Linealización

Encontrar una aproximación lineal de una función en un punto dado

En matemáticas , la linealización consiste en encontrar la aproximación lineal a una función en un punto dado. La aproximación lineal de una función es la expansión de Taylor de primer orden alrededor del punto de interés. En el estudio de sistemas dinámicos , la linealización es un método para evaluar la estabilidad local de un punto de equilibrio de un sistema de ecuaciones diferenciales no lineales o sistemas dinámicos discretos . ^[1] Este método se utiliza en campos como la ingeniería , la física , la economía y la ecología .

Linealización de una función

Las linealizaciones de una función son líneas , generalmente líneas que se pueden utilizar con fines de cálculo. La linealización es un método eficaz para aproximar la salida de una función en cualquier punto en función del valor y la pendiente de la función en , dado que es diferenciable en (o ) y que está cerca de . En resumen, la linealización se aproxima a la salida de una función cercana a . ${\displaystyle y=f(x)}$ ${\displaystyle x=a}$ ${\displaystyle x=b}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle [a,b]}$ ${\displaystyle [b,a]}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle x=a}$

Por ejemplo, . Sin embargo, ¿cuál sería una buena aproximación ? ${\displaystyle {\sqrt {4}}=2}$ ${\displaystyle {\sqrt {4.001}}={\sqrt {4+.001}}}$

Para cualquier función dada , se puede aproximar si está cerca de un punto diferenciable conocido. El requisito más básico es que , ¿dónde está la linealización de at ? La forma punto-pendiente de una ecuación forma la ecuación de una recta, dado un punto y una pendiente . La forma general de esta ecuación es: . ${\displaystyle y=f(x)}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle L_{a}(a)=f(a)}$ ${\displaystyle L_{a}(x)}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle x=a}$ ${\displaystyle (H,K)}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle y-K=M(x-H)}$

Usando el punto , se convierte en . Debido a que las funciones diferenciables son localmente lineales , la mejor pendiente para sustituir sería la pendiente de la recta tangente a at . ${\displaystyle (a,f(a))}$ ${\displaystyle L_{a}(x)}$ ${\displaystyle y=f(a)+M(x-a)}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle x=a}$

Si bien el concepto de linealidad local se aplica más a puntos arbitrariamente cercanos a , aquellos relativamente cercanos funcionan relativamente bien para aproximaciones lineales. La pendiente debe ser, con mayor precisión, la pendiente de la recta tangente en . ${\displaystyle x=a}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle x=a}$

Una aproximación de f ( x ) = x ² en ( x , f ( x ))

Visualmente, el diagrama adjunto muestra la línea tangente de en . En , donde es cualquier pequeño valor positivo o negativo, es muy cercano al valor de la recta tangente en el punto . ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f(x+h)}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle f(x+h)}$ ${\displaystyle (x+h,L(x+h))}$

La ecuación final para la linealización de una función en es: ${\displaystyle x=a}$

$${\displaystyle y=(f(a)+f'(a)(x-a))}$$

Para , . La derivada de es y la pendiente de en es . ${\displaystyle x=a}$ ${\displaystyle f(a)=f(x)}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle f'(x)}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle f'(a)}$

Ejemplo

Para encontrar , podemos usar el hecho de que . La linealización de en es , porque la función define la pendiente de la función en . Sustituyendo en , la linealización en 4 es . En este caso , también lo es aproximadamente . El valor verdadero está cerca de 2,00024998, por lo que la aproximación de linealización tiene un error relativo de menos de 1 millonésima de porcentaje. ${\displaystyle {\sqrt {4.001}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {4}}=2}$ ${\displaystyle f(x)={\sqrt {x}}}$ ${\displaystyle x=a}$ ${\displaystyle y={\sqrt {a}}+{\frac {1}{2{\sqrt {a}}}}(x-a)}$ ${\displaystyle f'(x)={\frac {1}{2{\sqrt {x}}}}}$ ${\displaystyle f(x)={\sqrt {x}}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle a=4}$ ${\displaystyle y=2+{\frac {x-4}{4}}}$ ${\displaystyle x=4.001}$ ${\displaystyle {\sqrt {4.001}}}$ ${\displaystyle 2+{\frac {4.001-4}{4}}=2.00025}$

Linealización de una función multivariable.

La ecuación para la linealización de una función en un punto es: ${\displaystyle f(x,y)}$ ${\displaystyle p(a,b)}$

${\displaystyle f(x,y)\approx f(a,b)+\left.{\frac {\partial f(x,y)}{\partial x}}\right|_{a,b}(x-a)+\left.{\frac {\partial f(x,y)}{\partial y}}\right|_{a,b}(y-b)}$

La ecuación general para la linealización de una función multivariable en un punto es: ${\displaystyle f(\mathbf {x} )}$ ${\displaystyle \mathbf {p} }$

${\displaystyle f({\mathbf {x} })\approx f({\mathbf {p} })+\left.{\nabla f}\right|_{\mathbf {p} }\cdot ({\mathbf {x} }-{\mathbf {p} })}$

donde es el vector de variables, es el gradiente y es el punto de interés de linealización. ^[2] ${\displaystyle \mathbf {x} }$ ${\displaystyle {\nabla f}}$ ${\displaystyle \mathbf {p} }$

Usos de la linealización

La linealización permite utilizar herramientas de estudio de sistemas lineales para analizar el comportamiento de una función no lineal cerca de un punto determinado. La linealización de una función es el término de primer orden de su desarrollo de Taylor alrededor del punto de interés. Para un sistema definido por la ecuación

${\displaystyle {\frac {d\mathbf {x} }{dt}}=\mathbf {F} (\mathbf {x} ,t)}$,

el sistema linealizado se puede escribir como

${\displaystyle {\frac {d\mathbf {x} }{dt}}\approx \mathbf {F} (\mathbf {x_{0}} ,t)+D\mathbf {F} (\mathbf {x_{0}} ,t)\cdot (\mathbf {x} -\mathbf {x_{0}} )}$

donde está el punto de interés y es el jacobiano de evaluado en . ${\displaystyle \mathbf {x_{0}} }$ ${\displaystyle D\mathbf {F} (\mathbf {x_{0}} ,t)}$ ${\displaystyle \mathbf {x} }$ ${\displaystyle \mathbf {F} (\mathbf {x} ,t)}$ ${\displaystyle \mathbf {x_{0}} }$

Análisis de estabilidad

En el análisis de estabilidad de sistemas autónomos , se pueden utilizar los valores propios de la matriz jacobiana evaluados en un punto de equilibrio hiperbólico para determinar la naturaleza de ese equilibrio. Este es el contenido del teorema de linealización . Para sistemas que varían en el tiempo, la linealización requiere una justificación adicional. ^[3]

Microeconomía

En microeconomía , las reglas de decisión pueden aproximarse bajo el enfoque de linealización del espacio de estados. ^[4] Bajo este enfoque, las ecuaciones de Euler del problema de maximización de la utilidad se linealizan alrededor del estado estacionario estacionario. ^[4] Luego se encuentra una solución única al sistema resultante de ecuaciones dinámicas. ^[4]

Mejoramiento

En la optimización matemática , las funciones de costos y los componentes no lineales que contienen se pueden linealizar para aplicar un método de resolución lineal como el algoritmo Simplex . El resultado optimizado se alcanza de forma mucho más eficiente y es determinista como óptimo global .

Multifísica

En sistemas multifísicos (sistemas que involucran múltiples campos físicos que interactúan entre sí) se puede realizar la linealización con respecto a cada uno de los campos físicos. Esta linealización del sistema con respecto a cada uno de los campos da como resultado un sistema de ecuaciones monolíticas linealizadas que se puede resolver utilizando procedimientos de solución iterativa monolítica como el método de Newton-Raphson . Ejemplos de esto incluyen sistemas de escáner de resonancia magnética que dan como resultado un sistema de campos electromagnéticos, mecánicos y acústicos. ^[5]

Ver también

• Estabilidad lineal
• Matriz de rigidez tangente
• Derivados de estabilidad
• Teorema de linealización
• Aproximación de Taylor
• Ecuación funcional (función L)

Referencias

1. El problema de linealización en sistemas dinámicos complejos de dimensión uno en Scholarpedia
2. Linealización. La Universidad Johns Hopkins. Departamento de Ingeniería Eléctrica e Informática Archivado el 7 de junio de 2010 en la Wayback Machine.
3. Leonov, GA; Kuznetsov, Nevada (2007). "Linealización variable en el tiempo y efectos Perron". Revista Internacional de Bifurcación y Caos . 17 (4): 1079-1107. Código Bib : 2007IJBC...17.1079L. doi :10.1142/S0218127407017732.
4. Moffatt, Mike. (2008) About.com Glosario de economía del enfoque espacial-estado ; Términos que comienzan con S. Consultado el 19 de junio de 2008.
5. Bagwell, S.; Libro mayor, PD; Gil, AJ; Mallett, M.; Kruip, M. (2017). "Un marco de elementos finitos hp linealizado para acoplamiento acústico-magneto-mecánico en escáneres de resonancia magnética axialmente simétricos". Revista internacional de métodos numéricos en ingeniería . 112 (10): 1323-1352. Código Bib : 2017IJNME.112.1323B. doi : 10.1002/nme.5559 .

enlaces externos

Tutoriales de linealización

• Linealización para análisis de modelos y diseño de control.