Glosario de cálculo

Lista de definiciones de términos y conceptos comúnmente utilizados en cálculo.

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Este glosario de cálculo es una lista de definiciones sobre cálculo , sus subdisciplinas y campos relacionados.

A

la prueba de abel

Un método para probar la convergencia de una serie infinita .

convergencia absoluta

Se dice que una serie infinita de números converge absolutamente (o es absolutamente convergente ) si la suma de los valores absolutos de los sumandos es finita. Más precisamente, se dice que una serie real o compleja converge absolutamente si es para algún número real . De manera similar, se dice que una integral impropia de una función , converge absolutamente si la integral del valor absoluto del integrando es finita, es decir, si ${\displaystyle \textstyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}}$ ${\displaystyle \textstyle \sum _{n=0}^{\infty }\left|a_{n}\right|=L}$ ${\displaystyle \textstyle L}$ ${\displaystyle \textstyle \int _{0}^{\infty }f(x)\,dx}$ ${\displaystyle \textstyle \int _{0}^{\infty }\left|f(x)\right|dx=L.}$

máximo absoluto

El valor más alto que alcanza una función.

mínimo absoluto

El valor más bajo que alcanza una función.

valor absoluto

El valor absoluto o módulo | x | de un número real  x es el valor no negativo de  x sin tener en cuenta su signo . Es decir, | x | = x para un x positivo  , | x | = − x para un x negativo (en cuyo caso − x es positivo), y |0| = 0 . Por ejemplo, el valor absoluto de 3 es 3 y el valor absoluto de −3 también es 3. El valor absoluto de un número puede considerarse como su distancia a cero. 

series alternas

Una serie infinita cuyos términos alternan entre positivos y negativos.

prueba de series alternas

Es el método utilizado para demostrar que una serie alterna con términos que decrecen en valor absoluto es una serie convergente . La prueba fue utilizada por Gottfried Leibniz y a veces se la conoce como prueba de Leibniz , regla de Leibniz o criterio de Leibniz .

anillo

Un objeto en forma de anillo, una región delimitada por dos círculos concéntricos .

antiderivada

Una antiderivada , función primitiva , integral primitiva o integral indefinida ^{[Nota 1]} de una función f es una función diferenciable F cuya derivada es igual a la función original f . Esto se puede expresar simbólicamente como . ^{[1] [2]} El proceso de resolución de antiderivadas se llama antidiferenciación (o integración indefinida ) y su operación opuesta se llama diferenciación, que es el proceso de encontrar una derivada. ${\displaystyle F'=f}$

arcosin

área bajo una curva

asíntota

En geometría analítica , una asíntota de una curva es una línea tal que la distancia entre la curva y la línea se aproxima a cero cuando una o ambas coordenadas x o y tienden al infinito . Algunas fuentes incluyen el requisito de que la curva no cruce la línea con una frecuencia infinita, pero esto es inusual para los autores modernos. ^[3] En geometría proyectiva y contextos relacionados, una asíntota de una curva es una línea que es tangente a la curva en un punto en el infinito . ^{[4] [5]}

diferenciación automática

En matemáticas y álgebra informática , la diferenciación automática ( AD ), también llamada diferenciación algorítmica o diferenciación computacional , ^{[6] [7]} es un conjunto de técnicas para evaluar numéricamente la derivada de una función especificada por un programa de computadora. AD aprovecha el hecho de que cada programa de computadora, por complicado que sea, ejecuta una secuencia de operaciones aritméticas elementales (suma, resta, multiplicación, división, etc.) y funciones elementales (exp, log, sin, cos, etc.). Al aplicar la regla de la cadena repetidamente a estas operaciones, las derivadas de orden arbitrario se pueden calcular automáticamente, con precisión de trabajo y utilizando como máximo un pequeño factor constante, más operaciones aritméticas que el programa original.

tasa de cambio promedio

B

coeficiente binomial

Cualquiera de los números enteros positivos que aparece como coeficiente en el teorema del binomio es un coeficiente binomial . Comúnmente, un coeficiente binomial está indexado por un par de números enteros n ≥ k ≥ 0 y se escribe como el coeficiente del término x ^k en la expansión polinómica de la potencia binomial (1 + x ) ⁿ , y está dado por fórmula ${\displaystyle {\tbinom {n}{k}}.}$

${\displaystyle {\binom {n}{k}}={\frac {n!}{k!(n-k)!}}.}$

teorema binomial (o expansión binomial )

Describe la expansión algebraica de potencias de un binomio .

función acotada

Una función f definida sobre algún conjunto X con valores reales o complejos se llama acotada , si el conjunto de sus valores es acotado . En otras palabras, existe un número real M tal que

${\displaystyle |f(x)|\leq M}$

para todo x en X . Una función que no está acotada se dice que es ilimitada . A veces, si f ( x ) ≤ A para todo x en X , entonces se dice que la función está acotada arriba por A . Por otro lado, si f ( x ) ≥ B para todo x en X , entonces se dice que la función está acotada por debajo por B .

secuencia acotada

.

C

cálculo

(Del latín cálculo , literalmente 'pequeño guijarro', usado para contar y hacer cálculos, como en un ábaco ) ^[8] es el estudio matemático del cambio continuo, de la misma manera que la geometría es el estudio de la forma y el álgebra es el estudio de Generalizaciones de operaciones aritméticas .

El principio de Cavalieri

El principio de Cavalieri , una implementación moderna del método de los indivisibles , que lleva el nombre de Bonaventura Cavalieri , es el siguiente: ^[9]

• Caso bidimensional : supongamos que dos regiones en un plano están incluidas entre dos líneas paralelas en ese plano. Si cada línea paralela a estas dos líneas cruza ambas regiones en segmentos de igual longitud, entonces las dos regiones tienen áreas iguales.
• Caso tridimensional : supongamos que dos regiones en tres espacios (sólidos) se incluyen entre dos planos paralelos. Si cada plano paralelo a estos dos planos corta ambas regiones en secciones transversales de igual área, entonces las dos regiones tienen volúmenes iguales.

cadena de reglas

La regla de la cadena es una fórmula para calcular la derivada de la composición de dos o más funciones . Es decir, si f y g son funciones, entonces la regla de la cadena expresa la derivada de su composición f ∘ g (la función que asigna x a f ( g ( x )) ) en términos de las derivadas de f y g y el producto de funciones de la siguiente manera:

${\displaystyle (f\circ g)'=(f'\circ g)\cdot g'.}$

Esto puede expresarse de manera equivalente en términos de la variable. Sea F = f ∘ g , o equivalentemente, F ( x ) = f ( g ( x )) para todo x . Entonces también se puede escribir

${\displaystyle F'(x)=f'(g(x))g'(x).}$

La regla de la cadena se puede escribir en la notación de Leibniz de la siguiente manera. Si una variable z depende de la variable y , que a su vez depende de la variable x , de modo que y y z son, por tanto, variables dependientes , entonces z , a través de la variable intermedia de y , también depende de x . La regla de la cadena luego establece,

${\displaystyle {\frac {dz}{dx}}={\frac {dz}{dy}}\cdot {\frac {dy}{dx}}.}$

Las dos versiones de la regla de la cadena están relacionadas; si y , entonces ${\displaystyle z=f(y)}$ ${\displaystyle y=g(x)}$

${\displaystyle {\frac {dz}{dx}}={\frac {dz}{dy}}\cdot {\frac {dy}{dx}}=f'(y)g'(x)=f'(g(x))g'(x).}$

En la integración , la contraparte de la regla de la cadena es la regla de sustitución .

cambio de variables

Es una técnica básica utilizada para simplificar problemas en los que las variables originales se reemplazan con funciones de otras variables. La intención es que cuando se exprese en nuevas variables, el problema pueda volverse más simple o equivalente a un problema mejor comprendido.

cofunción

Una función f es cofunción de una función g si f ( A ) = g ( B ) siempre que A y B sean ángulos complementarios . ^[10] Esta definición normalmente se aplica a funciones trigonométricas . ^{[11] [12]} El prefijo "co-" ya se puede encontrar en el Canon triangulorum (1620) de Edmund Gunter . ^{[13] [14]}

función cóncava

Es el negativo de una función convexa . Una función cóncava también se llama como sinónimo cóncava hacia abajo , cóncava hacia abajo , convexa hacia arriba , capuchón convexo o convexo superior .

constante de integracion

La integral indefinida de una función dada (es decir, el conjunto de todas las primitivas de la función) en un dominio conectado sólo se define hasta una constante aditiva, la constante de integración . ^{[15] [16]} Esta constante expresa una ambigüedad inherente a la construcción de antiderivadas. Si una función se define en un intervalo y es una antiderivada de , entonces el conjunto de todas las antiderivadas de está dado por las funciones , donde C es una constante arbitraria (lo que significa que cualquier valor de C constituye una antiderivada válida). La constante de integración a veces se omite en las listas de integrales por simplicidad. ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle F(x)}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle F(x)+C}$ ${\displaystyle F(x)+C}$

función continua

Es una función para la cual cambios suficientemente pequeños en la entrada dan como resultado cambios arbitrariamente pequeños en la salida. En caso contrario, se dice que una función es discontinua . Una función continua con una función inversa continua se llama homeomorfismo .

continuamente diferenciable

Se dice que una función f es continuamente diferenciable si la derivada f ′ ( x ) existe y es en sí misma una función continua.

integración de contorno

En el campo matemático del análisis complejo , la integración de contornos es un método para evaluar ciertas integrales a lo largo de trayectorias en el plano complejo. ^{[17] [18] [19]}

pruebas de convergencia

Son métodos de prueba para la convergencia , convergencia condicional , convergencia absoluta , intervalo de convergencia o divergencia de una serie infinita . ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$

serie convergente

En matemáticas , una serie es la suma de los términos de una secuencia infinita de números. Dada una secuencia infinita , la n- ésima suma parcial es la suma de los primeros n términos de la secuencia, es decir, ${\displaystyle \left(a_{1},\ a_{2},\ a_{3},\dots \right)}$ ${\displaystyle S_{n}}$

${\displaystyle S_{n}=\sum _{k=1}^{n}a_{k}.}$

Una serie es convergente si la sucesión de sus sumas parciales tiende a un límite ; eso significa que las sumas parciales se acercan cada vez más a un número dado cuando aumenta el número de sus términos. Más precisamente, una serie converge, si existe un número tal que para cualquier número positivo arbitrariamente pequeño , existe un número entero (suficientemente grande) tal que para todos , ${\displaystyle \left\{S_{1},\ S_{2},\ S_{3},\dots \right\}}$ ${\displaystyle \ell }$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle n\geq \ N}$

${\displaystyle \left|S_{n}-\ell \right\vert \leq \ \varepsilon .}$

Si la serie es convergente, el número (necesariamente único) se llama suma de la serie . Cualquier serie que no sea convergente se dice que es divergente . ${\displaystyle \ell }$

función convexa

En matemáticas , una función de valor real definida en un intervalo de n dimensiones se llama convexa (o convexa hacia abajo o cóncava hacia arriba ) si el segmento de línea entre dos puntos cualesquiera en la gráfica de la función se encuentra arriba o sobre la gráfica, en una forma euclidiana. espacio (o más generalmente un espacio vectorial ) de al menos dos dimensiones. De manera equivalente, una función es convexa si su epígrafe (el conjunto de puntos sobre o encima de la gráfica de la función) es un conjunto convexo . Para una función dos veces diferenciable de una sola variable, si la segunda derivada es siempre mayor o igual a cero en todo su dominio, entonces la función es convexa. ^[20] Ejemplos bien conocidos de funciones convexas incluyen la función cuadrática y la función exponencial . ${\displaystyle x^{2}}$ ${\displaystyle e^{x}}$

regla de cramer

En álgebra lineal , la regla de Cramer es una fórmula explícita para la solución de un sistema de ecuaciones lineales con tantas ecuaciones como incógnitas, válida siempre que el sistema tenga una solución única. Expresa la solución en términos de los determinantes de la matriz de coeficientes (cuadrados) y de las matrices obtenidas a partir de ella reemplazando una columna por el vector columna de los lados derechos de las ecuaciones. Lleva el nombre de Gabriel Cramer (1704-1752), quien publicó la regla para un número arbitrario de incógnitas en 1750, ^{[21] [22]} aunque Colin Maclaurin también publicó casos especiales de la regla en 1748 ^[23] (y posiblemente conocía de ello ya en 1729). ^{[24] [25] [26]}

punto crítico

Un punto crítico o punto estacionario de una función diferenciable de una variable real o compleja es cualquier valor en su dominio donde su derivada es 0. ^{[27] [28]}

curva

Una curva (también llamada línea curva en textos antiguos) es, en términos generales, un objeto similar a una línea pero que no tiene por qué ser recto .

dibujo de curvas

En geometría , el boceto de curvas (o trazado de curvas ) incluye técnicas que se pueden utilizar para producir una idea aproximada de la forma general de una curva plana dada su ecuación sin calcular la gran cantidad de puntos necesarios para un trazado detallado. Es una aplicación de la teoría de curvas para encontrar sus características principales. Aquí la entrada es una ecuación. En geometría digital es un método para dibujar una curva píxel a píxel. Aquí la entrada es una matriz (imagen digital).

D

onda sinusoidal amortiguada

Es una función sinusoidal cuya amplitud se acerca a cero a medida que aumenta el tiempo. ^[29]

grado de un polinomio

Es el grado más alto de sus monomios (términos individuales) con coeficientes distintos de cero. El grado de un término es la suma de los exponentes de las variables que aparecen en él y, por tanto, es un número entero no negativo.

derivado

La derivada de una función de una variable real mide la sensibilidad al cambio del valor de la función (valor de salida) con respecto a un cambio en su argumento (valor de entrada). Los derivados son una herramienta fundamental del cálculo . Por ejemplo, la derivada de la posición de un objeto en movimiento con respecto al tiempo es la velocidad del objeto : ésta mide qué tan rápido cambia la posición del objeto cuando avanza el tiempo.

prueba derivada

Una prueba de derivadas utiliza las derivadas de una función para localizar los puntos críticos de una función y determinar si cada punto es un máximo local , un mínimo local o un punto de silla . Las pruebas derivadas también pueden brindar información sobre la concavidad de una función.

función diferenciable

Una función diferenciable de una variable real es una función cuya derivada existe en cada punto de su dominio . Como resultado, la gráfica de una función diferenciable debe tener una línea tangente (no vertical ) en cada punto de su dominio, ser relativamente suave y no puede contener rupturas, curvaturas o cúspides .

diferencial (infinitesimal)

El término diferencial se utiliza en cálculo para referirse a un cambio infinitesimal (infinitamente pequeño) en alguna cantidad variable . Por ejemplo, si x es una variable , entonces un cambio en el valor de x a menudo se denota como Δ x (pronunciado delta x ). El diferencial dx representa un cambio infinitamente pequeño en la variable x . La idea de un cambio infinitamente pequeño o infinitamente lento es extremadamente útil desde el punto de vista intuitivo, y hay varias maneras de hacer que la noción sea matemáticamente precisa. Usando el cálculo, es posible relacionar matemáticamente los cambios infinitamente pequeños de varias variables entre sí usando derivadas . Si y es función de x , entonces el diferencial dy de y está relacionado con dx mediante la fórmula

${\displaystyle dy={\frac {dy}{dx}}\,dx,}$

donde dy / dx denota la derivada de y con respecto a x . Esta fórmula resume la idea intuitiva de que la derivada de y con respecto a x es el límite de la relación de diferencias Δ y /Δ x cuando Δ x se vuelve infinitesimal.

calculo diferencial

Es un subcampo del cálculo ^[30] que se ocupa del estudio de las tasas a las que cambian las cantidades. Es una de las dos divisiones tradicionales del cálculo, siendo la otra el cálculo integral , el estudio del área bajo una curva. ^[31]

ecuación diferencial

Es una ecuación matemática que relaciona alguna función con sus derivadas . En las aplicaciones, las funciones suelen representar cantidades físicas, las derivadas representan sus tasas de cambio y la ecuación define una relación entre las dos.

operador diferencial

.

diferencial de una función

En cálculo , el diferencial representa la parte principal del cambio en una función y  =  f ( x ) con respecto a los cambios en la variable independiente. El diferencial dy está definido por

${\displaystyle dy=f'(x)\,dx,}$

donde es la derivada de f con respecto a x , y dx es una variable real adicional (de modo que dy es función de x y dx ). La notación es tal que la ecuación ${\displaystyle f'(x)}$

${\displaystyle dy={\frac {dy}{dx}}\,dx}$

se cumple, donde la derivada se representa en la notación de Leibniz dy / dx , y esto es consistente con considerar la derivada como el cociente de las diferenciales. Uno también escribe

${\displaystyle df(x)=f'(x)\,dx.}$

El significado preciso de las variables dy y dx depende del contexto de la aplicación y del nivel requerido de rigor matemático. El dominio de estas variables puede adquirir un significado geométrico particular si el diferencial se considera como una forma diferencial particular , o un significado analítico si el diferencial se considera como una aproximación lineal al incremento de una función. Tradicionalmente, las variables dx y dy se consideran muy pequeñas ( infinitésimos ), y esta interpretación se hace rigurosa en análisis no estándar .

reglas de diferenciación

.

prueba de comparación directa

Una prueba de convergencia en la que se compara una serie infinita o una integral impropia con una con propiedades de convergencia conocidas.

prueba de dirichlet

Es un método para probar la convergencia de una serie . Lleva el nombre de su autor Peter Gustav Lejeune Dirichlet y fue publicado póstumamente en el Journal de Mathématiques Pures et Appliquées en 1862. ^[32] La prueba establece que si es una secuencia de números reales y una secuencia de números complejos que satisfacen ${\displaystyle \{a_{n}\}}$ ${\displaystyle \{b_{n}\}}$

• ${\displaystyle a_{n+1}\leq a_{n}}$

• ${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }a_{n}=0}$

• ${\displaystyle \left|\sum _{n=1}^{N}b_{n}\right|\leq M}$para cada entero positivo N

donde M es una constante, entonces la serie

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}b_{n}}$

converge.

integración de disco

También conocido en cálculo integral como método del disco , es un medio para calcular el volumen de un sólido de revolución de un material en estado sólido al integrarlo a lo largo de un eje "paralelo" al eje de revolución .

serie divergente

Es una serie infinita que no es convergente , es decir que la secuencia infinita de las sumas parciales de la serie no tiene límite finito .

discontinuidad

Las funciones continuas son de suma importancia en matemáticas , funciones y aplicaciones. Sin embargo, no todas las funciones son continuas. Si una función no es continua en un punto de su dominio , se dice que tiene una discontinuidad allí. El conjunto de todos los puntos de discontinuidad de una función puede ser un conjunto discreto , un conjunto denso o incluso todo el dominio de la función.

producto escalar

En matemáticas , el producto escalar o producto escalar ^{[nota 1]} es una operación algebraica que toma dos secuencias de números de igual longitud (normalmente vectores de coordenadas ) y devuelve un único número. En geometría euclidiana , el producto escalar de las coordenadas cartesianas de dos vectores se usa ampliamente y a menudo se le llama "el" producto interno (o rara vez producto de proyección ) del espacio euclidiano, aunque no es el único producto interno que se puede definir en el espacio euclidiano. ; consulte también el espacio interior del producto .

integral doble

La integral múltiple es una integral definida de una función de más de una variable real , por ejemplo, f ( x , y ) of ( x , y , z ) . Las integrales de una función de dos variables sobre una región de R ² se denominan integrales dobles y las integrales de una función de tres variables sobre una región de R ³ se denominan integrales triples . ^[33]

mi

e (constante matemática)

El número e es una constante matemática que es la base del logaritmo natural : el único número cuyo logaritmo natural es igual a uno. Es aproximadamente igual a 2,71828 , ^[34] y es el límite de (1 + 1/ n ) ⁿ cuando n tiende al infinito , expresión que surge en el estudio del interés compuesto . También se puede calcular como la suma de la serie infinita ^[35]

${\displaystyle e=\displaystyle \sum \limits _{n=0}^{\infty }{\dfrac {1}{n!}}={\frac {1}{1}}+{\frac {1}{1}}+{\frac {1}{1\cdot 2}}+{\frac {1}{1\cdot 2\cdot 3}}+\cdots }$

integral elíptica

En cálculo integral , las integrales elípticas surgieron originalmente en relación con el problema de dar la longitud del arco de una elipse . Fueron estudiados por primera vez por Giulio Fagnano y Leonhard Euler ( c.  1750 ). Las matemáticas modernas definen una "integral elíptica" como cualquier función f que pueda expresarse en la forma

${\displaystyle f(x)=\int _{c}^{x}R\left(t,{\sqrt {P(t)}}\right)\,dt,}$

donde R es una función racional de sus dos argumentos, P es un polinomio de grado 3 o 4 sin raíces repetidas y c es una constante.

discontinuidad esencial

Para una discontinuidad esencial, sólo uno de los dos límites unilaterales no necesita existir o ser infinito. Considere la función

${\displaystyle f(x)={\begin{cases}\sin {\frac {5}{x-1}}&{\mbox{ for }}x<1\\0&{\mbox{ for }}x=1\\{\frac {1}{x-1}}&{\mbox{ for }}x>1\end{cases}}}$

Entonces, se trata de una discontinuidad esencial . En este caso, no existe y es infinito, satisfaciendo así el doble de las condiciones de discontinuidad esencial. Entonces x ₀ es una discontinuidad esencial , una discontinuidad infinita o una discontinuidad del segundo tipo . (Esto es distinto del término singularidad esencial que se usa a menudo cuando se estudian funciones de variables complejas . ${\displaystyle \scriptstyle x_{0}\;=\;1}$ ${\displaystyle \scriptstyle L^{-}}$ ${\displaystyle \scriptstyle L^{+}}$

método de euler

El método de Euler es un método numérico para resolver ecuaciones diferenciales de primer grado con un valor inicial dado. Es el método explícito más básico para la integración numérica de ecuaciones diferenciales ordinarias y es el método de Runge-Kutta más simple . El método de Euler lleva el nombre de Leonhard Euler , quien lo trató en su libro Institutionum calculi integralis (publicado entre 1768 y 1870). ^[36]

funcion exponencial

En matemáticas , una función exponencial es una función de la forma

${\displaystyle f(x)=ab^{x},}$

donde b es un número real positivo y en el que el argumento x aparece como exponente. Para los números reales cyd , una función de la forma también es una función exponencial, ya que puede reescribirse como ${\displaystyle f(x)=ab^{cx+d}}$

${\displaystyle ab^{cx+d}=\left(ab^{d}\right)\left(b^{c}\right)^{x}.}$

teorema del valor extremo

Establece que si una función de valor real f es continua en el intervalo cerrado [ a , b ], entonces f debe alcanzar un máximo y un mínimo , cada uno al menos una vez. Es decir, existen números c y d en [ a , b ] tales que:

${\displaystyle f(c)\geq f(x)\geq f(d)\quad {\text{for all }}x\in [a,b].}$

Un teorema relacionado es el teorema de la acotación que establece que una función continua f en el intervalo cerrado [ a , b ] está acotada en ese intervalo. Es decir, existen números reales m y M tales que:

${\displaystyle m<f(x)<M\quad {\text{for all }}x\in [a,b].}$

El teorema del valor extremo enriquece el teorema de la acotación al decir que la función no sólo está acotada, sino que también alcanza su límite superior mínimo como máximo y su límite inferior mayor como mínimo.

extremo

En análisis matemático , los máximos y mínimos (los respectivos plurales de máximo y mínimo ) de una función , conocidos colectivamente como extremos (el plural de extremum ), son el valor mayor y menor de la función, ya sea dentro de un rango determinado (el local o extremos relativos ) o en todo el dominio de una función (los extremos globales o absolutos ). ^{[37] [38] [39]} Pierre de Fermat fue uno de los primeros matemáticos en proponer una técnica general, la igualdad , para encontrar los máximos y mínimos de funciones. Como se define en la teoría de conjuntos , el máximo y el mínimo de un conjunto son los elementos mayor y menor del conjunto, respectivamente. Los conjuntos infinitos ilimitados, como el conjunto de los números reales , no tienen mínimo ni máximo.

F

La fórmula de Faà di Bruno

Es una identidad en matemáticas que generaliza la regla de la cadena a derivadas superiores y lleva el nombre de Francesco Faà di Bruno  (1855, 1857), aunque no fue el primero en enunciar o probar la fórmula. En 1800, más de 50 años antes de Faà di Bruno, el matemático francés Louis François Antoine Arbogast enunció la fórmula en un libro de texto de cálculo, ^[40] considerado la primera referencia publicada sobre el tema. ^[41] Quizás la forma más conocida de la fórmula de Faà di Bruno dice que

${\displaystyle {d^{n} \over dx^{n}}f(g(x))=\sum {\frac {n!}{m_{1}!\,1!^{m_{1}}\,m_{2}!\,2!^{m_{2}}\,\cdots \,m_{n}!\,n!^{m_{n}}}}\cdot f^{(m_{1}+\cdots +m_{n})}(g(x))\cdot \prod _{j=1}^{n}\left(g^{(j)}(x)\right)^{m_{j}},}$

donde la suma es sobre todas las n - tuplas de números enteros no negativos ( m ₁ ,…, m _n ) que satisfacen la restricción

${\displaystyle 1\cdot m_{1}+2\cdot m_{2}+3\cdot m_{3}+\cdots +n\cdot m_{n}=n.}$

A veces, para darle un patrón memorable, se escribe de una manera en la que los coeficientes que tienen la interpretación combinatoria que se analiza a continuación son menos explícitos:

${\displaystyle {d^{n} \over dx^{n}}f(g(x))=\sum {\frac {n!}{m_{1}!\,m_{2}!\,\cdots \,m_{n}!}}\cdot f^{(m_{1}+\cdots +m_{n})}(g(x))\cdot \prod _{j=1}^{n}\left({\frac {g^{(j)}(x)}{j!}}\right)^{m_{j}}.}$

Combinar los términos con el mismo valor de m ₁  +  m ₂  + ... +  m _n  =  k y notar que m _j tiene que ser cero para j  >  n  −  k  + 1 conduce a una fórmula algo más simple expresada en términos de Bell. polinomios B _{norte , k} ( x ₁ ,..., x _{norte − k +1} ): 

${\displaystyle {d^{n} \over dx^{n}}f(g(x))=\sum _{k=1}^{n}f^{(k)}(g(x))\cdot B_{n,k}\left(g'(x),g''(x),\dots ,g^{(n-k+1)}(x)\right).}$

polinomio de primer grado

prueba de la primera derivada

La prueba de la primera derivada examina las propiedades monótonas de una función (donde la función aumenta o disminuye) centrándose en un punto particular de su dominio. Si la función "cambia" de aumentar a disminuir en ese punto, entonces la función alcanzará un valor más alto en ese punto. De manera similar, si la función "cambia" de disminuir a aumentar en un punto, entonces alcanzará un valor mínimo en ese punto. Si la función no "conmuta" y sigue aumentando o disminuyendo, no se alcanza ningún valor máximo ni mínimo.

calculo fraccionario

Es una rama del análisis matemático que estudia las distintas posibilidades de definir potencias de números reales o potencias de números complejos del operador de diferenciación D.

${\displaystyle Df(x)={\dfrac {d}{dx}}f(x)}$,

y del operador de integración J

${\displaystyle Jf(x)=\int _{0}^{x}\!\!\!\!f(s){ds}}$, ^{[Nota 2]}

y desarrollar un cálculo para dichos operadores generalizando el clásico. En este contexto, el término potencias se refiere a la aplicación iterativa de un operador lineal a una función, en cierta analogía con la composición de funciones que actúa sobre una variable, es decir, f  ^∘2 ( x ) =  f  ∘  f  ( x ) =  f  (  f  ( x ) ) .

tronco

En geometría , un tronco (plural: frusta o troncos ) es la porción de un sólido (normalmente un cono o pirámide ) que se encuentra entre uno o dos planos paralelos que lo cortan. Un tronco recto es un truncamiento paralelo de una pirámide recta o un cono recto. ^[42]

función

Es un proceso o una relación que asocia cada elemento x de un conjunto X , el dominio de la función, a un único elemento y de otro conjunto Y (posiblemente el mismo conjunto), el codominio de la función. Si la función se llama f , esta relación se denota y = f  ( x ) (léase f de x ), el elemento x es el argumento o entrada de la función, e y es el valor de la función , la salida o la imagen de x por f . ^[43] El símbolo que se utiliza para representar la entrada es la variable de la función (a menudo se dice que f es una función de la variable x ).

composición de funciones

Es una operación que toma dos funciones f y g y produce una función h tal que h ( x ) = g ( f ( x ) . En esta operación, la función g se aplica al resultado de aplicar la función f a x . Es decir, las funciones f  : X → Y y g  : Y → Z se componen para producir una función que asigna x en X a g ( f ( x )) en Z .

teorema fundamental del cálculo

El teorema fundamental del cálculo es un teorema que vincula el concepto de derivar una función con el concepto de integrar una función. La primera parte del teorema, a veces llamada primer teorema fundamental del cálculo , establece que una de las antiderivadas (también llamada integral indefinida ), digamos F , de alguna función f puede obtenerse como la integral de f con un límite de integración variable. . Esto implica la existencia de antiderivadas para funciones continuas . ^[44] Por el contrario, la segunda parte del teorema, a veces llamada el segundo teorema fundamental del cálculo , establece que la integral de una función f en algún intervalo se puede calcular usando cualquiera, digamos F , de sus infinitas antiderivadas . Esta parte del teorema tiene aplicaciones prácticas clave, porque encontrar explícitamente la antiderivada de una función mediante integración simbólica evita la integración numérica para calcular integrales. Esto proporciona generalmente una mejor precisión numérica.

GRAMO

regla general de Leibniz

La regla general de Leibniz , ^[45] que lleva el nombre de Gottfried Wilhelm Leibniz , generaliza la regla del producto (que también se conoce como "regla de Leibniz"). Afirma que si y son funciones diferenciables -veces , entonces el producto también es diferenciable -veces y su derivada enésima está dada por ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle fg}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$

${\displaystyle (fg)^{(n)}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}f^{(n-k)}g^{(k)},}$

donde está el coeficiente binomial y esto se puede demostrar utilizando la regla del producto y la inducción matemática . ${\displaystyle {n \choose k}={n! \over k!(n-k)!}}$ ${\displaystyle f^{(0)}\equiv f.}$

máximo global

En análisis matemático , los máximos y mínimos (los respectivos plurales de máximo y mínimo ) de una función , conocidos colectivamente como extremos (el plural de extremum ), son el valor mayor y menor de la función, ya sea dentro de un rango determinado (el local o extremos relativos ) o en todo el dominio de una función (los extremos globales o absolutos ). ^{[46] [47] [48]} Pierre de Fermat fue uno de los primeros matemáticos en proponer una técnica general, la igualdad , para encontrar los máximos y mínimos de funciones. Como se define en la teoría de conjuntos , el máximo y el mínimo de un conjunto son los elementos mayor y menor del conjunto, respectivamente. Los conjuntos infinitos ilimitados, como el conjunto de los números reales , no tienen mínimo ni máximo.

mínimo global

En análisis matemático , los máximos y mínimos (los respectivos plurales de máximo y mínimo ) de una función , conocidos colectivamente como extremos (el plural de extremum ), son el valor mayor y menor de la función, ya sea dentro de un rango determinado (el local o extremos relativos ) o en todo el dominio de una función (los extremos globales o absolutos ). ^{[49] [50] [51]} Pierre de Fermat fue uno de los primeros matemáticos en proponer una técnica general, la igualdad , para encontrar los máximos y mínimos de funciones. Como se define en la teoría de conjuntos , el máximo y el mínimo de un conjunto son los elementos mayor y menor del conjunto, respectivamente. Los conjuntos infinitos ilimitados, como el conjunto de los números reales , no tienen mínimo ni máximo.

espiral dorada

En geometría , una espiral áurea es una espiral logarítmica cuyo factor de crecimiento es φ , la proporción áurea . ^[52] Es decir, una espiral dorada se ensancha (o se aleja de su origen) en un factor de φ por cada cuarto de vuelta que realiza.

degradado

Es una generalización multivariable de la derivada . Mientras que una derivada se puede definir sobre funciones de una sola variable, para funciones de varias variables , el gradiente toma su lugar. El gradiente es una función con valores vectoriales , a diferencia de una derivada, que tiene valores escalares .

h

progresión armónica

En matemáticas , una progresión armónica (o secuencia armónica ) es una progresión formada tomando los recíprocos de una progresión aritmética . Es una secuencia de la forma

${\displaystyle {\frac {1}{a}},\ {\frac {1}{a+d}}\ ,{\frac {1}{a+2d}}\ ,{\frac {1}{a+3d}}\ ,\cdots ,{\frac {1}{a+kd}},}$

donde −a/ d no es un número natural y k es un número natural. De manera equivalente, una secuencia es una progresión armónica cuando cada término es la media armónica de los términos vecinos. No es posible que una progresión armónica (aparte del caso trivial en el que a = 1 y k = 0) sume un número entero . La razón es que, necesariamente, al menos un denominador de la progresión será divisible por un número primo que no divida a ningún otro denominador. ^[53]

derivada superior

Sea f una función diferenciable y sea f ′ su derivada. La derivada de f ′ (si tiene una) se escribe f ” y se llama segunda derivada de f . De manera similar, la derivada de la segunda derivada, si existe, se escribe f ”′ y se llama tercera derivada de f . Continuando con este proceso, se puede definir, si existe, la n -ésima derivada como la derivada de la ( n -1) -ésima derivada. Estas derivadas repetidas se denominan derivadas de orden superior . La n- ésima derivada también se llama derivada de orden n .

ecuación diferencial lineal homogénea

Una ecuación diferencial puede ser homogénea en cualquiera de dos aspectos. Una ecuación diferencial de primer orden se dice homogénea si se puede escribir

${\displaystyle f(x,y)dy=g(x,y)dx,}$

donde f y g son funciones homogéneas del mismo grado de x e y . En este caso, el cambio de variable y = ux conduce a una ecuación de la forma

${\displaystyle {\frac {dx}{x}}=h(u)du,}$

lo cual es fácil de resolver mediante la integración de los dos miembros. De lo contrario, una ecuación diferencial es homogénea si es una función homogénea de la función desconocida y sus derivadas. En el caso de las ecuaciones diferenciales lineales , esto significa que no existen términos constantes. Las soluciones de cualquier ecuación diferencial ordinaria lineal de cualquier orden pueden deducirse por integración de la solución de la ecuación homogénea obtenida eliminando el término constante.

función hiperbólica

Las funciones hiperbólicas son análogas a las funciones trigonométricas o circulares ordinarias .

I

función de identidad

También llamada relación de identidad o mapa de identidad o transformación de identidad , es una función que siempre devuelve el mismo valor que se utilizó como argumento. En las ecuaciones , la función viene dada por f ( x ) = x .

número imaginario

Es un número complejo que se puede escribir como un número real multiplicado por la unidad imaginaria i , ^{[nota 2]} que se define por su propiedad i ² = −1 . ^[54] El cuadrado de un número imaginario bi es − b ² . Por ejemplo, 5 i es un número imaginario y su cuadrado es −25 . El cero se considera tanto real como imaginario. ^[55]

función implícita

En matemáticas , una ecuación implícita es una relación de la forma , donde es una función de varias variables (a menudo un polinomio ). Por ejemplo, la ecuación implícita del círculo unitario es . Una función implícita es una función que se define implícitamente mediante una ecuación implícita, al asociar una de las variables (el valor ) con las otras (los argumentos ). ^{[56] : 204–206} Por lo tanto, una función implícita para en el contexto del círculo unitario se define implícitamente por . Esta ecuación implícita se define como una función de solo si y se consideran solo valores no negativos (o no positivos) para los valores de la función. El teorema de la función implícita proporciona condiciones bajo las cuales algunos tipos de relaciones definen una función implícita, es decir, relaciones definidas como la función indicadora del conjunto cero de alguna función multivariada continuamente diferenciable . ${\displaystyle R(x_{1},\ldots ,x_{n})=0}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle x^{2}+y^{2}-1=0}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x^{2}+f(x)^{2}-1=0}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle -1\leq x\leq 1}$

fracción impropia

Las fracciones comunes se pueden clasificar como propias o impropias. Cuando el numerador y el denominador son ambos positivos, la fracción se dice propia si el numerador es menor que el denominador, e impropia en caso contrario. ^{[57] [58]} En general, se dice que una fracción común es una fracción propia si el valor absoluto de la fracción es estrictamente menor que uno, es decir, si la fracción es mayor que −1 y menor que 1. ^{[59 ] [60]} Se dice que es una fracción impropia, o a veces una fracción muy pesada, ^[61] si el valor absoluto de la fracción es mayor o igual a 1. Ejemplos de fracciones propias son 2/3, –3/ 4 y 4/9; ejemplos de fracciones impropias son 9/4, –4/3 y 3/3.

integral impropia

En análisis matemático , una integral impropia es el límite de una integral definida cuando un punto final de los intervalos de integración se acerca a un número real específico , o , en algunos casos, cuando ambos puntos finales se acercan a los límites. Una integral de este tipo a menudo se escribe simbólicamente como una integral definida estándar, en algunos casos con el infinito como límite de integración. Específicamente, una integral impropia es un límite de la forma: ${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle -\infty }$

${\displaystyle \lim _{b\to \infty }\int _{a}^{b}f(x)\,dx,\qquad \lim _{a\to -\infty }\int _{a}^{b}f(x)\,dx,}$

o

${\displaystyle \lim _{c\to b^{-}}\int _{a}^{c}f(x)\,dx,\quad \lim _{c\to a^{+}}\int _{c}^{b}f(x)\,dx,}$

en el que se toma un límite en uno u otro (o a veces ambos) puntos finales (Apostol 1967, §10.23).

punto de inflexión

En cálculo diferencial , un punto de inflexión , punto de inflexión , flexión o inflexión (inglés británico: inflexión ) es un punto en una curva plana continua en el cual la curva cambia de ser cóncava (cóncava hacia abajo) a convexa (cóncava hacia arriba), o viceversa.

tasa de cambio instantánea

La derivada de una función de una sola variable en un valor de entrada elegido, cuando existe, es la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en ese punto. La recta tangente es la mejor aproximación lineal de la función cerca de ese valor de entrada. Por esta razón, la derivada a menudo se describe como la "tasa de cambio instantánea", la relación entre el cambio instantáneo de la variable dependiente y el de la variable independiente. .

velocidad instantánea

Si consideramos v como velocidad y x como el vector de desplazamiento (cambio de posición), entonces podemos expresar la velocidad (instantánea) de una partícula u objeto, en cualquier momento particular t , como la derivada de la posición con respecto al tiempo:

${\displaystyle {\boldsymbol {v}}=\lim _{{\Delta t}\to 0}{\frac {\Delta {\boldsymbol {x}}}{\Delta t}}={\frac {d{\boldsymbol {x}}}{d{\mathit {t}}}}.}$

A partir de esta ecuación derivada, en el caso unidimensional se puede ver que el área bajo una velocidad versus tiempo ( gráfica v versus t ) es el desplazamiento, x . En términos de cálculo, la integral de la función de velocidad v ( t ) es la función de desplazamiento x ( t ) . En la figura, esto corresponde al área amarilla debajo de la curva denominada s ( siendo s una notación alternativa para desplazamiento).

${\displaystyle {\boldsymbol {x}}=\int {\boldsymbol {v}}\ d{\mathit {t}}.}$

Dado que la derivada de la posición con respecto al tiempo da el cambio de posición (en metros ) dividido por el cambio de tiempo (en segundos ), la velocidad se mide en metros por segundo (m/s). Aunque el concepto de velocidad instantánea puede parecer al principio contrario a la intuición, se puede considerar como la velocidad a la que el objeto continuaría viajando si dejara de acelerar en ese momento. .

integral

Una integral asigna números a funciones de una manera que puede describir el desplazamiento, el área, el volumen y otros conceptos que surgen al combinar datos infinitesimales . La integración es una de las dos operaciones principales del cálculo, siendo la otra su operación inversa, la diferenciación . .

símbolo integral

El símbolo integral:

∫ ( Unicode ), ( Látex ) ${\displaystyle \displaystyle \int }$

se utiliza para denotar integrales y antiderivadas en matemáticas . .

integrando

La función a integrar en una integral.

integración por partes

En cálculo, y más generalmente en análisis matemático , la integración por partes o integración parcial es un proceso que encuentra la integral de un producto de funciones en términos de la integral de su derivada y antiderivada. Se utiliza con frecuencia para transformar la antiderivada de un producto de funciones en una antiderivada para la que se puede encontrar más fácilmente una solución. La regla se puede derivar fácilmente integrando la regla de diferenciación del producto . Si u = u ( x ) y du = u ′ ( x ) dx , mientras que v = v ( x ) y dv = v ′ ( x ) dx , entonces la integración por partes establece que:

${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{a}^{b}u(x)v'(x)\,dx&={\Big [}u(x)v(x){\Big ]}_{a}^{b}-\int _{a}^{b}u'(x)v(x)\,dx\\&=u(b)v(b)-u(a)v(a)-\int _{a}^{b}u'(x)v(x)\,dx\end{aligned}}}$

o más compacto:

${\displaystyle \int u\,dv=uv-\int v\,du.}$

El matemático Brook Taylor descubrió la integración por partes y publicó la idea por primera vez en 1715 . ^{[62] [63]} Existen formulaciones más generales de integración por partes para las integrales de Riemann-Stieltjes y Lebesgue-Stieltjes . El análogo discreto de las secuencias se llama suma por partes . .

integración por sustitución

También conocido como u -sustitución, es un método para resolver integrales . Usar el teorema fundamental del cálculo a menudo requiere encontrar una antiderivada . Por esta y otras razones, la integración por sustitución es una herramienta importante en matemáticas. Es la contraparte de la regla de la cadena para la diferenciación . .

teorema del valor intermedio

En análisis matemático , el teorema del valor intermedio establece que si una función continua , f , con un intervalo , [ a , b ], como dominio , toma valores f ( a ) y f ( b ) en cada extremo del intervalo, entonces también toma cualquier valor entre f ( a ) y f ( b ) en algún punto dentro del intervalo. Esto tiene dos corolarios importantes :

1. Si una función continua tiene valores de signo opuesto dentro de un intervalo, entonces tiene una raíz en ese intervalo ( teorema de Bolzano ). ^[64]
2. La imagen de una función continua en un intervalo es en sí misma un intervalo. .

funciones trigonométricas inversas

(También llamadas funciones de arco, ^{[65] [66] [67] [68] [69]} funciones antitrigonométricas ^[70] o funciones ciclométricas ^{[71] [72] [73]} ) son las funciones inversas de las funciones trigonométricas (con adecuadamente dominios restringidos ). En concreto, son las inversas de las funciones seno , coseno , tangente , cotangente , secante y cosecante , y se utilizan para obtener un ángulo a partir de cualquiera de las razones trigonométricas del ángulo.

j

discontinuidad de salto

Considere la función

${\displaystyle f(x)={\begin{cases}x^{2}&{\mbox{ for }}x<1\\0&{\mbox{ for }}x=1\\2-(x-1)^{2}&{\mbox{ for }}x>1\end{cases}}}$

Entonces, el punto x ₀ = 1 es una discontinuidad de salto . En este caso, no existe un límite único porque los límites unilaterales, L ⁻ y L ⁺ , existen y son finitos, pero no son iguales: dado que, L ⁻ ≠ L ⁺ , el límite L no existe. Entonces, x ₀ se llama discontinuidad de salto , discontinuidad de paso o discontinuidad de primer tipo . Para este tipo de discontinuidad, la función f puede tener cualquier valor en x ₀ .

l

Integración de Lebesgue

En matemáticas, la integral de una función no negativa de una sola variable puede considerarse, en el caso más simple, como el área entre la gráfica de esa función y el eje x . La integral de Lebesgue extiende la integral a una clase más amplia de funciones. También amplía los dominios en los que se pueden definir estas funciones.

La regla de L'Hôpital

La regla de L'Hôpital o regla de L'Hospital utiliza derivadas para ayudar a evaluar límites que involucran formas indeterminadas . La aplicación (o aplicación repetida) de la regla a menudo convierte una forma indeterminada en una expresión que puede evaluarse mediante sustitución, lo que permite una evaluación más sencilla del límite. La regla lleva el nombre del matemático francés del siglo XVII Guillaume de l'Hôpital . Aunque la contribución de la regla a menudo se atribuye a L'Hôpital, el teorema fue introducido por primera vez en L'Hôpital en 1694 por el matemático suizo Johann Bernoulli . La regla de L'Hôpital establece que para funciones f y g que son diferenciables en un intervalo abierto I excepto posiblemente en un punto c contenido en I , si para todo x en I con x ≠ c , y existe, entonces ${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)=\lim _{x\to c}g(x)=0{\text{ or }}\pm \infty ,}$ ${\displaystyle g'(x)\neq 0}$ ${\displaystyle \lim _{x\to c}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}}$

${\displaystyle \lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}=\lim _{x\to c}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}.}$

La diferenciación del numerador y denominador a menudo simplifica el cociente o lo convierte a un límite que puede evaluarse directamente.

prueba de comparación de límites

La prueba de comparación de límites permite determinar la convergencia de una serie en función de la convergencia de otra.

límite de una función

.

límites de integración

.

combinación lineal

En matemáticas , una combinación lineal es una expresión construida a partir de un conjunto de términos multiplicando cada término por una constante y sumando los resultados (por ejemplo, una combinación lineal de x e y sería cualquier expresión de la forma ax + by , donde a y b son constantes). ^{[74] [75] [76]} El concepto de combinaciones lineales es fundamental para el álgebra lineal y campos relacionados de las matemáticas.

ecuación lineal

Una ecuación lineal es una ecuación que relaciona dos o más variables entre sí en forma de donde la potencia más alta de cada variable es 1. ${\displaystyle a_{1}x_{1}+\cdots +a_{n}x_{n}+b=0,}$

sistema lineal

.

lista de integrales

.

logaritmo

.

diferenciación logarítmica

.

límite inferior

.

METRO

teorema del valor medio

.

función monótona

.

integral múltiple

.

Cálculo multiplicativo

.

cálculo multivariable

.

norte

logaritmo natural

El logaritmo natural de un número es su logaritmo a la base de la constante matemática e , donde e es un número irracional y trascendental aproximadamente igual a2.718 281 828 459 . El logaritmo natural de x generalmente se escribe como ln x , log _e x o, a veces, si la base e está implícita, simplemente log x . ^[77] A veces se añaden paréntesis para mayor claridad, dando ln( x ), log _e ( x ) o log( x ). Esto se hace en particular cuando el argumento del logaritmo no es un símbolo único, para evitar ambigüedades.

cálculo no newtoniano

.

cálculo no estándar

.

notación para diferenciación

.

integracion numerica

.

oh

límite unilateral

.

ecuación diferencial ordinaria

.

PAG

Teorema del centroide de Pappus

(También conocido como teorema de Guldinus , teorema de Pappus-Guldinus o teorema de Pappus ) es cualquiera de dos teoremas relacionados que tratan con las áreas superficiales y los volúmenes de superficies y sólidos de revolución.

parábola

Es una curva plana que es simétrica como espejo y tiene aproximadamente forma de U. Se ajusta a varias otras descripciones matemáticas superficialmente diferentes , de las cuales se puede demostrar que definen exactamente las mismas curvas.

paraboloide

.

derivada parcial

.

ecuación diferencial parcial

.

descomposición en fracciones parciales

.

solución particular

.

función definida por partes

Una función definida por múltiples subfunciones que se aplican a ciertos intervalos del dominio de la función.

vector de posición

.

regla de poder

.

integral del producto

.

regla del producto

.

fracción adecuada

.

función racional adecuada

.

Teorema de pitágoras

.

Identidad trigonométrica pitagórica

.

q

función cuadrática

En álgebra , una función cuadrática , un polinomio cuadrático , un polinomio de grado 2 , o simplemente un cuadrático , es una función polinómica con una o más variables en la que el término de mayor grado es de segundo grado. Por ejemplo, una función cuadrática en tres variables x , y y z contiene exclusivamente términos x ² , y ² , z ² , xy , xz , yz , x , y , z y una constante:

${\displaystyle f(x,y,z)=ax^{2}+by^{2}+cz^{2}+dxy+exz+fyz+gx+hy+iz+j,}$

siendo al menos uno de los coeficientes a, b, c, d, e o f de los términos de segundo grado distinto de cero. Una función cuadrática univariada (de una sola variable) tiene la forma ^[78]

${\displaystyle f(x)=ax^{2}+bx+c,\quad a\neq 0}$

en la única variable x . La gráfica de una función cuadrática univariada es una parábola cuyo eje de simetría es paralelo al eje y , como se muestra a la derecha. Si la función cuadrática se iguala a cero, entonces el resultado es una ecuación cuadrática . Las soluciones de la ecuación univariada se llaman raíces de la función univariada. El caso bivariado en términos de las variables x e y tiene la forma

${\displaystyle f(x,y)=ax^{2}+by^{2}+cxy+dx+ey+f\,\!}$

con al menos uno de a, b, c no igual a cero, y una ecuación que iguala esta función a cero da lugar a una sección cónica (un círculo u otra elipse , una parábola o una hipérbola ). En general puede haber un número arbitrariamente grande de variables, en cuyo caso la superficie resultante se llama cuádrica , pero el término de mayor grado debe ser de grado 2, como x ² , xy , yz , etc.

polinomio cuadrático

.

regla del cociente

Una fórmula para encontrar la derivada de una función que es la razón de dos funciones.

R

radián

Es la unidad SI para medir ángulos y es la unidad estándar de medida angular utilizada en muchas áreas de las matemáticas . La longitud de un arco de círculo unitario es numéricamente igual a la medida en radianes del ángulo que subtiende; un radian equivale a poco menos de 57,3 grados (expansión en OEIS : A072097 ). La unidad era anteriormente una unidad suplementaria del SI , pero esta categoría fue abolida en 1995 y el radianes ahora se considera una unidad derivada del SI . ^[79] Por separado, la unidad SI de medida de ángulos sólidos es el estereorradián .

prueba de razón

.

función recíproca

.

regla recíproca

.

integral de riemann

.

tarifas relacionadas

.

discontinuidad removible

.

teorema de rolle

.

prueba de raíz

.

S

escalar

.

Linea secante

.

polinomio de segundo grado

.

segunda derivada

.

prueba de la segunda derivada

.

ecuación diferencial de segundo orden

.

serie

.

integración de shell

.

la regla de simpson

.

seno

.

onda sinusoidal

.

campo pendiente

.

teorema del emparedado

.

regla de la suma en la diferenciación

.

regla de la suma en la integración

.

suma

.

ángulo suplementario

.

área de superficie

.

sistema de ecuaciones lineales

.

t

tabla de integrales

.

serie de taylor

.

teorema de taylor

.

tangente

.

polinomio de tercer grado

.

tercera derivada

.

toroide

.

diferencial total

.

funciones trigonométricas

.

identidades trigonométricas

.

integral trigonométrica

.

sustitución trigonométrica

.

trigonometría

.

integral triple

.

Ud.

límite superior

.

V

variable

.

vector

.

calculo vectorial

.

W.

lavadora

.

método de lavado

.

Ver también

• Esquema de cálculo
• Glosario de áreas de las matemáticas.
• Glosario de astronomía
• Glosario de biología
• Glosario de botánica
• Glosario de química
• Glosario de ecología
• glosario de ingenieria
• Glosario de física
• Glosario de probabilidad y estadística.

Referencias

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Notas

1. El término producto escalar también se utiliza a menudo de forma más general para referirse a una forma bilineal simétrica , por ejemplo para un espacio pseudoeuclidiano . ^{[ cita necesaria ]}
2. j se usa generalmente en contextos de ingeniería donde i tiene otros significados (como corriente eléctrica)

1. Las antiderivadas también se denominan integrales generales y, a veces, integrales . Este último término es genérico y se refiere no sólo a integrales indefinidas (antiderivadas), sino también a integrales definidas . Cuando la palabra integral se usa sin especificación adicional, se supone que el lector debe deducir del contexto si se refiere a una integral definida o indefinida. Algunos autores definen la integral indefinida de una función como el conjunto de sus infinitas antiderivadas posibles. Otros lo definen como un elemento seleccionado arbitrariamente de ese conjunto. Wikipedia adopta este último enfoque. ^{[ cita necesaria ]}
2. El símbolo J se usa comúnmente en lugar del intuitivo I para evitar confusión con otros conceptos identificados por glifos similares a I , por ejemplo, identidades .