Cálculo

Rama de las matemáticas

El cálculo es el estudio matemático del cambio continuo, de la misma manera que la geometría es el estudio de la forma y el álgebra es el estudio de las generalizaciones de las operaciones aritméticas .

Originalmente llamado cálculo infinitesimal o "el cálculo de infinitesimales ", tiene dos ramas principales, el cálculo diferencial y el cálculo integral . El primero se ocupa de las tasas instantáneas de cambio y las pendientes de las curvas , mientras que el segundo se ocupa de la acumulación de cantidades y las áreas bajo o entre curvas. Estas dos ramas están relacionadas entre sí por el teorema fundamental del cálculo . Hacen uso de las nociones fundamentales de convergencia de secuencias infinitas y series infinitas a un límite bien definido . ^[1]

El cálculo infinitesimal fue desarrollado independientemente a finales del siglo XVII por Isaac Newton y Gottfried Wilhelm Leibniz . ^{[2] [3]} Trabajos posteriores, incluida la codificación de la idea de límites , colocaron estos desarrollos sobre una base conceptual más sólida. Hoy en día, el cálculo tiene usos generalizados en la ciencia , la ingeniería y las ciencias sociales . ^[4]

Etimología

En educación matemática , cálculo es una abreviatura de cálculo infinitesimal y cálculo integral , que denota cursos de análisis matemático elemental .

En latín , la palabra calculus significa “pequeño guijarro” (el diminutivo de calx, que significa “piedra”), un significado que todavía persiste en medicina . Debido a que estos guijarros se usaban para contar distancias, ^[5] contar votos y hacer aritmética con el ábaco , la palabra llegó a ser la palabra latina para cálculo . En este sentido, se usó en inglés al menos desde 1672, varios años antes de las publicaciones de Leibniz y Newton, quienes escribieron sus textos matemáticos en latín. ^[6]

Además de cálculo diferencial y cálculo integral, el término también se utiliza para nombrar métodos específicos de cálculo o teorías que implican algún tipo de cálculo. Ejemplos de este uso incluyen cálculo proposicional , cálculo de Ricci , cálculo de variaciones , cálculo lambda , cálculo secuente y cálculo de procesos . Además, el término "cálculo" se ha aplicado de diversas formas en ética y filosofía, para sistemas como el cálculo feliz de Bentham y el cálculo ético .

Historia

El cálculo moderno fue desarrollado en la Europa del siglo XVII por Isaac Newton y Gottfried Wilhelm Leibniz (de forma independiente entre sí, publicando por primera vez casi al mismo tiempo), pero elementos del mismo aparecieron primero en el antiguo Egipto y más tarde en Grecia, luego en China y Oriente Medio, y aún más tarde de nuevo en la Europa medieval y la India.

Precursores antiguos

Egipto

Los cálculos de volumen y área , uno de los objetivos del cálculo integral, se pueden encontrar en el papiro egipcio de Moscú ( c.  1820  a. C.), pero las fórmulas son instrucciones simples, sin ninguna indicación de cómo se obtuvieron. ^{[7] [8]}

Grecia

Arquímedes utilizó el método de extenuación para calcular el área bajo una parábola en su obra Cuadratura de la parábola .

Al sentar las bases del cálculo integral y anticipar el concepto de límite, el antiguo matemático griego Eudoxo de Cnido ( c.  390 – 337 a. C.) desarrolló el método de agotamiento para demostrar las fórmulas de los volúmenes de conos y pirámides.

Durante el período helenístico , este método fue desarrollado aún más por Arquímedes ( c.  287 – c.  212 a. C. ), quien lo combinó con un concepto de indivisibles —un precursor de los infinitesimales— lo que le permitió resolver varios problemas que ahora se tratan mediante el cálculo integral. En El método de los teoremas mecánicos describe, por ejemplo, el cálculo del centro de gravedad de un hemisferio sólido , el centro de gravedad de un tronco de un paraboloide circular y el área de una región limitada por una parábola y una de sus líneas secantes . ^[9]

Porcelana

El método de agotamiento fue descubierto más tarde de forma independiente en China por Liu Hui en el siglo III d. C. para encontrar el área de un círculo. ^{[10] [11]} En el siglo V d. C., Zu Gengzhi , hijo de Zu Chongzhi , estableció un método ^{[12] [13]} que más tarde se llamaría principio de Cavalieri para encontrar el volumen de una esfera .

Medieval

Oriente Medio

En Oriente Medio, Hasan Ibn al-Haytham , latinizado como Alhazen ( c.  965  – c.  1040   d. C.) derivó una fórmula para la suma de cuartas potencias . Utilizó los resultados para llevar a cabo lo que ahora se llamaría una integración de esta función, donde las fórmulas para las sumas de cuadrados integrales y cuartas potencias le permitieron calcular el volumen de un paraboloide . ^[14]

India

Bhāskara II (c.1114–1185) estaba familiarizado con algunas ideas del cálculo diferencial y sugirió que el "coeficiente diferencial" se anula en un valor extremo de la función. ^[15] En su trabajo astronómico, dio un procedimiento que parecía un precursor de los métodos infinitesimales. Es decir, si entonces Esto puede interpretarse como el descubrimiento de que el coseno es la derivada del seno . ^[16] En el siglo XIV, los matemáticos indios dieron un método no riguroso, parecido a la diferenciación, aplicable a algunas funciones trigonométricas. Madhava de Sangamagrama y la Escuela de Astronomía y Matemáticas de Kerala enunciaron los componentes del cálculo, pero según Victor J. Katz no pudieron "combinar muchas ideas diferentes bajo los dos temas unificadores de la derivada y la integral , mostrar la conexión entre los dos y convertir el cálculo en la gran herramienta de resolución de problemas que tenemos hoy". ^[14] ${\displaystyle x\approx y}$ ${\displaystyle \sin(y)-\sin(x)\approx (y-x)\cos(y).}$

Moderno

La obra de Johannes Kepler Stereometria Doliorum (1615) formó la base del cálculo integral. ^[17] Kepler desarrolló un método para calcular el área de una elipse sumando las longitudes de muchos radios dibujados desde un foco de la elipse. ^[18]

Un trabajo significativo fue un tratado, cuyo origen son los métodos de Kepler, ^[18] escrito por Bonaventura Cavalieri , quien argumentó que los volúmenes y las áreas deberían calcularse como las sumas de los volúmenes y áreas de secciones transversales infinitesimalmente delgadas. Las ideas eran similares a las de Arquímedes en El método , pero se cree que este tratado se perdió en el siglo XIII y solo fue redescubierto a principios del siglo XX, por lo que habría sido desconocido para Cavalieri. El trabajo de Cavalieri no fue muy respetado ya que sus métodos podían llevar a resultados erróneos, y las cantidades infinitesimales que introdujo fueron desacreditadas al principio.

El estudio formal del cálculo unió los infinitesimales de Cavalieri con el cálculo de diferencias finitas desarrollado en Europa en la misma época. Pierre de Fermat , afirmando que había tomado prestado de Diofanto , introdujo el concepto de adecuación , que representaba la igualdad hasta un término de error infinitesimal. ^[19] La combinación fue lograda por John Wallis , Isaac Barrow y James Gregory , los dos últimos precursores del segundo teorema fundamental del cálculo alrededor de 1670. ^{[20] [21]}

La regla del producto y la regla de la cadena , ^[22] las nociones de derivadas superiores y series de Taylor , ^[23] y de funciones analíticas ^[24] fueron utilizadas por Isaac Newton en una notación idiosincrásica que aplicó para resolver problemas de física matemática . En sus obras, Newton reformuló sus ideas para adaptarlas al lenguaje matemático de la época, reemplazando los cálculos con infinitesimales por argumentos geométricos equivalentes que se consideraban irreprochables. Utilizó los métodos del cálculo para resolver el problema del movimiento planetario, la forma de la superficie de un fluido giratorio, la oblatividad de la Tierra, el movimiento de un peso que se desliza sobre una cicloide y muchos otros problemas discutidos en sus Principia Mathematica (1687). En otro trabajo, desarrolló expansiones en serie para funciones, incluidas potencias fraccionarias e irracionales, y quedó claro que entendía los principios de la serie de Taylor . No publicó todos estos descubrimientos, y en ese momento los métodos infinitesimales todavía se consideraban desacreditados. ^[25]

Estas ideas fueron organizadas en un verdadero cálculo de infinitesimales por Gottfried Wilhelm Leibniz , quien originalmente fue acusado de plagio por Newton. ^[26] Ahora se lo considera un inventor independiente y contribuyente al cálculo. Su contribución fue proporcionar un conjunto claro de reglas para trabajar con cantidades infinitesimales, permitiendo el cálculo de derivadas segundas y superiores, y proporcionando la regla del producto y la regla de la cadena , en sus formas diferencial e integral. A diferencia de Newton, Leibniz puso un esfuerzo minucioso en sus elecciones de notación. ^[27]

Hoy en día, a Leibniz y Newton se les suele dar crédito por inventar y desarrollar independientemente el cálculo. Newton fue el primero en aplicar el cálculo a la física general . Leibniz desarrolló gran parte de la notación utilizada en el cálculo actual. ^{[28] : 51–52} Las ideas básicas que proporcionaron tanto Newton como Leibniz fueron las leyes de diferenciación e integración, enfatizando que la diferenciación y la integración son procesos inversos, derivadas segundas y superiores, y la noción de una serie polinómica aproximada.

Cuando Newton y Leibniz publicaron por primera vez sus resultados, hubo una gran controversia sobre qué matemático (y, por lo tanto, qué país) merecía el crédito. Newton derivó sus resultados primero (que luego se publicarían en su Método de fluxiones ), pero Leibniz publicó su " Nova Methodus pro Maximis et Minimis " primero. Newton afirmó que Leibniz robó ideas de sus notas inéditas, que Newton había compartido con algunos miembros de la Royal Society . Esta controversia dividió a los matemáticos de habla inglesa de los matemáticos de Europa continental durante muchos años, en detrimento de las matemáticas inglesas. ^[29] Un examen cuidadoso de los artículos de Leibniz y Newton muestra que llegaron a sus resultados de forma independiente, con Leibniz comenzando primero con la integración y Newton con la diferenciación. Sin embargo, es Leibniz quien dio nombre a la nueva disciplina. Newton llamó a su cálculo " la ciencia de las fluxiones ", un término que perduró en las escuelas inglesas hasta el siglo XIX. ^{[30] : 100} El primer tratado completo sobre cálculo escrito en inglés y que utilizó la notación de Leibniz no se publicó hasta 1815. ^[31]

María Gaetana Agnesi

Desde la época de Leibniz y Newton, muchos matemáticos han contribuido al desarrollo continuo del cálculo. Una de las primeras y más completas obras sobre cálculo infinitesimal e integral fue escrita en 1748 por Maria Gaetana Agnesi . ^{[32] [33]}

Cimientos

En cálculo, los fundamentos se refieren al desarrollo riguroso del tema a partir de axiomas y definiciones. En el cálculo temprano, el uso de cantidades infinitesimales se consideraba poco riguroso y fue duramente criticado por varios autores, en particular Michel Rolle y el obispo Berkeley . Berkeley describió a los infinitesimales como los fantasmas de cantidades desaparecidas en su libro El analista en 1734. Desarrollar una base rigurosa para el cálculo ocupó a los matemáticos durante gran parte del siglo posterior a Newton y Leibniz, y sigue siendo, en cierta medida, un área activa de investigación en la actualidad. ^[34]

Varios matemáticos, entre ellos Maclaurin , intentaron demostrar la validez del uso de los infinitesimales, pero no sería hasta 150 años después cuando, gracias al trabajo de Cauchy y Weierstrass , se encontrara finalmente una forma de evitar las meras "nociones" de cantidades infinitamente pequeñas. ^[35] Se habían sentado las bases del cálculo diferencial e integral. En el Cours d'Analyse de Cauchy , encontramos una amplia gama de enfoques fundamentales, incluida una definición de continuidad en términos de infinitesimales y un prototipo (algo impreciso) de una (ε, δ)-definición de límite en la definición de diferenciación. ^[36] En su trabajo, Weierstrass formalizó el concepto de límite y eliminó los infinitesimales (aunque su definición puede validar los infinitesimales nilcuadrados ). Tras el trabajo de Weierstrass, finalmente se volvió común basar el cálculo en límites en lugar de cantidades infinitesimales, aunque el tema todavía se llama ocasionalmente "cálculo infinitesimal". Bernhard Riemann utilizó estas ideas para dar una definición precisa de la integral. ^[37] También fue durante este período que las ideas del cálculo se generalizaron al plano complejo con el desarrollo del análisis complejo . ^[38]

En las matemáticas modernas, los fundamentos del cálculo se incluyen en el campo del análisis real , que contiene definiciones completas y demostraciones de los teoremas del cálculo. El alcance del cálculo también se ha ampliado enormemente. Henri Lebesgue inventó la teoría de la medida , basada en desarrollos anteriores de Émile Borel , y la utilizó para definir integrales de todas las funciones, excepto las más patológicas . ^[39] Laurent Schwartz introdujo las distribuciones , que se pueden utilizar para obtener la derivada de cualquier función. ^[40]

Los límites no son el único enfoque riguroso para la base del cálculo. Otra forma es utilizar el análisis no estándar de Abraham Robinson . El enfoque de Robinson, desarrollado en la década de 1960, utiliza maquinaria técnica de la lógica matemática para aumentar el sistema de números reales con números infinitesimales e infinitos , como en la concepción original de Newton-Leibniz. Los números resultantes se denominan números hiperreales y se pueden utilizar para dar un desarrollo similar al de Leibniz de las reglas habituales del cálculo. ^[41] También existe el análisis infinitesimal suave , que se diferencia del análisis no estándar en que obliga a descuidar los infinitesimales de mayor potencia durante las derivaciones. ^[34] Basado en las ideas de FW Lawvere y empleando los métodos de la teoría de categorías , el análisis infinitesimal suave considera que todas las funciones son continuas e incapaces de expresarse en términos de entidades discretas . Un aspecto de esta formulación es que la ley del tercio excluido no se cumple. ^[34] La ley del tercero excluido también es rechazada en las matemáticas constructivas , una rama de las matemáticas que insiste en que las pruebas de la existencia de un número, función u otro objeto matemático deben dar una construcción del objeto. Las reformulaciones del cálculo en un marco constructivo son generalmente parte del tema del análisis constructivo . ^[34]

Significado

Si bien muchas de las ideas del cálculo se habían desarrollado antes en Grecia , China , India , Irak, Persia y Japón , el uso del cálculo comenzó en Europa, durante el siglo XVII, cuando Newton y Leibniz se basaron en el trabajo de matemáticos anteriores para introducir sus principios básicos. ^{[11] [25] [42]} El polímata húngaro John von Neumann escribió sobre este trabajo:

El cálculo fue el primer logro de las matemáticas modernas y es difícil sobreestimar su importancia. Creo que define de manera más inequívoca que cualquier otra cosa el inicio de las matemáticas modernas, y el sistema de análisis matemático, que es su desarrollo lógico, todavía constituye el mayor avance técnico en el pensamiento exacto. ^[43]

Las aplicaciones del cálculo diferencial incluyen cálculos que involucran velocidad y aceleración , la pendiente de una curva y optimización . ^{[44] : 341–453} Las aplicaciones del cálculo integral incluyen cálculos que involucran área, volumen , longitud de arco , centro de masa , trabajo y presión . ^{[44] : 685–700} Las aplicaciones más avanzadas incluyen series de potencias y series de Fourier .

El cálculo también se utiliza para obtener una comprensión más precisa de la naturaleza del espacio, el tiempo y el movimiento. Durante siglos, los matemáticos y filósofos lucharon con paradojas que involucraban divisiones por cero o sumas de números infinitos. Estas preguntas surgen en el estudio del movimiento y el área. El antiguo filósofo griego Zenón de Elea dio varios ejemplos famosos de tales paradojas . El cálculo proporciona herramientas, especialmente el límite y la serie infinita , que resuelven las paradojas. ^[45]

Principios

Límites e infinitesimales

El cálculo suele desarrollarse trabajando con cantidades muy pequeñas. Históricamente, el primer método para hacerlo fue mediante infinitesimales . Se trata de objetos que pueden tratarse como números reales pero que son, en cierto sentido, "infinitamente pequeños". Por ejemplo, un número infinitesimal podría ser mayor que 0, pero menor que cualquier número de la secuencia 1, 1/2, 1/3, ... y, por tanto, menor que cualquier número real positivo . Desde este punto de vista, el cálculo es una colección de técnicas para manipular infinitesimales. Los símbolos y se consideraban infinitesimales, y la derivada era su relación. ^[34] ${\displaystyle dx}$ ${\displaystyle dy}$ ${\displaystyle dy/dx}$

El enfoque infinitesimal cayó en desgracia en el siglo XIX porque era difícil precisar la noción de infinitesimal. A fines del siglo XIX, los infinitesimales fueron reemplazados dentro del ámbito académico por el enfoque épsilon, delta para los límites . Los límites describen el comportamiento de una función en una determinada entrada en términos de sus valores en entradas cercanas. Capturan el comportamiento a pequeña escala utilizando la estructura intrínseca del sistema de números reales (como un espacio métrico con la propiedad de límite superior mínimo ). En este tratamiento, el cálculo es una colección de técnicas para manipular ciertos límites. Los infinitesimales se reemplazan por secuencias de números cada vez más pequeños, y el comportamiento infinitamente pequeño de una función se encuentra tomando el comportamiento límite para estas secuencias. Se pensaba que los límites proporcionaban una base más rigurosa para el cálculo y, por esta razón, se convirtieron en el enfoque estándar durante el siglo XX. Sin embargo, el concepto infinitesimal fue revivido en el siglo XX con la introducción del análisis no estándar y el análisis infinitesimal suave , que proporcionaron bases sólidas para la manipulación de infinitesimales. ^[34]

Cálculo diferencial

Recta tangente en ( x ₀ , f ( x ₀ )) . La derivada f′ ( x ) de una curva en un punto es la pendiente (ascenso sobre recorrido) de la recta tangente a esa curva en ese punto.

El cálculo diferencial es el estudio de la definición, propiedades y aplicaciones de la derivada de una función. El proceso de hallar la derivada se denomina diferenciación . Dada una función y un punto en el dominio, la derivada en ese punto es una forma de codificar el comportamiento a pequeña escala de la función cerca de ese punto. Al hallar la derivada de una función en cada punto de su dominio, es posible producir una nueva función, llamada función derivada o simplemente la derivada de la función original. En términos formales, la derivada es un operador lineal que toma una función como entrada y produce una segunda función como salida. Esto es más abstracto que muchos de los procesos estudiados en álgebra elemental, donde las funciones suelen introducir un número y producir otro número. Por ejemplo, si a la función de duplicación se le da la entrada tres, entonces produce seis, y si a la función de cuadratura se le da la entrada tres, entonces produce nueve. La derivada, sin embargo, puede tomar la función de cuadratura como entrada. Esto significa que la derivada toma toda la información de la función de elevación al cuadrado (por ejemplo, que dos se envía a cuatro, tres se envía a nueve, cuatro se envía a dieciséis, etc.) y utiliza esta información para producir otra función. La función producida al derivar la función de elevación al cuadrado resulta ser la función de duplicación. ^{[28] : 32}

En términos más explícitos, la "función de duplicación" puede denotarse por g ( x ) = 2 x y la "función de elevación al cuadrado" por f ( x ) = x ² . La "derivada" ahora toma la función f ( x ) , definida por la expresión " x ² ", como entrada, es decir, toda la información (como que dos se envía a cuatro, tres se envía a nueve, cuatro se envía a dieciséis, y así sucesivamente) y utiliza esta información para generar otra función, la función g ( x ) = 2 x , como se verá.

En la notación de Lagrange , el símbolo de una derivada es un signo similar a un apóstrofo llamado prima . Por lo tanto, la derivada de una función llamada f se denota por f′ , que se pronuncia "f prima" o "f raya". Por ejemplo, si f ( x ) = x ² es la función de elevación al cuadrado, entonces f′ ( x ) = 2 x es su derivada (la función de duplicación g de arriba).

Si la entrada de la función representa el tiempo, entonces la derivada representa el cambio con respecto al tiempo. Por ejemplo, si f es una función que toma el tiempo como entrada y da como salida la posición de una pelota en ese momento, entonces la derivada de f es cómo cambia la posición con el tiempo, es decir, es la velocidad de la pelota. ^{[28] : 18–20}

Si una función es lineal (es decir, si la gráfica de la función es una línea recta), entonces la función se puede escribir como y = mx + b , donde x es la variable independiente, y es la variable dependiente, b es la intersección con el eje y , y:

${\displaystyle m={\frac {\text{rise}}{\text{run}}}={\frac {{\text{change in }}y}{{\text{change in }}x}}={\frac {\Delta y}{\Delta x}}.}$

Esto da un valor exacto para la pendiente de una línea recta. ^{[46] : 6} Sin embargo, si el gráfico de la función no es una línea recta, entonces el cambio en y dividido por el cambio en x varía. Las derivadas dan un significado exacto a la noción de cambio en la salida en relación con el cambio en la entrada. Para ser concretos, sea f una función y fijemos un punto a en el dominio de f . ( a , f ( a )) es un punto en el gráfico de la función. Si h es un número cercano a cero, entonces a + h es un número cercano a a . Por lo tanto, ( a + h , f ( a + h )) está cerca de ( a , f ( a )) . La pendiente entre estos dos puntos es

${\displaystyle m={\frac {f(a+h)-f(a)}{(a+h)-a}}={\frac {f(a+h)-f(a)}{h}}.}$

Esta expresión se llama cociente de diferencias . Una línea que pasa por dos puntos de una curva se llama línea secante , por lo que m es la pendiente de la línea secante entre ( a , f ( a )) y ( a + h , f ( a + h )) . La segunda línea es solo una aproximación al comportamiento de la función en el punto a porque no tiene en cuenta lo que sucede entre a y a + h . No es posible descubrir el comportamiento en a fijando h en cero porque esto requeriría dividir por cero , lo cual no está definido. La derivada se define tomando el límite cuando h tiende a cero, lo que significa que considera el comportamiento de f para todos los valores pequeños de h y extrae un valor consistente para el caso en el que h es igual a cero:

${\displaystyle \lim _{h\to 0}{f(a+h)-f(a) \over {h}}.}$

Geométricamente, la derivada es la pendiente de la recta tangente a la gráfica de f en a . La recta tangente es un límite de las rectas secantes, así como la derivada es un límite de los cocientes de diferencias. Por esta razón, a la derivada a veces se la llama pendiente de la función f . ^{[46] : 61–63}

He aquí un ejemplo particular, la derivada de la función de cuadrado en la entrada 3. Sea f ( x ) = x ² la función de cuadrado.

La derivada f′ ( x ) de una curva en un punto es la pendiente de la recta tangente a esa curva en ese punto. Esta pendiente se determina considerando el valor límite de las pendientes de las segundas rectas. Aquí la función implicada (dibujada en rojo) es f ( x ) = x ³ − x . La recta tangente (en verde) que pasa por el punto (−3/2, −15/8) tiene una pendiente de 23/4. Las escalas verticales y horizontales en esta imagen son diferentes.

${\displaystyle {\begin{aligned}f'(3)&=\lim _{h\to 0}{(3+h)^{2}-3^{2} \over {h}}\\&=\lim _{h\to 0}{9+6h+h^{2}-9 \over {h}}\\&=\lim _{h\to 0}{6h+h^{2} \over {h}}\\&=\lim _{h\to 0}(6+h)\\&=6\end{aligned}}}$

La pendiente de la recta tangente a la función de elevación al cuadrado en el punto (3, 9) es 6, es decir, sube seis veces más rápido que hacia la derecha. El proceso límite que acabamos de describir se puede realizar para cualquier punto en el dominio de la función de elevación al cuadrado. Esto define la función derivada de la función de elevación al cuadrado o simplemente la derivada de la función de elevación al cuadrado para abreviar. Un cálculo similar al anterior muestra que la derivada de la función de elevación al cuadrado es la función de duplicación. ^{[46] : 63}

Notación de Leibniz

Una notación común, introducida por Leibniz, para la derivada en el ejemplo anterior es

${\displaystyle {\begin{aligned}y&=x^{2}\\{\frac {dy}{dx}}&=2x.\end{aligned}}}$

En un enfoque basado en límites, el símbolo ⁠morir/Dx⁠ no debe interpretarse como el cociente de dos números sino como una abreviatura del límite calculado anteriormente. ^{[46] : 74} Leibniz, sin embargo, pretendía que representara el cociente de dos números infinitesimalmente pequeños, siendo dy el cambio infinitesimalmente pequeño en y causado por un cambio infinitesimalmente pequeño dx aplicado a x . También podemos pensar en ⁠d/Dx⁠ como operador de diferenciación, que toma una función como entrada y da como salida otra función, la derivada. Por ejemplo:

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}(x^{2})=2x.}$

En este uso, la dx en el denominador se lee como "con respecto a x ". ^{[46] : 79} Otro ejemplo de notación correcta podría ser:

${\displaystyle {\begin{aligned}g(t)&=t^{2}+2t+4\\{d \over dt}g(t)&=2t+2\end{aligned}}}$

Incluso cuando el cálculo se desarrolla utilizando límites en lugar de infinitesimales, es común manipular símbolos como dx y dy como si fueran números reales; aunque es posible evitar tales manipulaciones, a veces son convenientes desde el punto de vista notacional para expresar operaciones como la derivada total .

Cálculo integral

El cálculo integral es el estudio de las definiciones, propiedades y aplicaciones de dos conceptos relacionados, la integral indefinida y la integral definida . El proceso de hallar el valor de una integral se denomina integración . ^{[44] : 508} La integral indefinida, también conocida como antiderivada , es la operación inversa a la derivada. ^{[46] : 163–165} F es una integral indefinida de f cuando f es una derivada de F. (Este uso de letras minúsculas y mayúsculas para una función y su integral indefinida es común en cálculo). La integral definida introduce una función y produce un número, que da la suma algebraica de las áreas entre el gráfico de la entrada y el eje x . La definición técnica de la integral definida implica el límite de una suma de áreas de rectángulos, llamada suma de Riemann . ^{[47] : 282}

Un ejemplo motivador es la distancia recorrida en un tiempo determinado. ^{[46] : 153} Si la velocidad es constante, solo se necesita la multiplicación:

${\displaystyle \mathrm {Distance} =\mathrm {Speed} \cdot \mathrm {Time} }$

Pero si la velocidad cambia, se necesita un método más potente para encontrar la distancia. Uno de estos métodos consiste en aproximar la distancia recorrida dividiendo el tiempo en muchos intervalos cortos de tiempo, multiplicando luego el tiempo transcurrido en cada intervalo por una de las velocidades en ese intervalo y luego haciendo la suma (una suma de Riemann ) de la distancia aproximada recorrida en cada intervalo. La idea básica es que si sólo transcurre un corto tiempo, entonces la velocidad se mantendrá más o menos igual. Sin embargo, una suma de Riemann sólo da una aproximación de la distancia recorrida. Debemos tomar el límite de todas esas sumas de Riemann para encontrar la distancia exacta recorrida.

Cuando la velocidad es constante, la distancia total recorrida durante el intervalo de tiempo dado se puede calcular multiplicando la velocidad por el tiempo. Por ejemplo, viajar a una velocidad constante de 50 mph durante 3 horas da como resultado una distancia total de 150 millas. Trazar la velocidad como una función del tiempo produce un rectángulo con una altura igual a la velocidad y un ancho igual al tiempo transcurrido. Por lo tanto, el producto de la velocidad por el tiempo también calcula el área rectangular bajo la curva de velocidad (constante). ^{[44] : 535} Esta conexión entre el área bajo una curva y la distancia recorrida se puede extender a cualquier región de forma irregular que exhiba una velocidad fluctuante durante un período dado. Si f ( x ) representa la velocidad a medida que varía con el tiempo, la distancia recorrida entre los tiempos representados por a y b es el área de la región entre f ( x ) y el eje x , entre x = a y x = b .

Para aproximar esa área, un método intuitivo sería dividir la distancia entre a y b en varios segmentos iguales, la longitud de cada segmento representada por el símbolo Δ x . Para cada segmento pequeño, podemos elegir un valor de la función f ( x ) . Llamamos a ese valor h . Entonces, el área del rectángulo con base Δ x y altura h da la distancia (tiempo Δ x multiplicado por la velocidad h ) recorrida en ese segmento. Asociado a cada segmento está el valor promedio de la función sobre él, f ( x ) = h . La suma de todos esos rectángulos da una aproximación del área entre el eje y la curva, que es una aproximación de la distancia total recorrida. Un valor más pequeño para Δ x dará más rectángulos y en la mayoría de los casos una mejor aproximación, pero para una respuesta exacta, necesitamos tomar un límite a medida que Δ x se acerca a cero. ^{[44] : 512–522}

El símbolo de integración es , una S alargada elegida para sugerir suma. ^{[44] : 529} La integral definida se escribe como: ${\displaystyle \int }$

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx.}$

y se lee "la integral de a a b de f -de- x con respecto a x ". La notación de Leibniz dx pretende sugerir dividir el área bajo la curva en un número infinito de rectángulos de modo que su ancho Δ x se convierta en el infinitesimalmente pequeño dx . ^{[28] : 44}

La integral indefinida, o antiderivada, se escribe:

${\displaystyle \int f(x)\,dx.}$

Las funciones que difieren sólo en una constante tienen la misma derivada, y se puede demostrar que la antiderivada de una función dada es una familia de funciones que difieren sólo en una constante. ^{[47] : 326} Puesto que la derivada de la función y = x ² + C , donde C es cualquier constante, es y′ = 2 x , la antiderivada de esta última está dada por:

${\displaystyle \int 2x\,dx=x^{2}+C.}$

La constante no especificada C presente en la integral indefinida o antiderivada se conoce como constante de integración . ^{[48] : 135}

Teorema fundamental

El teorema fundamental del cálculo establece que la diferenciación y la integración son operaciones inversas. ^{[47] : 290} Más precisamente, relaciona los valores de las antiderivadas con las integrales definidas. Debido a que generalmente es más fácil calcular una antiderivada que aplicar la definición de una integral definida, el teorema fundamental del cálculo proporciona una forma práctica de calcular integrales definidas. También puede interpretarse como una declaración precisa del hecho de que la diferenciación es la inversa de la integración.

El teorema fundamental del cálculo establece: Si una función f es continua en el intervalo [ a , b ] y si F es una función cuya derivada es f en el intervalo ( a , b ) , entonces

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx=F(b)-F(a).}$

Además, para cada x en el intervalo ( a , b ) ,

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\int _{a}^{x}f(t)\,dt=f(x).}$

Esta constatación, hecha tanto por Newton como por Leibniz , fue clave para la proliferación de resultados analíticos después de que su trabajo se hiciera conocido. (El grado en el que Newton y Leibniz fueron influenciados por predecesores inmediatos, y particularmente lo que Leibniz pudo haber aprendido del trabajo de Isaac Barrow , es difícil de determinar debido a la disputa de prioridad entre ellos. ^[49] ) El teorema fundamental proporciona un método algebraico para calcular muchas integrales definidas, sin realizar procesos límite, al encontrar fórmulas para antiderivadas . También es una solución prototipo de una ecuación diferencial . Las ecuaciones diferenciales relacionan una función desconocida con sus derivadas y son omnipresentes en las ciencias. ^{[50] : 351–352}

Aplicaciones

La espiral logarítmica de la concha del Nautilus es una imagen clásica utilizada para representar el crecimiento y el cambio relacionados con el cálculo.

El cálculo se utiliza en todas las ramas de las ciencias físicas, ^{[51] : 1} ciencia actuarial , informática , estadística , ingeniería , economía , negocios , medicina , demografía y en otros campos donde un problema puede ser modelado matemáticamente y se desea una solución óptima . ^[52] Permite pasar de tasas de cambio (no constantes) al cambio total o viceversa, y muchas veces al estudiar un problema conocemos una y estamos tratando de encontrar la otra. ^[53] El cálculo se puede utilizar junto con otras disciplinas matemáticas. Por ejemplo, se puede utilizar con álgebra lineal para encontrar la aproximación lineal de "mejor ajuste" para un conjunto de puntos en un dominio. O se puede utilizar en teoría de probabilidad para determinar el valor esperado de una variable aleatoria continua dada una función de densidad de probabilidad . ^{[54] : 37} En geometría analítica , el estudio de gráficos de funciones, el cálculo se utiliza para encontrar puntos altos y bajos (máximos y mínimos), pendiente, concavidad y puntos de inflexión . El cálculo también se utiliza para encontrar soluciones aproximadas a ecuaciones; en la práctica, es la forma estándar de resolver ecuaciones diferenciales y hacer la búsqueda de raíces en la mayoría de las aplicaciones. Algunos ejemplos son métodos como el método de Newton , la iteración de punto fijo y la aproximación lineal . Por ejemplo, las naves espaciales utilizan una variación del método de Euler para aproximar cursos curvos en entornos de gravedad cero.

La física hace un uso particular del cálculo; todos los conceptos de la mecánica clásica y el electromagnetismo están relacionados a través del cálculo. La masa de un objeto de densidad conocida , el momento de inercia de los objetos y las energías potenciales debidas a las fuerzas gravitacionales y electromagnéticas se pueden encontrar mediante el uso del cálculo. Un ejemplo del uso del cálculo en mecánica es la segunda ley del movimiento de Newton , que establece que la derivada del momento de un objeto con respecto al tiempo es igual a la fuerza neta sobre él. Alternativamente, la segunda ley de Newton se puede expresar diciendo que la fuerza neta es igual a la masa del objeto por su aceleración , que es la derivada temporal de la velocidad y, por lo tanto, la segunda derivada temporal de la posición espacial. Partiendo de saber cómo se acelera un objeto, utilizamos el cálculo para derivar su trayectoria. ^[55]

La teoría del electromagnetismo de Maxwell y la teoría de la relatividad general de Einstein también se expresan en el lenguaje del cálculo diferencial. ^{[56] [57] : 52–55} La química también utiliza el cálculo para determinar las tasas de reacción ^{[58] : 599} y para estudiar la desintegración radiactiva. ^{[58] : 814} En biología, la dinámica de poblaciones comienza con las tasas de reproducción y mortalidad para modelar los cambios poblacionales. ^{[59] [60] : 631}

El teorema de Green , que da la relación entre una integral de línea alrededor de una curva cerrada simple C y una integral doble sobre la región plana D limitada por C, se aplica en un instrumento conocido como planímetro , que se utiliza para calcular el área de una superficie plana en un dibujo. ^[61] Por ejemplo, se puede utilizar para calcular la cantidad de área ocupada por un macizo de flores o una piscina de forma irregular al diseñar el diseño de una propiedad.

En el ámbito de la medicina, el cálculo se puede utilizar para encontrar el ángulo de ramificación óptimo de un vaso sanguíneo para maximizar el flujo. ^[62] El cálculo se puede aplicar para comprender la rapidez con la que se elimina un fármaco del cuerpo o la rapidez con la que crece un tumor canceroso . ^[63]

En economía, el cálculo permite determinar la ganancia máxima al proporcionar una forma de calcular fácilmente tanto el costo marginal como el ingreso marginal . ^{[64] : 387}

Véase también

• Glosario de cálculo
• Lista de temas de cálculo
• Lista de derivadas e integrales en cálculos alternativos
• Lista de identidades de diferenciación
• Publicaciones en cálculo
• Tabla de integrales

Referencias

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Enlaces externos

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• Temas de cálculo en PlanetMath .
• Cálculo simplificado (1914) de Silvanus P. Thompson Texto completo en PDF
• Cálculo en In Our Time en la BBC
• Calculus.org: La página de Cálculo de la Universidad de California, Davis, contiene recursos y enlaces a otros sitios
• Los primeros usos conocidos de algunas palabras de las matemáticas: cálculo y análisis
• El papel del cálculo en las matemáticas universitarias Archivado el 26 de julio de 2021 en Wayback Machine desde ERICDigests.org
• Cálculo OpenCourseWare del Instituto Tecnológico de Massachusetts
• Cálculo infinitesimal: un artículo sobre su desarrollo histórico, en Enciclopedia de Matemáticas , ed. Michiel Hazewinkel .
• Daniel Kleitman, MIT. "Cálculo para principiantes y artistas".
• Materiales de formación en cálculo en imomath.com
• (en inglés y árabe) La excursión del cálculo, 1772