Modelo sigma

Teoría de campo de una partícula puntual confinada a moverse en una variedad fija

En física , un modelo sigma es una teoría de campos que describe el campo como una partícula puntual confinada a moverse en una variedad fija. Esta variedad puede tomarse como cualquier variedad de Riemann , aunque lo más común es tomarla como un grupo de Lie o un espacio simétrico . El modelo puede o no estar cuantizado. Un ejemplo de la versión no cuantizada es el modelo de Skyrme ; no puede cuantizarse debido a no linealidades de potencia mayor que 4. En general, los modelos sigma admiten soluciones solitones topológicas (clásicas) , por ejemplo, el skyrmion para el modelo de Skyrme. Cuando el campo sigma está acoplado a un campo de calibración, el modelo resultante se describe mediante la teoría de Ginzburg-Landau . Este artículo está dedicado principalmente a la teoría de campos clásica del modelo sigma; la teoría cuantizada correspondiente se presenta en el artículo titulado " modelo sigma no lineal ".

Descripción general

El nombre tiene sus raíces en la física de partículas, donde un modelo sigma describe las interacciones de los piones . Desafortunadamente, el "mesón sigma" no está descrito por el modelo sigma, sino solo un componente del mismo. ^[1]

El modelo sigma fue introducido por Gell-Mann y Lévy (1960, sección 5); el nombre modelo σ proviene de un campo en su modelo correspondiente a un mesón sin espín llamado σ , un mesón escalar introducido anteriormente por Julian Schwinger . ^[2] El modelo sirvió como el prototipo dominante de ruptura espontánea de simetría de O(4) a O(3): los tres generadores axiales rotos son la manifestación más simple de ruptura de simetría quiral , el O(3) intacto sobreviviente representa isospín .

En los entornos de física de partículas convencionales , el campo se considera generalmente SU(N) , o el subespacio vectorial del cociente del producto de los campos quirales izquierdo y derecho. En las teorías de la materia condensada , el campo se considera O(N) . Para el grupo de rotación O(3), el modelo sigma describe el ferroimán isotrópico ; de manera más general, el modelo O(N) aparece en el efecto Hall cuántico , el helio-3 superfluido y las cadenas de espín . ${\displaystyle (SU(N)_{L}\times SU(N)_{R})/SU(N)}$

En los modelos de supergravedad , el campo se considera un espacio simétrico . Dado que los espacios simétricos se definen en términos de su involución , su espacio tangente se divide naturalmente en subespacios de paridad par e impar. Esta división ayuda a impulsar la reducción dimensional de las teorías de Kaluza-Klein .

En su forma más básica, el modelo sigma puede tomarse como puramente la energía cinética de una partícula puntual; como campo, es simplemente la energía de Dirichlet en el espacio euclidiano.

En dos dimensiones espaciales, el modelo O(3) es completamente integrable .

Definición

La densidad lagrangiana del modelo sigma se puede escribir de diversas maneras, cada una adecuada a un tipo particular de aplicación. La definición más simple y genérica escribe el lagrangiano como la traza métrica del retroceso del tensor métrico en una variedad de Riemann . Para un campo sobre un espacio-tiempo , esto se puede escribir como ${\displaystyle \phi :M\to \Phi }$ ${\displaystyle M}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}g_{ij}(\phi )\;\partial ^{\mu }\phi _{i}\partial _{\mu }\phi _{j}}$

donde es el tensor métrico en el espacio de campo , y son las derivadas en la variedad espaciotemporal subyacente . ${\displaystyle g_{ij}(\phi )}$ ${\displaystyle \phi \in \Phi }$ ${\displaystyle \partial _{\mu }}$

Esta expresión se puede descomprimir un poco. El espacio de campo se puede elegir para que sea cualquier variedad de Riemann . Históricamente, esta es la "sigma" del modelo sigma; el símbolo históricamente apropiado se evita aquí para evitar conflictos con muchos otros usos comunes de en geometría. Las variedades de Riemann siempre vienen con un tensor métrico . Dado un atlas de gráficos en , el espacio de campo siempre se puede trivializar localmente , en el sentido de que, dado en el atlas, se puede escribir un mapa que proporcione coordenadas locales explícitas en ese parche. El tensor métrico en ese parche es una matriz que tiene componentes ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle U\subset \Phi }$ ${\displaystyle U\to \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \phi =(\phi ^{1},\cdots ,\phi ^{n})}$ ${\displaystyle g_{ij}(\phi ).}$

La variedad base debe ser una variedad diferenciable ; por convención, es un espacio de Minkowski en aplicaciones de física de partículas , un espacio euclidiano bidimensional plano para aplicaciones de materia condensada o una superficie de Riemann , la lámina universal en teoría de cuerdas . La es simplemente la derivada covariante simple y corriente en la variedad base del espacio-tiempo Cuando es plana, es simplemente el gradiente ordinario de una función escalar (como lo es un campo escalar, desde el punto de vista de sí mismo). En un lenguaje más preciso, es una sección del fibrado de jets de . ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \partial _{\mu }\phi =\partial \phi /\partial x^{\mu }}$ ${\displaystyle M.}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \partial _{\mu }\phi =\nabla \phi }$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \partial _{\mu }\phi }$ ${\displaystyle M\times \Phi }$

Ejemplo: modelo sigma no lineal O(N)

Tomando el delta de Kronecker , es decir, el producto escalar en el espacio euclidiano, se obtiene el modelo sigma no lineal. Es decir, se escribe como el vector unitario en , de modo que , con el producto escalar euclidiano ordinario. Entonces, la - esfera , cuyas isometrías son el grupo de rotación . El lagrangiano se puede escribir entonces como ${\displaystyle g_{ij}=\delta _{ij}}$ ${\displaystyle O(n)}$ ${\displaystyle \phi ={\hat {u}}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle {\hat {u}}\cdot {\hat {u}}=1}$ ${\displaystyle \cdot }$ ${\displaystyle {\hat {u}}\in S^{n-1}}$ ${\displaystyle (n-1)}$ ${\displaystyle O(n)}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}\nabla _{\mu }{\hat {u}}\cdot \nabla _{\mu }{\hat {u}}}$

Para , este es el límite continuo del ferroimán isótropo en una red, es decir, del modelo clásico de Heisenberg . Para , este es el límite continuo del modelo clásico XY . Véase también el modelo n-vectorial y el modelo de Potts para revisiones de los equivalentes del modelo de red . El límite continuo se toma escribiendo ${\displaystyle n=3}$ ${\displaystyle n=2}$

${\displaystyle \delta _{h}[{\hat {u}}](i,j)={\frac {{\hat {u}}_{i}-{\hat {u}}_{j}}{h}}}$

como la diferencia finita en las posiciones reticulares vecinas Entonces en el límite , y después de eliminar los términos constantes (la "magnetización en masa"). ${\displaystyle i,j.}$ ${\displaystyle \delta _{h}[{\hat {u}}]\to \partial _{\mu }{\hat {u}}}$ ${\displaystyle h\to 0}$ ${\displaystyle {\hat {u}}_{i}\cdot {\hat {u}}_{j}\to \partial _{\mu }{\hat {u}}\cdot \partial _{\mu }{\hat {u}}}$ ${\displaystyle {\hat {u}}_{i}\cdot {\hat {u}}_{i}=1}$

En notación geométrica

El modelo sigma también se puede escribir en una notación más geométrica, como un fibrado con fibras sobre una variedad diferenciable . Dada una sección , fije un punto El empuje hacia delante en es una función de fibrados tangentes ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \phi :M\to \Phi }$ ${\displaystyle x\in M.}$ ${\displaystyle x}$

${\displaystyle \mathrm {d} _{x}\phi :T_{x}M\to T_{\phi (x)}\Phi \quad }$tomando ${\displaystyle \quad \partial _{\mu }\mapsto {\frac {\partial \phi ^{i}}{\partial x^{\mu }}}\partial _{i}}$

donde se toma como una base de espacio vectorial ortonormal en y la base de espacio vectorial en . La es una forma diferencial . La acción del modelo sigma es entonces simplemente el producto interno convencional en k -formas con valores vectoriales ${\displaystyle \partial _{\mu }=\partial /\partial x^{\mu }}$ ${\displaystyle TM}$ ${\displaystyle \partial _{i}=\partial /\partial q^{i}}$ ${\displaystyle T\Phi }$ ${\displaystyle \mathrm {d} \phi }$

${\displaystyle {\mathcal {S}}={\frac {1}{2}}\int _{M}\mathrm {d} \phi \wedge {*\mathrm {d} \phi }}$

donde es el producto de cuña y es la estrella de Hodge . Este es un producto interno de dos maneras diferentes. En la primera, dadas dos formas diferenciables cualesquiera en , el dual de Hodge define un producto interno invariante en el espacio de formas diferenciales, comúnmente escrito como ${\displaystyle \wedge }$ ${\displaystyle *}$ ${\displaystyle \alpha ,\beta }$ ${\displaystyle M}$

${\displaystyle \langle \!\langle \alpha ,\beta \rangle \!\rangle \ =\ \int _{M}\alpha \wedge {*\beta }}$

Lo anterior es un producto interno en el espacio de formas integrables al cuadrado, convencionalmente tomado como el espacio de Sobolev. De esta manera, se puede escribir ${\displaystyle L^{2}.}$

${\displaystyle {\mathcal {S}}={\frac {1}{2}}\langle \!\langle \mathrm {d} \phi ,\mathrm {d} \phi \rangle \!\rangle }$

Esto hace que sea explícito y claramente evidente que el modelo sigma es simplemente la energía cinética de una partícula puntual. Desde el punto de vista de la variedad , el campo es un escalar, y por lo tanto se puede reconocer simplemente como el gradiente ordinario de una función escalar. La estrella de Hodge es simplemente un dispositivo sofisticado para realizar un seguimiento de la forma del volumen al integrar en el espacio-tiempo curvo. En el caso de que sea plano, se puede ignorar por completo, y por lo tanto la acción es ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \mathrm {d} \phi }$ ${\displaystyle M}$

${\displaystyle {\mathcal {S}}={\frac {1}{2}}\int _{M}\Vert \nabla \phi \Vert ^{2}d^{m}x}$

que es la energía de Dirichlet de . Los extremos clásicos de la acción (las soluciones de las ecuaciones de Lagrange ) son entonces aquellas configuraciones de campo que minimizan la energía de Dirichlet de . Otra forma de convertir esta expresión en una forma más fácilmente reconocible es observar que, para una función escalar, se tiene y, por lo tanto, también se puede escribir ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle f:M\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathrm {d} *f=0}$

${\displaystyle {\mathcal {S}}={\frac {1}{2}}\langle \!\langle \phi ,\Delta \phi \rangle \!\rangle }$

donde es el operador de Laplace-Beltrami , es decir, el laplaciano ordinario cuando es plano. ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle M}$

Que exista otro segundo producto interno en juego simplemente requiere no olvidar que es un vector desde el punto de vista de sí mismo. Es decir, dados dos vectores cualesquiera , la métrica de Riemann define un producto interno ${\displaystyle \mathrm {d} \phi }$ ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle v,w\in T\Phi }$ ${\displaystyle g_{ij}}$

${\displaystyle \langle v,w\rangle =g_{ij}v^{i}w^{j}}$

Dado que tiene valores vectoriales en gráficos locales, también se toma el producto interno. Más detalladamente, ${\displaystyle \mathrm {d} \phi }$ ${\displaystyle \mathrm {d} \phi =(\mathrm {d} \phi ^{1},\cdots ,\mathrm {d} \phi ^{n})}$

${\displaystyle {\mathcal {S}}={\frac {1}{2}}\int _{M}g_{ij}(\phi )\;\mathrm {d} \phi ^{i}\wedge {*\mathrm {d} \phi ^{j}}}$

La tensión entre estos dos productos internos se puede hacer aún más explícita al observar que

${\displaystyle B_{\mu \nu }(\phi )=g_{ij}\partial _{\mu }\phi ^{i}\partial _{\nu }\phi ^{j}}$

es una forma bilineal ; es un retroceso de la métrica de Riemann . El individuo puede tomarse como vielbeins . La densidad lagrangiana del modelo sigma es entonces ${\displaystyle g_{ij}}$ ${\displaystyle \partial _{\mu }\phi ^{i}}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}g^{\mu \nu }B_{\mu \nu }}$

para la métrica en Dado este pegado, el puede interpretarse como una forma de soldadura ; esto se articula con más detalle a continuación. ${\displaystyle g_{\mu \nu }}$ ${\displaystyle M.}$ ${\displaystyle \mathrm {d} \phi }$

Motivaciones e interpretaciones básicas

Se pueden hacer varias observaciones interpretativas y fundamentales sobre el modelo sigma clásico (no cuantizado). La primera de ellas es que el modelo sigma clásico puede interpretarse como un modelo de mecánica cuántica no interactiva. La segunda se refiere a la interpretación de la energía.

Interpretación como mecánica cuántica

Esto se desprende directamente de la expresión

${\displaystyle {\mathcal {S}}={\frac {1}{2}}\langle \!\langle \phi ,\Delta \phi \rangle \!\rangle }$

Dado lo anterior. Si tomamos , la función se puede interpretar como una función de onda y su laplaciano es la energía cinética de esa función de onda. El es solo una maquinaria geométrica que nos recuerda que debemos integrar todo el espacio. La notación mecánica cuántica correspondiente es En el espacio plano, el laplaciano se escribe convencionalmente como . Al unir todas estas piezas, la acción del modelo sigma es equivalente a ${\displaystyle \Phi =\mathbb {C} }$ ${\displaystyle \phi :M\to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \langle \!\langle \cdot ,\cdot \rangle \!\rangle }$ ${\displaystyle \phi =|\psi \rangle .}$ ${\displaystyle \Delta =\nabla ^{2}}$

${\displaystyle {\mathcal {S}}={\frac {1}{2}}\int _{M}\langle \psi |\nabla ^{2}|\psi \rangle dx^{m}={\frac {1}{2}}\int _{M}\psi ^{\dagger }(x)\nabla ^{2}\psi (x)dx^{m}}$

que es simplemente la energía cinética total de la función de onda , hasta un factor de . Para concluir, el modelo sigma clásico en puede interpretarse como la mecánica cuántica de una partícula cuántica libre, no interactuante. Obviamente, agregar un término de al lagrangiano da como resultado la mecánica cuántica de una función de onda en un potencial. Tomar no es suficiente para describir el sistema de partículas , ya que las partículas requieren coordenadas distintas, que no son proporcionadas por la variedad base. Esto se puede resolver tomando copias de la variedad base. ${\displaystyle \psi (x)}$ ${\displaystyle \hbar /m}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle V(\phi )}$ ${\displaystyle \Phi =\mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$

La forma de soldadura

Es bien sabido que la estructura geodésica de una variedad de Riemann se describe mediante las ecuaciones de Hamilton-Jacobi . ^[3] En forma resumida, la construcción es la siguiente. Tanto y son variedades de Riemann; lo siguiente está escrito para , lo mismo se puede hacer para . El fibrado cotangente , suministrado con gráficos de coordenadas , siempre se puede trivializar localmente , es decir ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle T^{*}\Phi }$

${\displaystyle \left.T^{*}\Phi \right|_{U}\cong U\times \mathbb {R} ^{n}}$

La trivialización proporciona coordenadas canónicas en el fibrado cotangente. Dado el tensor métrico en , defina la función hamiltoniana ${\displaystyle (q^{1},\cdots ,q^{n},p_{1},\cdots ,p_{n})}$ ${\displaystyle g_{ij}}$ ${\displaystyle \Phi }$

${\displaystyle H(q,p)={\frac {1}{2}}g^{ij}(q)p_{i}p_{j}}$

donde, como siempre, hay que tener cuidado de notar que en esta definición se utiliza la inversa de la métrica: Es bien sabido que el flujo geodésico está dado por las ecuaciones de Hamilton-Jacobi. ${\displaystyle g^{ij}g_{jk}=\delta _{k}^{i}.}$ ${\displaystyle \Phi }$

${\displaystyle {\dot {q}}^{i}={\frac {\partial H}{\partial p_{i}}}\quad }$y ${\displaystyle \quad {\dot {p}}_{i}=-{\frac {\partial H}{\partial q^{i}}}}$

El flujo geodésico es el flujo hamiltoniano ; las soluciones de lo anterior son las geodésicas de la variedad. Nótese, por cierto, que a lo largo de las geodésicas, el parámetro de tiempo es la distancia a lo largo de la geodésica. ${\displaystyle dH/dt=0}$ ${\displaystyle t}$

El modelo sigma toma los momentos en las dos variedades y los suelda entre sí, es decir , es una forma de soldadura . En este sentido, la interpretación del modelo sigma como un funcional de energía no es sorprendente; de ​​hecho, es la unión de dos funcionales de energía. Precaución: la definición precisa de una forma de soldadura requiere que sea un isomorfismo; esto solo puede suceder si y tienen la misma dimensión real. Además, la definición convencional de una forma de soldadura supone que es un grupo de Lie. Ambas condiciones se cumplen en varias aplicaciones. ${\displaystyle T^{*}\Phi }$ ${\displaystyle T^{*}M}$ ${\displaystyle \mathrm {d} \phi }$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle \Phi }$

Resultados en varios espacios

El espacio se considera a menudo como un grupo de Lie , normalmente SU(N) , en los modelos convencionales de física de partículas, O(N) en las teorías de materia condensada, o como un espacio simétrico en los modelos de supergravedad . Dado que los espacios simétricos se definen en términos de su involución , su espacio tangente (es decir, el lugar donde vive) se divide naturalmente en subespacios de paridad par e impar. Esta división ayuda a impulsar la reducción dimensional de las teorías de Kaluza-Klein . ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle \mathrm {d} \phi }$

Sobre los grupos de Lie

Para el caso especial de ser un grupo de Lie , el es el tensor métrico en el grupo de Lie, formalmente llamado tensor de Cartan o forma de Killing . El lagrangiano puede entonces escribirse como el pullback de la forma de Killing. Nótese que la forma de Killing puede escribirse como una traza sobre dos matrices del álgebra de Lie correspondiente ; por lo tanto, el lagrangiano también puede escribirse en una forma que involucre la traza. Con ligeros reordenamientos, también puede escribirse como el pullback de la forma de Maurer–Cartan . ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle g_{ij}}$

Sobre espacios simétricos

Una variación común del modelo sigma es presentarlo en un espacio simétrico . El ejemplo prototípico es el modelo quiral , que toma el producto

${\displaystyle G=SU(N)\times SU(N)}$

de los campos quirales "izquierdo" y "derecho", y luego construye el modelo sigma en la "diagonal"

${\displaystyle \Phi ={\frac {SU(N)\times SU(N)}{SU(N)}}}$

Un espacio cociente de este tipo es un espacio simétrico, por lo que se puede tomar genéricamente donde es el subgrupo máximo de que es invariante bajo la involución de Cartan . El lagrangiano todavía se escribe exactamente como el anterior, ya sea en términos del pullback de la métrica sobre una métrica sobre o como un pullback de la forma Maurer-Cartan. ${\displaystyle \Phi =G/H}$ ${\displaystyle H\subset G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G/H}$

Notación de traza

En física, la declaración más común y convencional del modelo sigma comienza con la definición

${\displaystyle L_{\mu }=\pi _{\mathfrak {m}}\circ \left(g^{-1}\partial _{\mu }g\right)}$

Aquí, la es la retirada de la forma de Maurer-Cartan , para , sobre la variedad espacio-temporal. La es una proyección sobre la parte de paridad impar de la involución de Cartan. Es decir, dada el álgebra de Lie de , la involución descompone el espacio en componentes de paridad par e impar correspondientes a los dos estados propios de la involución. El modelo sigma lagrangiano puede entonces escribirse como ${\displaystyle g^{-1}\partial _{\mu }g}$ ${\displaystyle g\in G}$ ${\displaystyle \pi _{\mathfrak {m}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {m}}\oplus {\mathfrak {h}}}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}\mathrm {tr} \left(L_{\mu }L^{\mu }\right)}$

Este es instantáneamente reconocible como el primer término del modelo Skyrme .

Forma métrica

La forma métrica equivalente de esto es escribir un elemento de grupo como la geodésica de un elemento del álgebra de Lie . Los son los elementos básicos del álgebra de Lie; las son las constantes de estructura de . ${\displaystyle g\in G}$ ${\displaystyle g=\exp(\theta ^{i}T_{i})}$ ${\displaystyle \theta ^{i}T_{i}\in {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle [T_{i},T_{j}]={f_{ij}}^{k}T_{k}}$ ${\displaystyle {f_{ij}}^{k}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Conectando esto directamente a lo anterior y aplicando la forma infinitesimal de la fórmula de Baker-Campbell-Hausdorff se llega rápidamente a la expresión equivalente

${\displaystyle {\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}g_{ij}(\phi )\;\mathrm {d} \phi _{i}\wedge {*\mathrm {d} \phi _{j}}={\frac {1}{2}}\;{W_{i}}^{m}{W^{n}}_{j}\;\;\mathrm {d} \phi _{i}\wedge {*\mathrm {d} \phi _{j}}\;\;\mathrm {tr} (T_{m}T_{n})}$

donde ahora es obviamente (proporcional a) la forma Killing, y son los vielbeins que expresan la métrica "curva" en términos de la métrica "plana" . El artículo sobre la fórmula de Baker–Campbell–Hausdorff proporciona una expresión explícita para los vielbeins. Se pueden escribir como ${\displaystyle \mathrm {tr} (T_{m}T_{n})}$ ${\displaystyle {W_{i}}^{m}}$ ${\displaystyle g_{ij}}$ ${\displaystyle \mathrm {tr} (T_{m}T_{n})}$

${\displaystyle W=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}M^{n}}{(n+1)!}}=(I-e^{-M})M^{-1}}$

donde es una matriz cuyos elementos de matriz son . ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle {M_{j}}^{k}=\theta ^{i}{f_{ij}}^{k}}$

Para el modelo sigma en un espacio simétrico, a diferencia de un grupo de Lie, los están limitados a abarcar el subespacio en lugar de todos los . El conmutador de Lie en no estará dentro de ; de hecho, uno tiene y, por lo tanto, todavía se necesita una proyección. ${\displaystyle T_{i}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {m}}\oplus {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$ ${\displaystyle [{\mathfrak {m}},{\mathfrak {m}}]\subset {\mathfrak {h}}}$

Extensiones

El modelo se puede ampliar de diversas maneras. Además del modelo Skyrme mencionado anteriormente , que introduce términos cuárticos, el modelo se puede ampliar con un término de torsión para obtener el modelo Wess–Zumino–Witten .

Otra posibilidad se observa con frecuencia en los modelos de supergravedad . En este caso, se observa que la forma de Maurer-Cartan parece "calibre puro". En la construcción anterior para espacios simétricos, también se puede considerar la otra proyección ${\displaystyle g^{-1}dg}$

${\displaystyle A_{\mu }=\pi _{\mathfrak {h}}\circ \left(g^{-1}\partial _{\mu }g\right)}$

donde, como antes, el espacio simétrico correspondía a la división . Este término adicional puede interpretarse como una conexión en el haz de fibras (se transforma en un campo de calibración). Es lo que "resulta" de la conexión en . Puede dotarse de su propia dinámica, escribiendo ${\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {m}}\oplus {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle M\times H}$ ${\displaystyle G}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}=g_{ij}F^{i}\wedge *F^{j}}$

con . Nótese que la diferencial aquí es simplemente "d", y no una derivada covariante; este no es el tensor de tensión-energía de Yang-Mills. Este término no es invariante de calibre por sí mismo; debe tomarse junto con la parte de la conexión que se incrusta en , de modo que tomados en conjunto, el , ahora con la conexión como parte de él, junto con este término, forma un lagrangiano invariante de calibre completo (que sí tiene los términos de Yang-Mills en él, cuando se expande). ${\displaystyle F^{i}=dA^{i}}$ ${\displaystyle L_{\mu }}$ ${\displaystyle L_{\mu }}$

Referencias

1. página 114, David Tong : Lecciones sobre teoría estadística de campos
2. Julian S. Schwinger, "Una teoría de las interacciones fundamentales", Ann. Phys. 2 (407), 1957.
3. Jurgen Jost (1991) Geometría riemanniana y análisis geométrico, Springer

• Gell-Mann, M.; Lévy, M. (1960), "La corriente vectorial axial en la desintegración beta", Il Nuovo Cimento , 16 (4): 705–726, Bibcode :1960NCim...16..705G, doi :10.1007/BF02859738, S2CID  122945049

• Ketov, Sergei (2009). "Modelo sigma no lineal". Scholarpedia . 4 (1): 8508. Bibcode :2009SchpJ...4.8508K. doi : 10.4249/scholarpedia.8508 .