En física teórica , la teoría de cuerdas topológica es una versión de la teoría de cuerdas . La teoría topológica de cuerdas apareció en artículos de físicos teóricos, como Edward Witten y Cumrun Vafa , por analogía con la idea anterior de Witten de la teoría topológica de campos cuánticos .
Hay dos versiones principales de la teoría de cuerdas topológica: el modelo A topológico y el modelo B topológico. Los resultados de los cálculos en la teoría de cuerdas topológica codifican genéricamente todas las cantidades holomorfas dentro de la teoría de cuerdas completa cuyos valores están protegidos por la supersimetría del espacio-tiempo . Varios cálculos en la teoría topológica de cuerdas están estrechamente relacionados con la teoría de Chern-Simons , las invariantes de Gromov-Witten , la simetría especular , el programa geométrico de Langlands y muchos otros temas.
Los operadores en la teoría de cuerdas topológica representan el álgebra de operadores en la teoría de cuerdas completa que preservan una cierta cantidad [ se necesita aclaración ] de supersimetría . La teoría de cuerdas topológica se obtiene mediante un giro topológico de la descripción de la hoja mundial de la teoría de cuerdas ordinaria: los operadores reciben diferentes giros. La operación es totalmente análoga a la construcción de la teoría de campos topológicos, que es un concepto relacionado. En consecuencia, no existen grados de libertad locales en la teoría de cuerdas topológica.
Las cuerdas fundamentales de la teoría de cuerdas son superficies bidimensionales. En cada superficie se define una teoría cuántica de campos conocida como modelo N = (1,1) sigma . Esta teoría consiste en mapas desde la superficie hasta una supervariedad . Físicamente, la supervariedad se interpreta como espacio-tiempo y cada mapa se interpreta como la incrustación de la cuerda en el espacio-tiempo.
Sólo los espacios-tiempos especiales admiten cadenas topológicas. Clásicamente, se debe elegir un espacio-tiempo tal que la teoría respete un par adicional de supersimetrías [ ¿por qué? ] , haciendo del espacio-tiempo un modelo sigma N = (2,2) [ se necesita más explicación ] . Un caso particular de esto es si el espacio-tiempo es una variedad de Kähler y el flujo de H es idénticamente igual a cero. Las variedades Kähler generalizadas pueden tener un flujo H no trivial.
Las cadenas ordinarias sobre fondos especiales nunca son topológicas [ ¿por qué? ] . Para hacer que estas cadenas sean topológicas, es necesario modificar el modelo sigma mediante un procedimiento llamado giro topológico que fue inventado por Edward Witten en 1988. La observación central [ se necesita aclaración ] es que estas [ ¿cuáles? ] Las teorías tienen dos simetrías U(1) conocidas como simetrías R , y la simetría de Lorentz puede modificarse [ se necesita aclaración ] mezclando rotaciones y simetrías R. Se puede utilizar cualquiera de las dos simetrías R, lo que lleva a dos teorías diferentes, llamadas modelo A y modelo B. Después de este giro, la acción de la teoría es BRST exacta [ se necesita más explicación ] y, como resultado, la teoría no tiene dinámica. En cambio, todos los observables dependen de la topología de una configuración. Estas teorías se conocen como teorías topológicas.
Clásicamente este procedimiento siempre es posible. [ Se necesita más explicación ]
Mecánica cuántica, las simetrías U(1) pueden ser anómalas , haciendo imposible el giro. Por ejemplo, en el caso de Kähler con H = 0 [ se necesita aclaración ] el giro que conduce al modelo A siempre es posible, pero el giro que conduce al modelo B sólo es posible cuando la primera clase Chern del espacio-tiempo desaparece, lo que implica que el El espacio-tiempo es Calabi-Yau [ se necesita aclaración ] . De manera más general, las teorías (2,2) tienen dos estructuras complejas y el modelo B existe cuando las primeras clases de Chern de paquetes asociados suman cero, mientras que el modelo A existe cuando la diferencia de las clases de Chern es cero. En el caso de Kähler, las dos estructuras complejas son iguales y, por tanto, la diferencia es siempre cero, razón por la cual el modelo A siempre existe.
No hay restricción en el número de dimensiones del espacio-tiempo, aparte de que debe ser par porque el espacio-tiempo es Kähler generalizado. Sin embargo, todas las funciones de correlación con hojas de mundo que no son esferas desaparecen a menos que la dimensión compleja del espacio-tiempo sea tres, por lo que los espacio-tiempos con dimensión compleja tres son los más interesantes. Esto es una suerte para la fenomenología , ya que los modelos fenomenológicos a menudo utilizan una teoría física de cuerdas compactada en un espacio de tres dimensiones complejas. La teoría de cuerdas topológica no es equivalente a la teoría de cuerdas física, ni siquiera en el mismo espacio, pero ciertas [ ¿cuáles? ] Las cantidades supersimétricas coinciden en las dos teorías.
El modelo A topológico viene con un espacio objetivo que es un espacio-tiempo de Kähler generalizado de 6 dimensiones reales. En el caso en que el espaciotiempo sea Kähler, la teoría describe dos objetos. Hay cuerdas fundamentales que envuelven dos curvas holomorfas de dimensión real. Las amplitudes de dispersión de estas cuerdas dependen únicamente de la forma Kähler del espacio-tiempo y no de la estructura compleja. Clásicamente estas funciones de correlación están determinadas por el anillo de cohomología . Existen efectos instantáneos de la mecánica cuántica que los corrigen y producen invariantes de Gromov-Witten , que miden el producto de la copa en un anillo de cohomología deformado llamado cohomología cuántica . La teoría del campo de cuerdas del modelo A de cuerdas cerradas se conoce como gravedad de Kähler y fue introducida por Michael Bershadsky y Vladimir Sadov en Teoría de la gravedad de Kähler.
Además, hay branas D2 que envuelven subvariedades lagrangianas del espacio-tiempo. Se trata de subvariedades cuyas dimensiones son la mitad del espacio-tiempo, y tales que el retroceso de la forma de Kähler hacia la subvariedad desaparece. La teoría del volumen mundial sobre una pila de N D2-branas es la teoría del campo de cuerdas de las cuerdas abiertas del modelo A, que es una teoría U(N) de Chern-Simons .
Las cadenas topológicas fundamentales pueden terminar en las branas D2. Mientras que la incrustación de una cuerda depende sólo de la forma de Kähler, la incrustación de las branas depende completamente de la estructura compleja. En particular, cuando una cuerda termina en una brana, la intersección siempre será ortogonal, ya que el producto de cuña de la forma de Kähler y la forma holomorfa de 3 es cero. En la cuerda física esto es necesario para la estabilidad de la configuración, pero aquí es una propiedad de los ciclos lagrangianos y holomórficos en una variedad de Kahler.
También puede haber branas coisotrópicas en varias dimensiones distintas de las medias dimensiones de las subvariedades lagrangianas . Estos fueron introducidos por primera vez por Anton Kapustin y Dmitri Orlov en Comentarios sobre las branas A, la simetría del espejo y la categoría Fukaya.
El modelo B también contiene cuerdas fundamentales, pero sus amplitudes de dispersión dependen completamente de la estructura compleja y son independientes de la estructura de Kähler. En particular, son insensibles a los efectos instantáneos de la hoja mundial y, por lo tanto, a menudo se pueden calcular con exactitud. Luego, la simetría especular los relaciona con las amplitudes del modelo A, lo que permite calcular las invariantes de Gromov-Witten. La teoría del campo de cuerdas de las cuerdas cerradas del modelo B se conoce como teoría de la gravedad de Kodaira-Spencer y fue desarrollada por Michael Bershadsky, Sergio Cecotti , Hirosi Ooguri y Cumrun Vafa en Kodaira-Spencer Theory of Gravity and Exact Results for Quantum. Amplitudes de cuerdas.
El modelo B también viene con branas D(-1), D1, D3 y D5, que envuelven subvariedades holomorfas 0, 2, 4 y 6 respectivamente. La subvariedad 6 es un componente conectado del espacio-tiempo. La teoría sobre una brana D5 se conoce como teoría holomorfa de Chern-Simons. La densidad lagrangiana es el producto de cuña de la teoría ordinaria de Chern-Simons con la forma holomorfa (3,0), que existe en el caso de Calabi-Yau. Las densidades lagrangianas de las teorías sobre las branas de dimensiones inferiores pueden obtenerse de la teoría holomorfa de Chern-Simons mediante reducciones dimensionales.
La teoría M topológica, que disfruta de un espacio-tiempo de siete dimensiones, no es una teoría de cuerdas topológica, ya que no contiene cadenas topológicas. Sin embargo, se ha conjeturado que la teoría M topológica en un paquete circular sobre una variedad 6 es equivalente al modelo A topológico en esa variedad 6.
En particular, las branas D2 del modelo A se elevan hasta puntos en los que el haz circular degenera, o más precisamente, los monopolos de Kaluza-Klein . Las cuerdas fundamentales del modelo A se elevan a membranas denominadas branas M2 en la teoría M topológica.
Un caso especial que ha despertado mucho interés es la teoría M topológica en un espacio con holonomía G 2 y el modelo A en Calabi-Yau. En este caso, las branas M2 envuelven 3 ciclos asociativos. Estrictamente hablando, la conjetura topológica de la teoría M sólo se ha hecho en este contexto, ya que en este caso las funciones introducidas por Nigel Hitchin en The Geometry of Three-Forms in Six and Seven Dimensions and Stable Forms and Special Metrics proporcionan un candidato efectivo de baja energía. acción.
Estas funciones se denominan " funcionales de Hitchin " y la cadena topológica está estrechamente relacionada con las ideas de Hitchin sobre estructura compleja generalizada , sistema de Hitchin y construcción ADHM , etc.
La teoría de la hoja de mundo bidimensional es un modelo sigma supersimétrico N = (2,2) , la supersimetría (2,2) significa que los generadores fermiónicos del álgebra de supersimetría , llamados supercargas, pueden ensamblarse en un solo espinor de Dirac , que consiste de dos espinores de Majorana-Weyl de cada quiralidad. Este modelo sigma está topológicamente retorcido, lo que significa que los generadores de simetría de Lorentz que aparecen en el álgebra de supersimetría rotan simultáneamente el espacio-tiempo físico y también rotan las direcciones fermiónicas mediante la acción de una de las simetrías R. El grupo de simetría R de una teoría de campo bidimensional N = (2,2) es U(1) × U(1), los giros de los dos factores diferentes conducen a los modelos A y B respectivamente. La construcción topológica retorcida de las teorías topológicas de cuerdas fue presentada por Edward Witten en su artículo de 1988. [1]
El giro topológico conduce a una teoría topológica porque el tensor tensión-energía puede escribirse como un anticonmutador de una supercarga y otro campo. Como el tensor tensión-energía mide la dependencia de la acción del tensor métrico , esto implica que todas las funciones de correlación de los operadores Q-invariantes son independientes de la métrica. En este sentido, la teoría es topológica.
De manera más general, cualquier término D en la acción, que es cualquier término que pueda expresarse como una integral de todo el superespacio , es un anticonmutador de una supercarga y, por lo tanto, no afecta los observables topológicos. Aún más en general, en el modelo B cualquier término que pueda escribirse como una integral sobre las coordenadas fermiónicas no contribuye, mientras que en el modelo A cualquier término que sea una integral sobre o sobre no contribuye. Esto implica que los observables del modelo A son independientes del superpotencial (como puede escribirse como una integral sobre solo ) pero dependen holomórficamente del superpotencial retorcido, y viceversa para el modelo B.
Varias dualidades relacionan las teorías anteriores. El modelo A y el modelo B en dos variedades de espejos están relacionados por simetría especular , que se ha descrito como una dualidad T en un tres toros. Se conjetura que el modelo A y el modelo B en la misma variedad están relacionados por la dualidad S , lo que implica la existencia de varias branas nuevas, llamadas branas NS por analogía con la brana NS5 , que envuelven los mismos ciclos que la original. branas pero en la teoría opuesta. Además, una combinación del modelo A y una suma del modelo B y su conjugado están relacionadas con la teoría M topológica mediante una especie de reducción dimensional . Aquí los grados de libertad del modelo A y del modelo B no parecen ser observables simultáneamente, sino que tienen una relación similar a la que existe entre la posición y el momento en la mecánica cuántica .
La suma del modelo B y su conjugado aparece en la dualidad anterior porque es la teoría cuya acción efectiva de baja energía se espera que sea descrita por el formalismo de Hitchin. Esto se debe a que el modelo B sufre una anomalía holomorfa, que establece que la dependencia de cantidades complejas, aunque clásicamente holomorfa, recibe correcciones cuánticas no holomorfas. En Quantum Background Independence in String Theory, Edward Witten argumentó que esta estructura es análoga a una estructura que se encuentra cuantizando geométricamente el espacio de estructuras complejas. Una vez que se ha cuantificado este espacio, sólo la mitad de las dimensiones conmutan simultáneamente y, por tanto, el número de grados de libertad se ha reducido a la mitad. Esta reducción a la mitad depende de una elección arbitraria, llamada polarización . El modelo conjugado contiene los grados de libertad faltantes, por lo que al tensor el modelo B y su conjugado se obtienen todos los grados de libertad faltantes y también se elimina la dependencia de la elección arbitraria de polarización.
También hay una serie de dualidades que relacionan las configuraciones con D-branas, que se describen mediante cuerdas abiertas, con aquellas con branas reemplazadas por flujo y con la geometría descrita por la geometría del horizonte cercano de las branas perdidas. Estos últimos se describen mediante cadenas cerradas.
Quizás la primera dualidad de este tipo sea la dualidad Gopakumar-Vafa, que fue introducida por Rajesh Gopakumar y Cumrun Vafa en On the Gauge Theory/Geometry Correspondence. Esto relaciona una pila de N D6-branas en una 3 esferas en el modelo A en el conifold deformado con la teoría de cuerdas cerradas del modelo A en un conifold resuelto con un campo B igual a N veces la constante de acoplamiento de cuerdas. Las cuerdas abiertas en el modelo A se describen mediante la teoría U (N) de Chern-Simons, mientras que la teoría de cuerdas cerradas en el modelo A se describe mediante la gravedad de Kähler.
Aunque se dice que el conifold está resuelto, el área de las dos esferas ampliadas es cero, sólo el campo B, que a menudo se considera la parte compleja del área, no desaparece. De hecho, como la teoría de Chern-Simons es topológica, se puede reducir el volumen de las tres esferas deformadas a cero y así llegar a la misma geometría que en la teoría dual.
El dual espejo de esta dualidad es otra dualidad, que relaciona cuerdas abiertas en el modelo B en una brana que envuelve el ciclo 2 en la conifold resuelta con cuerdas cerradas en el modelo B en la conifold deformada. Las cuerdas abiertas en el modelo B se describen mediante reducciones dimensionales de la teoría homolomorfa de Chern-Simons en las branas en las que terminan, mientras que las cuerdas cerradas en el modelo B se describen mediante la gravedad de Kodaira-Spencer.
En el artículo Quantum Calabi-Yau and Classical Crystals, Andrei Okounkov , Nicolai Reshetikhin y Cumrun Vafa conjeturaron que el modelo cuántico A es dual a un cristal de fusión clásico a una temperatura igual a la inversa de la constante de acoplamiento de cuerdas. Esta conjetura fue interpretada en Quantum Foam and Topological Strings, de Amer Iqbal , Nikita Nekrasov , Andrei Okounkov y Cumrun Vafa . Afirman que la suma estadística sobre las configuraciones de los cristales fundidos es equivalente a una integral de trayectoria sobre los cambios en la topología del espacio-tiempo soportada en regiones pequeñas con un área de orden producto de la constante de acoplamiento de la cadena y α'.
Estas configuraciones, con un espacio-tiempo lleno de muchas burbujas pequeñas, se remontan a John Archibald Wheeler en 1964, pero rara vez han aparecido en la teoría de cuerdas, ya que es notoriamente difícil de precisar. Sin embargo, en esta dualidad, los autores pueden plasmar la dinámica de la espuma cuántica en el lenguaje familiar de una teoría de calibre U(1) topológicamente retorcida , cuya intensidad de campo está linealmente relacionada con la forma de Kähler del modelo A. En particular, esto sugiere que la forma de Kähler del modelo A debería cuantificarse.
Las amplitudes de la teoría de cuerdas topológicas del modelo A se utilizan para calcular prepotenciales en N = 2 teorías de calibre supersimétricas en cuatro y cinco dimensiones. Las amplitudes del modelo B topológico, con flujos o branas, se utilizan para calcular superpotenciales en N = 1 teorías de calibre supersimétricas en cuatro dimensiones. Los cálculos del modelo perturbativo A también cuentan los estados BPS de agujeros negros giratorios en cinco dimensiones.
