Forma de volumen

Forma diferencial

En matemáticas , una forma de volumen o forma top-dimensional es una forma diferencial de grado igual a la dimensión de la variedad diferenciable . Por lo tanto, en una variedad de dimensión , una forma de volumen es una -forma. Es un elemento del espacio de secciones del fibrado lineal , denotado como . Una variedad admite una forma de volumen que no se desvanece en ninguna parte si y solo si es orientable. Una variedad orientable tiene infinitas formas de volumen, ya que multiplicar una forma de volumen por una función de valor real que no se desvanece en ninguna parte produce otra forma de volumen. En variedades no orientables, se puede definir en cambio la noción más débil de una densidad . ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \textstyle {\bigwedge }^{n}(T^{*}M)}$ ${\displaystyle \Omega ^{n}(M)}$

Una forma de volumen proporciona un medio para definir la integral de una función en una variedad diferenciable. En otras palabras, una forma de volumen da lugar a una medida con respecto a la cual las funciones pueden integrarse mediante la integral de Lebesgue adecuada . El valor absoluto de una forma de volumen es un elemento de volumen , que también se conoce como forma de volumen torcida o forma de pseudovolumen . También define una medida, pero existe en cualquier variedad diferenciable, orientable o no.

Las variedades de Kähler , al ser variedades complejas , están naturalmente orientadas y, por lo tanto, poseen una forma de volumen. En términos más generales, la potencia exterior n de la forma simpléctica en una variedad simpléctica es una forma de volumen. Muchas clases de variedades tienen formas de volumen canónicas: tienen una estructura adicional que permite la elección de una forma de volumen preferida. Las variedades pseudoriemannianas orientadas tienen una forma de volumen canónica asociada. ${\displaystyle n}$

Orientación

Lo que sigue se referirá únicamente a la orientabilidad de variedades diferenciables (es una noción más general definida en cualquier variedad topológica).

Una variedad es orientable si tiene un atlas de coordenadas cuyas funciones de transición tienen determinantes jacobianos positivos . Una selección de un atlas máximo de este tipo es una orientación en Una forma de volumen en da lugar a una orientación de forma natural como el atlas de gráficos de coordenadas en que envía a un múltiplo positivo de la forma de volumen euclidiana ${\displaystyle M.}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle dx^{1}\wedge \cdots \wedge dx^{n}.}$

Una forma de volumen también permite la especificación de una clase preferida de marcos en Llame a una base de vectores tangentes de mano derecha si ${\displaystyle M.}$ ${\displaystyle (X_{1},\ldots ,X_{n})}$ $${\displaystyle \omega \left(X_{1},X_{2},\ldots ,X_{n}\right)>0.}$$

El conjunto de todos los marcos diestros se ve afectado por el grupo de aplicaciones lineales generales en dimensiones con determinante positivo. Forman un subfibrado principal del fibrado de marcos lineal de y, por lo tanto, la orientación asociada a una forma de volumen da lugar a una reducción canónica del fibrado de marcos de a un subfibrado con grupo de estructura. Es decir, una forma de volumen da lugar a una -estructura en Claramente, es posible una mayor reducción considerando marcos que tienen ${\displaystyle \mathrm {GL} ^{+}(n)}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathrm {GL} ^{+}(n)}$ ${\displaystyle M,}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \mathrm {GL} ^{+}(n).}$ ${\displaystyle \mathrm {GL} ^{+}(n)}$ ${\displaystyle M.}$

Por lo tanto, una forma de volumen también da lugar a una -estructura. A la inversa, dada una -estructura, se puede recuperar una forma de volumen imponiendo ( 1 ) para los marcos lineales especiales y luego resolviendo para la -forma requerida exigiendo homogeneidad en sus argumentos. ${\displaystyle \mathrm {SL} (n)}$ ${\displaystyle \mathrm {SL} (n)}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \omega }$

Una variedad es orientable si y solo si tiene una forma de volumen que no se desvanece en ninguna parte. De hecho, es una retracción de deformación ya que donde los reales positivos están incrustados como matrices escalares. Por lo tanto, cada -estructura es reducible a una -estructura, y las -estructuras coinciden con las orientaciones en Más concretamente, la trivialidad del fibrado determinante es equivalente a la orientabilidad, y un fibrado lineal es trivial si y solo si tiene una sección que no se desvanece en ninguna parte. Por lo tanto, la existencia de una forma de volumen es equivalente a la orientabilidad. ${\displaystyle \mathrm {SL} (n)\to \mathrm {GL} ^{+}(n)}$ ${\displaystyle \mathrm {GL} ^{+}=\mathrm {SL} \times \mathbb {R} ^{+},}$ ${\displaystyle \mathrm {GL} ^{+}(n)}$ ${\displaystyle \mathrm {SL} (n)}$ ${\displaystyle \mathrm {GL} ^{+}(n)}$ ${\displaystyle M.}$ ${\displaystyle \Omega ^{n}(M)}$

Relación con las medidas

Dada una forma de volumen en una variedad orientada, la densidad es una pseudoforma de volumen en la variedad no orientada que se obtiene olvidando la orientación. Las densidades también se pueden definir de manera más general en variedades no orientables. ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle |\omega |}$

Cualquier pseudoforma de volumen (y por lo tanto también cualquier forma de volumen) define una medida en los conjuntos de Borel por ${\displaystyle \omega }$ $${\displaystyle \mu _{\omega }(U)=\int _{U}\omega .}$$

La diferencia es que mientras que una medida se puede integrar sobre un subconjunto (de Borel) , una forma de volumen solo se puede integrar sobre una celda orientada . En el cálculo de una variable , la escritura considera como una forma de volumen, no simplemente una medida, e indica "integrar sobre la celda con la orientación opuesta, a veces denotada como ". ${\textstyle \int _{b}^{a}f\,dx=-\int _{a}^{b}f\,dx}$ ${\displaystyle dx}$ ${\textstyle \int _{b}^{a}}$ ${\displaystyle [a,b]}$ ${\displaystyle {\overline {[a,b]}}}$

Además, las medidas generales no necesitan ser continuas o suaves: no necesitan estar definidas por una forma de volumen o, más formalmente, su derivada de Radon-Nikodym con respecto a una forma de volumen dada no necesita ser absolutamente continua .

Divergencia

Dada una forma de volumen en se puede definir la divergencia de un campo vectorial como la única función escalar, denotada por satisfacer donde denota la derivada de Lie a lo largo de y denota el producto interior o la contracción por la izquierda de a lo largo de Si es un campo vectorial con soporte compacto y es una variedad con borde , entonces el teorema de Stokes implica que es una generalización del teorema de divergencia . ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle M,}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \operatorname {div} X,}$ $${\displaystyle (\operatorname {div} X)\omega =L_{X}\omega =d(X\mathbin {\!\rfloor } \omega ),}$$ ${\displaystyle L_{X}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X\mathbin {\!\rfloor } \omega }$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle M}$ $${\displaystyle \int _{M}(\operatorname {div} X)\omega =\int _{\partial M}X\mathbin {\!\rfloor } \omega ,}$$

Los campos vectoriales solenoidales son aquellos que tienen De la definición de la derivada de Lie se deduce que la forma de volumen se conserva bajo el flujo de un campo vectorial solenoidal. Por lo tanto, los campos vectoriales solenoidales son precisamente aquellos que tienen flujos que conservan el volumen. Este hecho es bien conocido, por ejemplo, en mecánica de fluidos donde la divergencia de un campo de velocidad mide la compresibilidad de un fluido, que a su vez representa el grado en que se conserva el volumen a lo largo de los flujos del fluido. ${\displaystyle \operatorname {div} X=0.}$

Casos especiales

Grupos de mentiras

Para cualquier grupo de Lie , se puede definir una forma de volumen natural por traslación. Es decir, si es un elemento de entonces se puede definir una forma invariante por la izquierda por donde es traslación por la izquierda. Como corolario, cada grupo de Lie es orientable. Esta forma de volumen es única hasta un escalar, y la medida correspondiente se conoce como medida de Haar . ${\displaystyle \omega _{e}}$ ${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }^{n}T_{e}^{*}G,}$ ${\displaystyle \omega _{g}=L_{g^{-1}}^{*}\omega _{e},}$ ${\displaystyle L_{g}}$

Variedades simplécticas

Toda variedad simpléctica (o, de hecho, toda variedad casi simpléctica ) tiene una forma de volumen natural. Si es una variedad -dimensional con forma simpléctica entonces no es cero en ninguna parte como consecuencia de la no degeneración de la forma simpléctica. Como corolario, toda variedad simpléctica es orientable (de hecho, orientada). Si la variedad es a la vez simpléctica y riemanniana, entonces las dos formas de volumen concuerdan si la variedad es Kähler . ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle 2n}$ ${\displaystyle \omega ,}$ ${\displaystyle \omega ^{n}}$

Forma de volumen de Riemann

Cualquier variedad pseudo-riemanniana orientada (incluida la riemanniana ) tiene una forma de volumen natural. En coordenadas locales , se puede expresar como donde son 1-formas que forman una base orientada positivamente para el fibrado cotangente de la variedad. Aquí, es el valor absoluto del determinante de la representación matricial del tensor métrico en la variedad. $${\displaystyle \omega ={\sqrt {|g|}}dx^{1}\wedge \dots \wedge dx^{n}}$$ ${\displaystyle dx^{i}}$ ${\displaystyle |g|}$

La forma de volumen se denota de diversas formas: $${\displaystyle \omega =\mathrm {vol} _{n}=\varepsilon ={\star }(1).}$$

Aquí, la es la estrella de Hodge , por lo tanto, la última forma, enfatiza que la forma de volumen es el dual de Hodge del mapa constante en la variedad, que es igual al tensor de Levi-Civita. ${\displaystyle {\star }}$ ${\displaystyle {\star }(1),}$ ${\displaystyle \varepsilon .}$

Aunque la letra griega se utiliza con frecuencia para denotar la forma del volumen, esta notación no es universal; el símbolo a menudo tiene muchos otros significados en geometría diferencial (como una forma simpléctica). ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \omega }$

Invariantes de una forma de volumen

Las formas de volumen no son únicas; forman un torsor sobre funciones no nulas en la variedad, como sigue. Dada una función no nula en y una forma de volumen es una forma de volumen en A la inversa, dadas dos formas de volumen su razón es una función no nula (positiva si definen la misma orientación, negativa si definen orientaciones opuestas). ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle M,}$ ${\displaystyle \omega ,}$ ${\displaystyle f\omega }$ ${\displaystyle M.}$ ${\displaystyle \omega ,\omega ',}$

En coordenadas, ambas son simplemente una función distinta de cero multiplicada por la medida de Lebesgue , y su razón es la razón de las funciones, que es independiente de la elección de las coordenadas. Intrínsecamente, es la derivada de Radon-Nikodym de con respecto a En una variedad orientada, la proporcionalidad de cualesquiera dos formas de volumen puede considerarse como una forma geométrica del teorema de Radon-Nikodym . ${\displaystyle \omega '}$ ${\displaystyle \omega .}$

Sin estructura local

Una forma de volumen en una variedad no tiene estructura local en el sentido de que no es posible en pequeños conjuntos abiertos distinguir entre la forma de volumen dada y la forma de volumen en el espacio euclidiano (Kobayashi 1972). Es decir, para cada punto en hay un entorno abierto de y un difeomorfismo de sobre un conjunto abierto en tal que la forma de volumen en es el pullback de a lo largo ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle M,}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle dx^{1}\wedge \cdots \wedge dx^{n}}$ ${\displaystyle \varphi .}$

Como corolario, si y son dos variedades, cada una con formas de volumen , entonces para cualesquiera puntos hay vecindades abiertas de y de y una función tal que la forma de volumen en restringida a la vecindad retrocede a la forma de volumen en restringida a la vecindad : ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \omega _{M},\omega _{N},}$ ${\displaystyle m\in M,n\in N,}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle f:U\to V}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle f^{*}\omega _{N}\vert _{V}=\omega _{M}\vert _{U}.}$

En una dimensión, se puede demostrar así: dada una forma de volumen en define Entonces la medida de Lebesgue estándar retrocede a bajo : Concretamente, en dimensiones superiores, dado cualquier punto tiene un vecindario localmente homeomorfo a y se puede aplicar el mismo procedimiento. ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ,}$ $${\displaystyle f(x):=\int _{0}^{x}\omega .}$$ ${\displaystyle dx}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \omega =f^{*}dx.}$ ${\displaystyle \omega =f'\,dx.}$ ${\displaystyle m\in M,}$ ${\displaystyle \mathbb {R} \times \mathbb {R} ^{n-1},}$

Estructura global: volumen

Una forma de volumen en una variedad conexa tiene un único invariante global, es decir, el volumen (general), denotado como que es invariante bajo mapas que preservan la forma del volumen; este puede ser infinito, como para la medida de Lebesgue en En una variedad desconectada, el volumen de cada componente conexo es el invariante. ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \mu (M),}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}$

En símbolos, si es un homeomorfismo de variedades que se retrae hacia entonces y las variedades tienen el mismo volumen. ${\displaystyle f:M\to N}$ ${\displaystyle \omega _{N}}$ ${\displaystyle \omega _{M},}$ $${\displaystyle \mu (N)=\int _{N}\omega _{N}=\int _{f(M)}\omega _{N}=\int _{M}f^{*}\omega _{N}=\int _{M}\omega _{M}=\mu (M)\,}$$

Las formas de volumen también se pueden retraer bajo mapas de cobertura , en cuyo caso multiplican el volumen por la cardinalidad de la fibra (formalmente, por integración a lo largo de la fibra). En el caso de una cubierta infinita (como ), una forma de volumen en una variedad de volumen finito se retrae a una forma de volumen en una variedad de volumen infinito. ${\displaystyle \mathbb {R} \to S^{1}}$

Véase también

• Sistema de coordenadas cilíndricas § Elementos de línea y volumen
• Medida (matemáticas)  – Generalización de masa, longitud, área y volumen
• La métrica de Poincaré proporciona una revisión de la forma del volumen en el plano complejo
• Sistema de coordenadas esféricas § Integración y diferenciación en coordenadas esféricas

Referencias

• Kobayashi, S. (1972), Grupos de transformación en geometría diferencial , Clásicos en matemáticas, Springer, ISBN 3-540-58659-8, OCLC  31374337.
• Spivak, Michael (1965), Cálculo en variedades , Reading, Massachusetts: WA Benjamin, Inc., ISBN 0-8053-9021-9.