantes.

Se sabe que el anillo de cohomología cuántica es isomorfo a la homología simpléctica de Floer con su producto par de pantalones.

Aplicación en física

Las invariantes GW son de interés en la teoría de cuerdas, una rama de la física que intenta unificar la relatividad general y la mecánica cuántica . En esta teoría, todo en el universo, empezando por las partículas elementales , está hecho de cuerdas diminutas . A medida que una cuerda viaja a través del espacio-tiempo, traza una superficie, llamada hoja de mundo de la cuerda. Desafortunadamente, el espacio de módulos de tales superficies parametrizadas, al menos a priori , es de dimensión infinita; no se conoce ninguna medida apropiada en este espacio y, por tanto, las integrales de trayectoria de la teoría carecen de una definición rigurosa.

La situación mejora en la variación conocida como modelo A cerrado . Aquí hay seis dimensiones de espacio-tiempo, que constituyen una variedad simpléctica, y resulta que las hojas de mundo están necesariamente parametrizadas por curvas pseudoholomórficas, cuyos espacios de módulos son sólo de dimensión finita. Las invariantes GW, como integrales sobre estos espacios de módulos, son entonces integrales de trayectoria de la teoría. En particular, la energía libre del modelo A en el género g es la función generadora de las invariantes GW del género g .

Ver también

• Complejo cotangente - para la teoría de la deformación
• cálculo de schubert

Referencias

• McDuff, Dusa y Salamon, Dietmar (2004). Curvas J-holomórficas y topología simpléctica . Publicaciones del coloquio de la American Mathematical Society. ISBN 0-8218-3485-1.Una descripción general analítica de las invariantes de Gromov-Witten y la cohomología cuántica para variedades simplécticas, muy técnicamente completa
• Piunikhin, Sergey; Salamon, Dietmar y Schwarz, Matthias (1996). "Teoría simpléctica de Floer-Donaldson y cohomología cuántica". En Thomas, CB (ed.). Contacto y Geometría Simpléctica . Prensa de la Universidad de Cambridge . págs. 171-200. ISBN 0-521-57086-7.

Otras lecturas

• Espacios de módulos de mapas estables de género uno, clases virtuales y un ejercicio de teoría de intersecciones - Andrea Tirelli
• Kock, Joaquín; Vainsencher, Israel (2007). Una invitación a la cohomología cuántica: la fórmula de Kontsevich para curvas planas racionales . Nueva York: Springer. ISBN 978-0-8176-4456-7.Una buena introducción con historia y ejercicios a la noción formal de espacio de módulos , trata extensamente el caso de los espacios proyectivos utilizando los conceptos básicos del lenguaje de esquemas .
• Vakil, Ravi (2006). "El espacio de módulos de las curvas y la teoría de Gromov-Witten". Invariantes enumerativas en geometría algebraica y teoría de cuerdas . vol. 1947. Saltador. págs. 143-198. arXiv : matemáticas/0602347 . Código Bib : 2006 matemáticas ...... 2347V. doi :10.1007/978-3-540-79814-9_4.
• Notas sobre mapas estables y cohomología cuántica.

Artículos de investigación

• Teoría de esquemas de Gromov-Witten en característica mixta.