Serie (matemáticas)

suma infinita

En matemáticas , una serie es, a grandes rasgos, la operación de sumar infinitas cantidades, una tras otra, a una cantidad inicial determinada. ^[1] El estudio de series es una parte importante del cálculo y su generalización, el análisis matemático . Las series se utilizan en la mayoría de las áreas de las matemáticas, incluso para estudiar estructuras finitas (como en combinatoria ) mediante funciones generadoras . Además de su ubicuidad en matemáticas, las series infinitas también se utilizan ampliamente en otras disciplinas cuantitativas como la física , la informática , la estadística y las finanzas .

Durante mucho tiempo, la idea de que una suma potencialmente infinita pudiera producir un resultado finito se consideró paradójica . Esta paradoja se resolvió utilizando el concepto de límite durante el siglo XVII. La paradoja de Zenón de Aquiles y la tortuga ilustra esta propiedad contraintuitiva de las sumas infinitas: Aquiles corre detrás de una tortuga, pero cuando alcanza la posición de la tortuga al comienzo de la carrera, la tortuga ha alcanzado una segunda posición; cuando llega a esta segunda posición, la tortuga se encuentra en una tercera posición, y así sucesivamente. Zenón concluyó que Aquiles nunca podría alcanzar a la tortuga y, por tanto, ese movimiento no existe. Zenón dividió la carrera en infinitas subrazas, cada una de las cuales requería una cantidad finita de tiempo, de modo que el tiempo total que tarda Aquiles en atrapar la tortuga está dado por una serie. La resolución de la paradoja es que, aunque la serie tiene un número infinito de términos, tiene una suma finita, lo que da el tiempo necesario para que Aquiles alcance a la tortuga.

En la terminología moderna, cualquier secuencia infinita (ordenada) de términos (es decir, números, funciones o cualquier cosa que pueda sumarse) define una serie, que es la operación de sumar los a _i uno tras otro. Para enfatizar que hay un número infinito de términos, una serie puede llamarse serie infinita . Tal serie está representada (o denotada) por una expresión como ${\displaystyle (a_{1},a_{2},a_{3},\ldots )}$

$${\displaystyle a_{1}+a_{2}+a_{3}+\cdots ,}$$

o, usando el signo de suma ,

$${\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }a_{i}.}$$

La secuencia infinita de adiciones implícitas en una serie no puede llevarse a cabo de manera efectiva (al menos en un período de tiempo finito). Sin embargo, si el conjunto al que pertenecen los términos y sus sumas finitas tiene noción de límite , a veces es posible asignar un valor a una serie, llamado suma de la serie. Este valor es el límite cuando n tiende al infinito (si el límite existe) de las sumas finitas de los n primeros términos de la serie, que se denominan n- ésimas sumas parciales de la serie. Eso es,

$${\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }a_{i}=\lim _{n\to \infty }\sum _{i=1}^{n}a_{i}.}$$

Cuando existe este límite, se dice que la serie es convergente o sumable , o que la secuencia es sumable . En este caso, el límite se llama suma de la serie. De lo contrario, se dice que la serie es divergente . ^[2] ${\displaystyle (a_{1},a_{2},a_{3},\ldots )}$

La notación denota tanto la serie (es decir, el proceso implícito de sumar los términos uno tras otro indefinidamente) como, si la serie es convergente, la suma de la serie (el resultado del proceso). Esta es una generalización de la convención similar de denotar tanto por la suma (el proceso de sumar) como por su resultado (la suma de a y b ). ${\textstyle \sum _{i=1}^{\infty }a_{i}}$ ${\displaystyle a+b}$

Generalmente, los términos de una serie provienen de un anillo , muchas veces el cuerpo de los números reales o el cuerpo de los números complejos . En este caso, el conjunto de todas las series es en sí mismo un anillo (e incluso un álgebra asociativa ), en el que la suma consiste en sumar la serie término por término, y la multiplicación es el producto de Cauchy . ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$

Propiedades básicas

Una serie infinita o simplemente una serie es una suma infinita, representada por una expresión infinita de la forma ^[3]

$${\displaystyle a_{0}+a_{1}+a_{2}+\cdots ,}$$

donde es cualquier secuencia ordenada de términos , como números , funciones o cualquier otra cosa que pueda sumarse (un grupo abeliano ). Esta es una expresión que se obtiene de la lista de términos colocándolos uno al lado del otro y uniéndolos con el símbolo "+". Una serie también se puede representar mediante notación de suma , como ${\displaystyle (a_{n})}$ ${\displaystyle a_{0},a_{1},\dots }$

$${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}.}$$

Si un grupo abeliano A de términos tiene un concepto de límite (por ejemplo, si es un espacio métrico ), entonces alguna serie, la serie convergente , puede interpretarse como si tuviera un valor en A , llamado suma de la serie . Esto incluye los casos comunes del cálculo , en los que el grupo es el cuerpo de números reales o el cuerpo de números complejos . Dada una serie , su k- ésima suma parcial es ^[2] ${\textstyle s=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}}$

$${\displaystyle s_{k}=\sum _{n=0}^{k}a_{n}=a_{0}+a_{1}+\cdots +a_{k}.}$$

Por definición, la serie converge al límite L (o simplemente suma a L ), si la secuencia de sus sumas parciales tiene un límite L. ^[3] En este caso, se suele escribir ${\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}}$

$${\displaystyle L=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}.}$$

Se dice que una serie es convergente si converge hasta algún límite, o divergente cuando no lo hace. El valor de este límite, si existe, es entonces el valor de la serie.

Serie convergente

Ilustración de 3 series geométricas con sumas parciales de 1 a 6 términos. La línea discontinua representa el límite.

Se dice que una serie Σ an es convergente o es convergente cuando la secuencia ( s _k ) de sumas parciales tiene un límite _finito . Si el límite de s _k es infinito o no existe, se dice que la serie diverge . ^{[4] [2]} Cuando existe el límite de sumas parciales, se llama valor (o suma) de la serie.

$${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}=\lim _{k\to \infty }s_{k}=\lim _{k\to \infty }\sum _{n=0}^{k}a_{n}.}$$

Una manera fácil de que una serie infinita pueda converger es si todos los _an son cero para n suficientemente grande. Una serie así puede identificarse con una suma finita, por lo que sólo es infinita en un sentido trivial.

La esencia del estudio de las series es determinar las propiedades de las series que convergen, incluso si un número infinito de términos son distintos de cero. Considere el ejemplo

$${\displaystyle 1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+\cdots +{\frac {1}{2^{n}}}+\cdots .}$$

Es posible "visualizar" su convergencia en la recta de números reales : podemos imaginar una recta de longitud 2, con segmentos sucesivos marcados de longitud 1, 1/2, 1/4, etc. Siempre hay espacio para marcar el siguiente segmento, porque la cantidad de línea restante es siempre la misma que la del último segmento marcado: cuando hemos marcado 1/2, todavía nos queda un trozo de longitud 1/2 sin marcar, por lo que ciertamente podemos marcar el siguiente 1/4 . Este argumento no prueba que la suma sea igual a 2 (aunque lo es), pero sí que es como máximo  2. En otras palabras, la serie tiene un límite superior. Dado que la serie converge, demostrar que es igual a 2 requiere sólo álgebra elemental . Si la serie se denota S , se puede ver que

$${\displaystyle S/2={\frac {1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+\cdots }{2}}={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{16}}+\cdots .}$$

Por lo tanto,

$${\displaystyle S-S/2=1\Rightarrow S=2.}$$

El modismo se puede extender a otras nociones equivalentes de serie. Por ejemplo, un decimal recurrente , como en

$${\displaystyle x=0.111\dots ,}$$

codifica la serie

$${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{10^{n}}}.}$$

Dado que estas series siempre convergen en números reales (debido a lo que se llama la propiedad de completitud de los números reales), hablar de las series de esta manera es lo mismo que hablar de los números que representan. En particular, la expansión decimal 0,111... se puede identificar con 1/9. Esto lleva a un argumento de que 9 × 0,111... = 0,999... = 1 , que sólo se basa en el hecho de que las leyes límite para las series preservan las operaciones aritméticas ; para obtener más detalles sobre este argumento, consulte 0,999... .

Ejemplos de series numéricas

• Una serie geométrica es aquella en la que cada término sucesivo se produce multiplicando el término anterior por un número constante (llamado razón común en este contexto). Por ejemplo: ^[2]
  $${\displaystyle 1+{1 \over 2}+{1 \over 4}+{1 \over 8}+{1 \over 16}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{1 \over 2^{n}}=2.}$$

  En general, la serie geométrica

  $${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }z^{n}}$$

  converge si y sólo si , en cuyo caso converge a . ${\textstyle |z|<1}$ ${\textstyle {1 \over 1-z}}$

• La serie armónica es la serie ^[5]
  $${\displaystyle 1+{1 \over 2}+{1 \over 3}+{1 \over 4}+{1 \over 5}+\cdots =\sum _{n=1}^{\infty }{1 \over n}.}$$

  La serie armónica es divergente .

• Una serie alterna es una serie donde los términos alternan signos. Ejemplos:
  $${\displaystyle 1-{1 \over 2}+{1 \over 3}-{1 \over 4}+{1 \over 5}-\cdots =\sum _{n=1}^{\infty }{\left(-1\right)^{n-1} \over n}=\ln(2)\quad }$$

  ( serie armónica alterna ) y

  $${\displaystyle -1+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{7}}-{\frac {1}{9}}+\cdots =\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\left(-1\right)^{n}}{2n-1}}=-{\frac {\pi }{4}}}$$
• Una serie telescópica
  $${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }(b_{n}-b_{n+1})}$$

  converge si la secuencia b _n converge a un límite L , cuando n tiende al infinito. El valor de la serie es entonces b ₁ − L .

• Una serie aritmético-geométrica es una generalización de la serie geométrica, que tiene coeficientes de la razón común iguales a los términos de una secuencia aritmética . Ejemplo:
  $${\displaystyle 3+{5 \over 2}+{7 \over 4}+{9 \over 8}+{11 \over 16}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{(3+2n) \over 2^{n}}.}$$
• La serie p
  $${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{p}}}}$$

  converge para p > 1 y diverge para p ≤ 1, lo que se puede mostrar con el criterio integral que se describe a continuación en las pruebas de convergencia. En función de p , la suma de esta serie es la función zeta de Riemann .

• Serie hipergeométrica :
  $${\displaystyle _{r}F_{s}\left[{\begin{matrix}a_{1},a_{2},\dotsc ,a_{r}\\b_{1},b_{2},\dotsc ,b_{s}\end{matrix}};z\right]:=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(a_{1})_{n}(a_{2})_{n}\dotsb (a_{r})_{n}}{(b_{1})_{n}(b_{2})_{n}\dotsb (b_{s})_{n}\;n!}}z^{n}}$$

  y sus generalizaciones (como series hipergeométricas básicas y series hipergeométricas elípticas ) aparecen con frecuencia en sistemas integrables y física matemática . ^[6]

• Hay algunas series elementales cuya convergencia aún no se conoce ni se ha demostrado. Por ejemplo, se desconoce si la serie Flint Hills
  $${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{3}\sin ^{2}n}}}$$
  converge o no. La convergencia depende de qué tan bien se pueda aproximar con números racionales (lo cual se desconoce hasta el momento). Más específicamente, los valores de n con grandes contribuciones numéricas a la suma son los numeradores de las fracciones continuas convergentes de , una secuencia que comienza con 1, 3, 22, 333, 355, 103993,... (secuencia A046947 en la OEIS ) . Estos son números enteros n que están cerca de algún entero m , por lo que está cerca y su recíproco es grande. ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle m\pi }$ ${\displaystyle \sin n}$ ${\displaystyle \sin m\pi =0}$

Pi

$${\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }{\frac {1}{i^{2}}}={\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+{\frac {1}{4^{2}}}+\cdots ={\frac {\pi ^{2}}{6}}}$$

$${\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{i+1}(4)}{2i-1}}={\frac {4}{1}}-{\frac {4}{3}}+{\frac {4}{5}}-{\frac {4}{7}}+{\frac {4}{9}}-{\frac {4}{11}}+{\frac {4}{13}}-\cdots =\pi }$$

Logaritmo natural de 2

$${\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{i+1}}{i}}=\ln 2}$$

^[2]

$${\displaystyle \sum _{i=0}^{\infty }{\frac {1}{(2i+1)(2i+2)}}=\ln 2}$$

$${\displaystyle \sum _{i=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{i}}{(i+1)(i+2)}}=2\ln(2)-1}$$

$${\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }{\frac {1}{i\left(4i^{2}-1\right)}}=2\ln(2)-1}$$

$${\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{i}i}}=\ln 2}$$

$${\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }\left({\frac {1}{3^{i}}}+{\frac {1}{4^{i}}}\right){\frac {1}{i}}=\ln 2}$$

$${\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }{\frac {1}{2i(2i-1)}}=\ln 2}$$

Base de logaritmo natural e

$${\displaystyle \sum _{i=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{i}}{i!}}=1-{\frac {1}{1!}}+{\frac {1}{2!}}-{\frac {1}{3!}}+\cdots ={\frac {1}{e}}}$$

$${\displaystyle \sum _{i=0}^{\infty }{\frac {1}{i!}}={\frac {1}{0!}}+{\frac {1}{1!}}+{\frac {1}{2!}}+{\frac {1}{3!}}+{\frac {1}{4!}}+\cdots =e}$$

Cálculo y suma parcial como operación sobre secuencias.

La suma parcial toma como entrada una secuencia, ( a _n ), y da como salida otra secuencia, ( S _N ). Por tanto, es una operación unaria sobre secuencias. Además, esta función es lineal y, por tanto, es un operador lineal en el espacio vectorial de secuencias, denotado Σ. El operador inverso es el operador de diferencias finitas , denotado Δ. Estos se comportan como análogos discretos de integración y diferenciación , solo que para series (funciones de un número natural) en lugar de funciones de una variable real. Por ejemplo, la secuencia (1, 1, 1, ...) tiene la serie (1, 2, 3, 4, ...) como suma parcial, lo cual es análogo al hecho de que ${\textstyle \int _{0}^{x}1\,dt=x.}$

En informática , se conoce como suma de prefijos .

Propiedades de la serie

Las series se clasifican no sólo por si convergen o divergen, sino también por las propiedades de los términos a _n (convergencia absoluta o condicional); tipo de convergencia de la serie (puntual, uniforme); la clase del término a _n (ya sea un número real, una progresión aritmética, una función trigonométrica); etc.

términos no negativos

Cuando un _n es un número real no negativo para cada n , la secuencia S _N de sumas parciales no es decreciente. De ello se deduce que una serie Σ an con términos no negativos converge si y sólo si la secuencia S _N de sumas parciales es acotada _.

Por ejemplo, la serie

$${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}}$$

es convergente, porque la desigualdad

$${\displaystyle {\frac {1}{n^{2}}}\leq {\frac {1}{n-1}}-{\frac {1}{n}},\quad n\geq 2,}$$

y un argumento de suma telescópica implica que las sumas parciales están acotadas por 2. El valor exacto de la serie original es el problema de Basilea .

Agrupamiento

Cuando agrupas una serie, no se reordena la serie, por lo que no se aplica el teorema de la serie de Riemann . Una nueva serie tendrá sus sumas parciales como subsecuencia de la serie original, lo que significa que si la serie original converge, también lo hará la nueva serie. Pero para las series divergentes eso no es cierto, por ejemplo 1-1+1-1+... agrupados cada dos elementos crearán la serie 0+0+0+..., que es convergente. Por otro lado, la divergencia de la nueva serie significa que la serie original sólo puede ser divergente, lo que a veces resulta útil, como en la prueba de Oresme .

Convergencia absoluta

Una serie

$${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}}$$

converge absolutamente si la serie de valores absolutos

$${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }\left|a_{n}\right|}$$

converge. Esto es suficiente para garantizar no sólo que la serie original converja a un límite, sino también que cualquier reordenamiento de la misma converja al mismo límite.

Convergencia condicional

Se dice que una serie de números reales o complejos es condicionalmente convergente (o semiconvergente ) si es convergente pero no absolutamente convergente. Un ejemplo famoso es la serie alterna.

$${\displaystyle \sum \limits _{n=1}^{\infty }{(-1)^{n+1} \over n}=1-{1 \over 2}+{1 \over 3}-{1 \over 4}+{1 \over 5}-\cdots ,}$$

la cual es convergente (y su suma es igual a  ), pero la serie formada tomando el valor absoluto de cada término es la serie armónica divergente . El teorema de la serie de Riemann dice que cualquier serie condicionalmente convergente se puede reordenar para formar una serie divergente y, además, si son reales y es cualquier número real, se puede encontrar un reordenamiento de modo que la serie reordenada converja con una suma igual a  . ${\displaystyle \ln 2}$ ${\displaystyle a_{n}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$

La prueba de Abel es una herramienta importante para manejar series semiconvergentes. Si una serie tiene la forma

$${\displaystyle \sum a_{n}=\sum \lambda _{n}b_{n}}$$

donde las sumas parciales están acotadas, tienen variación acotada y existe: ${\displaystyle B_{n}=b_{0}+\cdots +b_{n}}$ ${\displaystyle \lambda _{n}}$ ${\displaystyle \lim \lambda _{n}b_{n}}$

$${\displaystyle \sup _{N}\left|\sum _{n=0}^{N}b_{n}\right|<\infty ,\ \ \sum \left|\lambda _{n+1}-\lambda _{n}\right|<\infty \ {\text{and}}\ \lambda _{n}B_{n}\ {\text{converges,}}}$$

entonces la serie es convergente. Esto se aplica a la convergencia puntual de muchas series trigonométricas, como en ${\textstyle \sum a_{n}}$

$${\displaystyle \sum _{n=2}^{\infty }{\frac {\sin(nx)}{\ln n}}}$$

con . El método de Abel consiste en escribir y realizar una transformación similar a la integración por partes (llamada suma por partes ), que relaciona la serie dada con la serie absolutamente convergente. ${\displaystyle 0<x<2\pi }$ ${\displaystyle b_{n+1}=B_{n+1}-B_{n}}$ ${\textstyle \sum a_{n}}$

$${\displaystyle \sum (\lambda _{n}-\lambda _{n+1})\,B_{n}.}$$

Evaluación de errores de truncamiento

La evaluación de errores de truncamiento es un procedimiento importante en el análisis numérico (especialmente en números validados y pruebas asistidas por computadora ).

Serie alterna

Cuando las condiciones de la prueba de series alternas se cumplen con , hay una evaluación de error exacta. ^[7] Establecido como la suma parcial de la serie alterna dada . Entonces se cumple la siguiente desigualdad: ${\textstyle S:=\sum _{m=0}^{\infty }(-1)^{m}u_{m}}$ ${\displaystyle s_{n}}$ ${\textstyle s_{n}:=\sum _{m=0}^{n}(-1)^{m}u_{m}}$ ${\displaystyle S}$

$${\displaystyle |S-s_{n}|\leq u_{n+1}.}$$

serie de taylor

El teorema de Taylor es un enunciado que incluye la evaluación del término de error cuando se trunca la serie de Taylor .

Serie hipergeométrica

Al utilizar la razón , podemos obtener la evaluación del término de error cuando se trunca la serie hipergeométrica . ^[8]

Matriz exponencial

Para la matriz exponencial :

$${\displaystyle \exp(X):=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{k!}}X^{k},\quad X\in \mathbb {C} ^{n\times n},}$$

se cumple la siguiente evaluación de errores (método de escala y cuadratura): ^{[9] [10] [11]}

$${\displaystyle T_{r,s}(X):=\left[\sum _{j=0}^{r}{\frac {1}{j!}}(X/s)^{j}\right]^{s},\quad \|\exp(X)-T_{r,s}(X)\|\leq {\frac {\|X\|^{r+1}}{s^{r}(r+1)!}}\exp(\|X\|).}$$

Pruebas de convergencia

Existen muchas pruebas que pueden usarse para determinar si una serie particular converge o diverge.

• Prueba del n-ésimo término : si, entonces la serie diverge; si, entonces la prueba no es concluyente. ${\textstyle \lim _{n\to \infty }a_{n}\neq 0}$ ${\textstyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=0}$
• Prueba de comparación 1 (ver Prueba de comparación directa ): si es una serie absolutamente convergente tal que para algún número y para un número suficientemente grande , entonces también converge absolutamente. Si diverge, y para todos es suficientemente grande , entonces tampoco converge absolutamente (aunque aún podría ser condicionalmente convergente, por ejemplo, si el signo es alternativo). ${\textstyle \sum b_{n}}$ ${\displaystyle \left\vert a_{n}\right\vert \leq C\left\vert b_{n}\right\vert }$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle n}$ ${\textstyle \sum a_{n}}$ ${\textstyle \sum \left\vert b_{n}\right\vert }$ ${\displaystyle \left\vert a_{n}\right\vert \geq \left\vert b_{n}\right\vert }$ ${\displaystyle n}$ ${\textstyle \sum a_{n}}$ ${\displaystyle a_{n}}$
• Prueba de comparación 2 (ver Prueba de comparación de límites ): si es una serie absolutamente convergente tal que para , entonces converge absolutamente también. Si diverge, y para todos es suficientemente grande , entonces tampoco converge absolutamente (aunque aún podría ser condicionalmente convergente, por ejemplo, si el signo es alternativo). ${\textstyle \sum b_{n}}$ ${\displaystyle \left\vert {\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right\vert \leq \left\vert {\frac {b_{n+1}}{b_{n}}}\right\vert }$ ${\displaystyle n}$ ${\textstyle \sum a_{n}}$ ${\textstyle \sum \left|b_{n}\right|}$ ${\displaystyle \left\vert {\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right\vert \geq \left\vert {\frac {b_{n+1}}{b_{n}}}\right\vert }$ ${\displaystyle n}$ ${\textstyle \sum a_{n}}$ ${\displaystyle a_{n}}$
• Prueba de razón : si existe una constante tal que para todos sea suficientemente grande  , entonces converge absolutamente. Cuando la relación es menor que , pero no menor que una constante menor que , la convergencia es posible pero esta prueba no la establece. ${\displaystyle C<1}$ ${\displaystyle \left\vert {\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right\vert <C}$ ${\displaystyle n}$ ${\textstyle \sum a_{n}}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle 1}$
• Prueba de raíz : si existe una constante tal que para todos sea suficientemente grande  , entonces converge absolutamente. ${\displaystyle C<1}$ ${\displaystyle \left\vert a_{n}\right\vert ^{\frac {1}{n}}\leq C}$ ${\displaystyle n}$ ${\textstyle \sum a_{n}}$
• Prueba integral : si es una función decreciente monótona positiva definida en el intervalo con para todos  , entonces converge si y solo si la integral es finita. ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle [1,\infty )}$ ${\displaystyle f(n)=a_{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\textstyle \sum a_{n}}$ ${\textstyle \int _{1}^{\infty }f(x)\,dx}$
• Prueba de condensación de Cauchy : si no es negativa ni creciente, entonces las dos series y son de la misma naturaleza: ambas convergentes o ambas divergentes. ${\displaystyle a_{n}}$ ${\textstyle \sum a_{n}}$ ${\textstyle \sum 2^{k}a_{(2^{k})}}$
• Prueba de series alternas : Una serie de la forma (con ) se llama alterna . Tal serie converge si la secuencia es monótona decreciente y converge a  . En general, lo contrario no es cierto. ${\textstyle \sum (-1)^{n}a_{n}}$ ${\displaystyle a_{n}>0}$ ${\displaystyle a_{n}}$ ${\displaystyle 0}$
• Para algunos tipos específicos de series existen pruebas de convergencia más especializadas, por ejemplo, para las series de Fourier existe la prueba de Dini .

Serie de funciones

Una serie de funciones de valores reales o complejos.

$${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }f_{n}(x)}$$

converge puntualmente en un conjunto E , si la serie converge para cada x en E como una serie ordinaria de números reales o complejos. De manera equivalente, las sumas parciales

$${\displaystyle s_{N}(x)=\sum _{n=0}^{N}f_{n}(x)}$$

converge a ƒ ( x ) como N  → ∞ para cada x  ∈  E .

Una noción más fuerte de convergencia de una serie de funciones es la convergencia uniforme . Una serie converge uniformemente si converge puntualmente a la función ƒ ( x ), y el error al aproximar el límite por la enésima suma parcial,

$${\displaystyle |s_{N}(x)-f(x)|}$$

se puede hacer mínimo independientemente de x eligiendo un N suficientemente grande .

La convergencia uniforme es deseable para una serie porque el límite retiene muchas propiedades de los términos de la serie. Por ejemplo, si una serie de funciones continuas converge uniformemente, entonces la función límite también es continua. De manera similar, si los ƒ _n son integrables en un intervalo I cerrado y acotado y convergen uniformemente, entonces la serie también es integrable en I y puede integrarse término por término. Las pruebas de convergencia uniforme incluyen la prueba M de Weierstrass , la prueba de convergencia uniforme de Abel , la prueba de Dini y el criterio de Cauchy .

También se pueden definir tipos más sofisticados de convergencia de una serie de funciones. En la teoría de la medida , por ejemplo, una serie de funciones converge casi en todas partes si converge puntualmente excepto en un cierto conjunto de medida cero . Otros modos de convergencia dependen de una estructura espacial métrica diferente en el espacio de funciones considerado. Por ejemplo, una serie de funciones converge en media en un conjunto E a una función límite ƒ siempre que

$${\displaystyle \int _{E}\left|s_{N}(x)-f(x)\right|^{2}\,dx\to 0}$$

como norte  → ∞.

Serie de potencia

Una serie de potencias es una serie de la forma

$${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(x-c)^{n}.}$$

La serie de Taylor en un punto c de una función es una serie de potencias que, en muchos casos, converge a la función en una vecindad de c . Por ejemplo, la serie

$${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}}$$

es la serie de Taylor en el origen y converge a ella para cada x . ${\displaystyle e^{x}}$

A menos que converja sólo en x = c , dicha serie converge en un cierto disco abierto de convergencia centrado en el punto c en el plano complejo, y también puede converger en algunos de los puntos de la frontera del disco. El radio de este disco se conoce como radio de convergencia y, en principio _, puede determinarse a partir de las asintóticas de los coeficientes an . La convergencia es uniforme en subconjuntos cerrados y acotados (es decir, compactos ) del interior del disco de convergencia: es decir, es uniformemente convergente en conjuntos compactos .

Históricamente, matemáticos como Leonhard Euler operaron liberalmente con series infinitas, incluso si no eran convergentes. Cuando el cálculo tuvo una base sólida y correcta en el siglo XIX, siempre se requirieron pruebas rigurosas de la convergencia de las series.

Serie de potencias formales

Si bien muchos usos de las series de potencias se refieren a sus sumas, también es posible tratar las series de potencias como sumas formales , lo que significa que en realidad no se realizan operaciones de suma, y ​​el símbolo "+" es un símbolo abstracto de conjunción que no necesariamente se interpreta como correspondiente a la suma. En este contexto, lo que interesa es la secuencia de coeficientes en sí, más que la convergencia de la serie. Las series de potencias formales se utilizan en combinatoria para describir y estudiar secuencias que de otro modo serían difíciles de manejar, por ejemplo, utilizando el método de generación de funciones . La serie de Hilbert-Poincaré es una serie de potencias formal que se utiliza para estudiar álgebras graduadas .

Incluso si no se considera el límite de la serie de potencias, si los términos soportan una estructura apropiada entonces es posible definir operaciones como suma , multiplicación , derivada , antiderivada para series de potencias "formalmente", tratando el símbolo "+" como si correspondía a la suma. En el entorno más común, los términos provienen de un anillo conmutativo , de modo que la serie de potencias formales se puede sumar término por término y multiplicar mediante el producto de Cauchy . En este caso, el álgebra de series de potencias formales es el álgebra total del monoide de números naturales sobre el anillo de términos subyacente. ^[12] Si el término anillo subyacente es un álgebra diferencial , entonces el álgebra de series de potencias formales también es un álgebra diferencial, con diferenciación realizada término por término.

serie laurent

Las series de Laurent generalizan las series de potencias al admitir términos en la serie con exponentes tanto negativos como positivos. Por tanto, una serie de Laurent es cualquier serie de la forma

$${\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }a_{n}x^{n}.}$$

Si tal serie converge, entonces en general lo hace en un anillo en lugar de en un disco, y posiblemente en algunos puntos límite. La serie converge uniformemente en subconjuntos compactos del interior del anillo de convergencia.

Serie Dirichlet

Una serie de Dirichlet es una de las formas

$${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{a_{n} \over n^{s}},}$$

donde s es un número complejo . Por ejemplo, si todos _an son iguales a 1, entonces la serie de Dirichlet es la función zeta de Riemann

$${\displaystyle \zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}.}$$

Al igual que la función zeta, las series de Dirichlet en general desempeñan un papel importante en la teoría analítica de números . Generalmente una serie de Dirichlet converge si la parte real de s es mayor que un número llamado abscisa de convergencia. En muchos casos, una serie de Dirichlet se puede extender a una función analítica fuera del dominio de convergencia mediante continuación analítica . Por ejemplo, la serie de Dirichlet para la función zeta converge absolutamente cuando Re( s ) > 1, pero la función zeta se puede extender a una función holomorfa definida con un polo simple en 1. ${\displaystyle \mathbb {C} \setminus \{1\}}$

Esta serie se puede generalizar directamente a la serie general de Dirichlet .

Serie trigonométrica

Una serie de funciones cuyos términos son funciones trigonométricas se llama serie trigonométrica :

$${\displaystyle {\frac {1}{2}}A_{0}+\sum _{n=1}^{\infty }\left(A_{n}\cos nx+B_{n}\sin nx\right).}$$

El ejemplo más importante de serie trigonométrica es la serie de Fourier de una función.

Historia de la teoría de las series infinitas.

Desarrollo de series infinitas.

El matemático griego Arquímedes realizó la primera suma conocida de una serie infinita con un método que todavía se utiliza en el área del cálculo en la actualidad. Usó el método de agotamiento para calcular el área bajo el arco de una parábola con la suma de una serie infinita, y dio una aproximación notablemente precisa de π . ^{[13] [14]}

Los matemáticos de la escuela de Kerala estudiaban series infinitas c.  1350 d.C. ^[15]

En el siglo XVII, James Gregory trabajó en el nuevo sistema decimal sobre series infinitas y publicó varias series de Maclaurin . En 1715, Brook Taylor proporcionó un método general para construir la serie de Taylor para todas las funciones para las que existen . Leonhard Euler en el siglo XVIII desarrolló la teoría de las series hipergeométricas y las series q .

Criterios de convergencia

Se considera que la investigación de la validez de las series infinitas comenzó con Gauss en el siglo XIX. Euler ya había considerado las series hipergeométricas

$${\displaystyle 1+{\frac {\alpha \beta }{1\cdot \gamma }}x+{\frac {\alpha (\alpha +1)\beta (\beta +1)}{1\cdot 2\cdot \gamma (\gamma +1)}}x^{2}+\cdots }$$

sobre lo cual Gauss publicó una memoria en 1812. Estableció criterios de convergencia más simples, y las cuestiones de los restos y el rango de convergencia.

Cauchy (1821) insistió en pruebas estrictas de convergencia; demostró que si dos series son convergentes su producto no necesariamente lo es, y con él comienza el descubrimiento de criterios efectivos. Los términos convergencia y divergencia habían sido introducidos mucho antes por Gregory (1668). Leonhard Euler y Gauss habían dado varios criterios y Colin Maclaurin había anticipado algunos de los descubrimientos de Cauchy. Cauchy avanzó la teoría de las series de potencias mediante la expansión de una función compleja en tal forma.

Abel (1826) en sus memorias sobre la serie binomial

$${\displaystyle 1+{\frac {m}{1!}}x+{\frac {m(m-1)}{2!}}x^{2}+\cdots }$$

corrigió algunas de las conclusiones de Cauchy y dio un resumen completamente científico de la serie para valores complejos de y . Mostró la necesidad de considerar el tema de la continuidad en cuestiones de convergencia. ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle x}$

Los métodos de Cauchy condujeron a criterios especiales más que generales, y lo mismo puede decirse de Raabe (1832), quien realizó la primera investigación elaborada sobre el tema, de De Morgan (desde 1842), cuya prueba logarítmica DuBois-Reymond (1873) y Pringsheim (1889) ha demostrado fracasar en una determinada región; de Bertrand (1842), Bonnet (1843), Malmsten (1846, 1847, este último sin integración); Stokes (1847), Paucker (1852), Chebyshev (1852) y Arndt (1853).

Los criterios generales comenzaron con Kummer (1835) y han sido estudiados por Eisenstein (1847), Weierstrass en sus diversas contribuciones a la teoría de funciones, Dini (1867), DuBois-Reymond (1873) y muchos otros. Las memorias de Pringsheim (1889) presentan la teoría general más completa.

Convergencia uniforme

La teoría de la convergencia uniforme fue tratada por Cauchy (1821), y Abel señaló sus limitaciones, pero los primeros en atacarla con éxito fueron Seidel y Stokes (1847-1848). Cauchy retomó el problema (1853), reconociendo las críticas de Abel y llegando a las mismas conclusiones que Stokes ya había encontrado. Thomae utilizó la doctrina (1866), pero hubo un gran retraso en reconocer la importancia de distinguir entre convergencia uniforme y no uniforme, a pesar de las exigencias de la teoría de funciones.

Semiconvergencia

Se dice que una serie es semiconvergente (o condicionalmente convergente) si es convergente pero no absolutamente convergente .

Poisson (1823) estudió las series semiconvergentes y también dio una forma general al resto de la fórmula de Maclaurin. La solución más importante del problema se debe, sin embargo, a Jacobi (1834), quien atacó la cuestión del resto desde un punto de vista diferente y llegó a una fórmula diferente. Esta expresión también fue elaborada, y dada otra, por Malmsten (1847). Schlömilch ( Zeitschrift , Vol.I, p. 192, 1856) también mejoró el resto de Jacobi y mostró la relación entre el resto y la función de Bernoulli.

$${\displaystyle F(x)=1^{n}+2^{n}+\cdots +(x-1)^{n}.}$$

Genocchi (1852) ha contribuido aún más a la teoría.

Entre los primeros escritores se encontraba Wronski , cuya "loi suprême" (1815) apenas fue reconocida hasta que Cayley (1873) la destacó.

series de Fourier

Las series de Fourier se investigaban como resultado de consideraciones físicas al mismo tiempo que Gauss, Abel y Cauchy elaboraban la teoría de las series infinitas. Las series para el desarrollo de senos y cosenos, de arcos múltiples en potencias del seno y coseno del arco, habían sido tratadas por Jacob Bernoulli (1702) y su hermano Johann Bernoulli (1701) y aún antes por Vieta . Euler y Lagrange simplificaron el tema, al igual que Poinsot , Schröter , Glaisher y Kummer .

Fourier (1807) se propuso un problema diferente: expandir una función dada de x en términos de los senos o cosenos de múltiplos de x , problema que plasmó en su Théorie analytique de la chaleur (1822). Euler ya había dado las fórmulas para determinar los coeficientes de la serie; Fourier fue el primero en afirmar e intentar demostrar el teorema general. Poisson (1820-1823) también atacó el problema desde un punto de vista diferente. Fourier, sin embargo, no resolvió la cuestión de la convergencia de sus series, un asunto que debía intentar Cauchy (1826) y Dirichlet (1829) manejar de manera completamente científica (ver convergencia de series de Fourier ). El tratamiento de Dirichlet ( Crelle , 1829) de las series trigonométricas fue objeto de críticas y mejoras por parte de Riemann (1854), Heine, Lipschitz , Schläfli y du Bois-Reymond . Entre otros contribuyentes destacados a la teoría de las series trigonométricas y de Fourier se encuentran Dini , Hermite , Halphen , Krause, Byerly y Appell .

Generalizaciones

Serie asintótica

Las series asintóticas , o expansiones asintóticas , son series infinitas cuyas sumas parciales se convierten en buenas aproximaciones en el límite de algún punto del dominio. En general no convergen, pero son útiles como secuencias de aproximaciones, cada una de las cuales proporciona un valor cercano a la respuesta deseada para un número finito de términos. La diferencia es que no se puede hacer que una serie asintótica produzca una respuesta tan exacta como se desea, como sí lo hacen las series convergentes. De hecho, después de un cierto número de términos, una serie asintótica típica alcanza su mejor aproximación; si se incluyen más términos, la mayoría de estas series producirán peores respuestas.

Serie divergente

En muchas circunstancias, es deseable asignar un límite a una serie que no converge en el sentido habitual. Un método de sumabilidad es una asignación de un límite a un subconjunto del conjunto de series divergentes que extiende adecuadamente la noción clásica de convergencia. Los métodos de sumabilidad incluyen la suma de Cesàro , la suma ( C , k ), la suma de Abel y la suma de Borel , en orden creciente de generalidad (y, por lo tanto, aplicables a series cada vez más divergentes).

Se conocen diversos resultados generales sobre posibles métodos de sumabilidad. El teorema de Silverman-Toeplitz caracteriza los métodos de sumabilidad de matrices , que son métodos para sumar una serie divergente aplicando una matriz infinita al vector de coeficientes. El método más general para sumar una serie divergente no es constructivo y se refiere a los límites de Banach .

Sumas sobre conjuntos de índices arbitrarios

Se pueden dar definiciones para sumas sobre un conjunto de índices arbitrario ^[16] Hay dos diferencias principales con la noción habitual de serie: primero, no hay un orden específico dado en el conjunto ; en segundo lugar, este conjunto puede ser incontable. Es necesario fortalecer la noción de convergencia, porque el concepto de convergencia condicional depende del orden del conjunto de índices. ${\displaystyle I.}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle I}$

Si es una función de un conjunto de índices a un conjunto, entonces la "serie" asociada es la suma formal de los elementos sobre los elementos del índice denotados por ${\displaystyle a:I\mapsto G}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle G,}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle a(x)\in G}$ ${\displaystyle x\in I}$

$${\displaystyle \sum _{x\in I}a(x).}$$

Cuando el conjunto de índices son los números naturales, la función es una secuencia denotada por Una serie indexada en los números naturales es una suma formal ordenada y por eso reescribimos como para enfatizar el orden inducido por los números naturales. Así, obtenemos la notación común para una serie indexada por los números naturales. ${\displaystyle I=\mathbb {N} ,}$ ${\displaystyle a:\mathbb {N} \mapsto G}$ ${\displaystyle a(n)=a_{n}.}$ ${\textstyle \sum _{n\in \mathbb {N} }}$ ${\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }}$

$${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}=a_{0}+a_{1}+a_{2}+\cdots .}$$

Familias de números no negativos.

Al sumar una familia de números reales no negativos, defina ${\displaystyle \left\{a_{i}:i\in I\right\}}$

$${\displaystyle \sum _{i\in I}a_{i}=\sup \left\{\sum _{i\in A}a_{i}\,:A\subseteq I,A{\text{ finite}}\right\}\in [0,+\infty ].}$$

Cuando el supremo es finito entonces el conjunto de los tales es contable. De hecho, para cada uno la cardinalidad del conjunto es finita porque ${\displaystyle i\in I}$ ${\displaystyle a_{i}>0}$ ${\displaystyle n\geq 1,}$ ${\displaystyle \left|A_{n}\right|}$ ${\displaystyle A_{n}=\left\{i\in I:a_{i}>1/n\right\}}$

$${\displaystyle {\frac {1}{n}}\,\left|A_{n}\right|=\sum _{i\in A_{n}}{\frac {1}{n}}\leq \sum _{i\in A_{n}}a_{i}\leq \sum _{i\in I}a_{i}<\infty .}$$

Si es infinitamente numerable y se enumera como entonces la suma definida anteriormente satisface ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle I=\left\{i_{0},i_{1},\ldots \right\}}$

$${\displaystyle \sum _{i\in I}a_{i}=\sum _{k=0}^{+\infty }a_{i_{k}},}$$

${\displaystyle \infty }$

Cualquier suma sobre reales no negativos puede entenderse como la integral de una función no negativa con respecto a la medida de conteo , lo que explica las muchas similitudes entre las dos construcciones.

Grupos topológicos abelianos

Sea un mapa, también denotado por desde algún conjunto no vacío en un grupo topológico abeliano de Hausdorff . Sea la colección de todos los subconjuntos finitos de with vistos como un conjunto dirigido , ordenados bajo inclusión con unión como unión . Se dice que la familia es incondicionalmente sumable si el siguiente límite , que se denota por y se llama suma de, existe en ${\displaystyle a:I\to X}$ ${\displaystyle \left(a_{i}\right)_{i\in I},}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle \operatorname {Finite} (I)}$ ${\displaystyle I,}$ ${\displaystyle \operatorname {Finite} (I)}$ ${\displaystyle \,\subseteq \,}$ ${\displaystyle \left(a_{i}\right)_{i\in I},}$ ${\displaystyle \sum _{i\in I}a_{i}}$ ${\displaystyle \left(a_{i}\right)_{i\in I},}$ ${\displaystyle X:}$

$${\displaystyle \sum _{i\in I}a_{i}:=\lim _{A\in \operatorname {Finite} (I)}\ \sum _{i\in A}a_{i}=\lim \left\{\sum _{i\in A}a_{i}\,:A\subseteq I,A{\text{ finite }}\right\}}$$

${\displaystyle S:=\sum _{i\in I}a_{i}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle A_{0}}$ ${\displaystyle I}$

$${\displaystyle S-\sum _{i\in A}a_{i}\in V\qquad {\text{ for every finite superset}}\;A\supseteq A_{0}.}$$

Debido a que no está totalmente ordenado , este no es un límite de una secuencia de sumas parciales, sino de un neto . ^{[17] [18]} ${\displaystyle \operatorname {Finite} (I)}$

Para cada vecindad del origen en hay una vecindad más pequeña tal que Se deduce que las sumas parciales finitas de una familia incondicionalmente sumable forman una red de Cauchy , es decir, para cada vecindad del origen en existe un subconjunto finito de tal que ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V-V\subseteq W.}$ ${\displaystyle \left(a_{i}\right)_{i\in I},}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle A_{0}}$ ${\displaystyle I}$

$${\displaystyle \sum _{i\in A_{1}}a_{i}-\sum _{i\in A_{2}}a_{i}\in W\qquad {\text{ for all finite supersets }}\;A_{1},A_{2}\supseteq A_{0},}$$

${\displaystyle a_{i}\in W}$ ${\displaystyle i\in I\setminus A_{0}}$ ${\displaystyle A_{1}:=A_{0}\cup \{i\}}$ ${\displaystyle A_{2}:=A_{0}}$

Cuando es completa , una familia es incondicionalmente sumable si y sólo si las sumas finitas satisfacen la última condición neta de Cauchy. Cuando está completo y es incondicionalmente sumable, entonces, para cada subconjunto, la subfamilia correspondiente también es incondicionalmente sumable en ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \left(a_{i}\right)_{i\in I}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \left(a_{i}\right)_{i\in I},}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle J\subseteq I,}$ ${\displaystyle \left(a_{j}\right)_{j\in J},}$ ${\displaystyle X.}$

Cuando la suma de una familia de números no negativos, en el sentido extendido definido antes, es finita, entonces coincide con la suma en el grupo topológico ${\displaystyle X=\mathbb {R} .}$

Si una familia in es incondicionalmente sumable, entonces para cada vecindad del origen in hay un subconjunto finito tal que para cada índice que no está en If es un primer espacio contable , entonces se deduce que el conjunto de tales que es contable. Esto no tiene por qué ser cierto en un grupo topológico abeliano general (ver ejemplos a continuación). ${\displaystyle \left(a_{i}\right)_{i\in I}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle A_{0}\subseteq I}$ ${\displaystyle a_{i}\in W}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle A_{0}.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle i\in I}$ ${\displaystyle a_{i}\neq 0}$

Series incondicionalmente convergentes

Supongamos que si una familia es incondicionalmente sumable en un grupo topológico abeliano de Hausdorff , entonces la serie en el sentido habitual converge y tiene la misma suma, ${\displaystyle I=\mathbb {N} .}$ ${\displaystyle a_{n},n\in \mathbb {N} ,}$ ${\displaystyle X,}$

$${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}=\sum _{n\in \mathbb {N} }a_{n}.}$$

Por naturaleza, la definición de sumabilidad incondicional es insensible al orden de la suma. Cuando es incondicionalmente sumable, entonces la serie permanece convergente después de cualquier permutación del conjunto de índices, con la misma suma, ${\displaystyle \sum a_{n}}$ ${\displaystyle \sigma :\mathbb {N} \to \mathbb {N} }$ ${\displaystyle \mathbb {N} }$

$${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{\sigma (n)}=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}.}$$

Por el contrario, si toda permutación de una serie converge, entonces la serie es incondicionalmente convergente. Cuando es completa , la convergencia incondicional también equivale al hecho de que todas las subseries son convergentes; Si es un espacio de Banach , esto equivale a decir que para cada secuencia de signos , la serie ${\displaystyle \sum a_{n}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \varepsilon _{n}=\pm 1}$

$${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }\varepsilon _{n}a_{n}}$$

converge en ${\displaystyle X.}$

Series en espacios vectoriales topológicos

Si es un espacio vectorial topológico (TVS) y es una familia (posiblemente incontable ), entonces esta familia es sumable ^[19] si el límite de la red existe en donde está el conjunto dirigido de todos los subconjuntos finitos de dirigidos por inclusión y ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \left(x_{i}\right)_{i\in I}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \lim _{A\in \operatorname {Finite} (I)}x_{A}}$ ${\displaystyle \left(x_{A}\right)_{A\in \operatorname {Finite} (I)}}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle \operatorname {Finite} (I)}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle \,\subseteq \,}$ ${\textstyle x_{A}:=\sum _{i\in A}x_{i}.}$

Se llama absolutamente sumable si además, por cada seminorma continua de la familia es sumable. Si es un espacio normal y si es una familia absolutamente sumable, entonces necesariamente todos menos una colección contable de son cero. Por lo tanto, en espacios normados, normalmente sólo es necesario considerar series con un número contable de términos. ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle \left(p\left(x_{i}\right)\right)_{i\in I}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \left(x_{i}\right)_{i\in I}}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle x_{i}}$

Las familias sumables juegan un papel importante en la teoría de los espacios nucleares .

Series en Banach y espacios seminormados

La noción de serie puede extenderse fácilmente al caso de un espacio seminormado . Si es una secuencia de elementos de un espacio normado y si entonces la serie converge a in si la secuencia de sumas parciales de la serie converge a in ; esto es, ${\displaystyle x_{n}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle \sum x_{n}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X}$ ${\textstyle \left(\sum _{n=0}^{N}x_{n}\right)_{N=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X}$

$${\displaystyle \left\|x-\sum _{n=0}^{N}x_{n}\right\|\to 0\quad {\text{ as }}N\to \infty .}$$

De manera más general, la convergencia de series se puede definir en cualquier grupo topológico abeliano de Hausdorff . Específicamente, en este caso, converge a si la secuencia de sumas parciales converge a ${\displaystyle \sum x_{n}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x.}$

Si es un espacio seminormado , entonces la noción de convergencia absoluta se convierte en: Una serie de vectores en converge absolutamente si ${\displaystyle (X,|\cdot |)}$ ${\textstyle \sum _{i\in I}x_{i}}$ ${\displaystyle X}$

$${\displaystyle \sum _{i\in I}\left|x_{i}\right|<+\infty }$$

en cuyo caso todos los valores, excepto muchos de ellos, son necesariamente cero. ${\displaystyle \left|x_{i}\right|}$

Si una serie contable de vectores en un espacio de Banach converge absolutamente, entonces converge incondicionalmente, pero lo contrario sólo se cumple en espacios de Banach de dimensión finita (teorema de Dvoretzky y Rogers (1950)).

sumas bien ordenadas

Se puede considerar una serie condicionalmente convergente si es un conjunto bien ordenado , por ejemplo, un número ordinal. En este caso, se define por recursividad transfinita : ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle \alpha _{0}.}$

$${\displaystyle \sum _{\beta <\alpha +1}a_{\beta }=a_{\alpha }+\sum _{\beta <\alpha }a_{\beta }}$$

y para un límite ordinal ${\displaystyle \alpha ,}$

$${\displaystyle \sum _{\beta <\alpha }a_{\beta }=\lim _{\gamma \to \alpha }\sum _{\beta <\gamma }a_{\beta }}$$

si este límite existe. Si todos los límites existen hasta entonces la serie converge. ${\displaystyle \alpha _{0},}$

Ejemplos

1. Dada una función en un grupo topológico abeliano, defina para cada ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle a\in X,}$
   $${\displaystyle f_{a}(x)={\begin{cases}0&x\neq a,\\f(a)&x=a,\\\end{cases}}}$$

   una función cuyo soporte es un singleton Entonces ${\displaystyle \{a\}.}$

   $${\displaystyle f=\sum _{a\in X}f_{a}}$$

   en la topología de convergencia puntual (es decir, la suma se toma en el grupo de productos infinito ). ${\displaystyle Y^{X}}$

2. En la definición de particiones de la unidad , se construyen sumas de funciones sobre un conjunto de índices arbitrarios. ${\displaystyle I,}$
   $${\displaystyle \sum _{i\in I}\varphi _{i}(x)=1.}$$

   Si bien, formalmente, esto requiere una noción de sumas de series incontables, por construcción, para cada dado sólo hay un número finito de términos distintos de cero en la suma, por lo que no surgen problemas relacionados con la convergencia de tales sumas. En realidad, normalmente se supone más: la familia de funciones es localmente finita , es decir, para cada existe una vecindad de en la que todas las funciones, excepto un número finito, desaparecen. Cualquier propiedad de regularidad, como la continuidad y la diferenciabilidad, que se conserva en sumas finitas se conservará para la suma de cualquier subcolección de esta familia de funciones. ${\displaystyle x,}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \varphi _{i},}$

3. En el primer ordinal incontable visto como un espacio topológico en la topología del orden , la función constante dada por satisface ${\displaystyle \omega _{1}}$ ${\displaystyle f:\left[0,\omega _{1}\right)\to \left[0,\omega _{1}\right]}$ ${\displaystyle f(\alpha )=1}$
   $${\displaystyle \sum _{\alpha \in [0,\omega _{1})}f(\alpha )=\omega _{1}}$$

   (en otras palabras, las copias de 1 son ) sólo si se toma un límite para todas las sumas parciales contables , en lugar de sumas parciales finitas. Este espacio no es separable. ${\displaystyle \omega _{1}}$ ${\displaystyle \omega _{1}}$

Ver también

• fracción continua
• Pruebas de convergencia
• Serie convergente
• Serie divergente
• Composiciones infinitas de funciones analíticas.
• expresión infinita
• producto infinito
• Operación binaria iterada
• Lista de series matemáticas
• Suma de prefijo
• Transformación de secuencia
• Expansión de la serie

Referencias

1. Thompson, Silvano ; Gardner, Martín (1998). Cálculo simplificado. ISBN 978-0-312-18548-0.
2. Weisstein, Eric W. "Serie". mathworld.wolfram.com . Consultado el 30 de agosto de 2020 .
3. Swokowski 1983, pag. 501
4. Michael Spivak, Cálculo
5. "Serie Infinita". www.mathsisfun.com . Consultado el 30 de agosto de 2020 .
6. Gasper, G., Rahman, M. (2004). Series hipergeométricas básicas. Prensa de la Universidad de Cambridge .
7. Términos positivos y negativos: series alternas
8. Johansson, F. (2016). Calcular rigurosamente funciones hipergeométricas. Preimpresión de arXiv arXiv:1606.06977.
9. Higham, Nueva Jersey (2008). Funciones de matrices: teoría y computación. Sociedad de Matemática Industrial y Aplicada .
10. Higham, Nueva Jersey (2009). Revisión del método de escalado y cuadratura para la matriz exponencial. Revisión SIAM, 51(4), 747-764.
11. Cómo y cómo no calcular el exponencial de una matriz
12. Nicolas Bourbaki (1989), Álgebra , Springer: §III.2.11.
13. O'Connor, JJ y Robertson, EF (febrero de 1996). "Una historia del cálculo". Universidad de San Andrés . Consultado el 7 de agosto de 2007 .
14. K., Bidwell, James (30 de noviembre de 1993). "Arquímedes y Pi-Revisitados". Escuela de Ciencias y Matemáticas . 94 (3).{{cite journal}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
15. "Los indios fueron anteriores al 'descubrimiento' de Newton en 250 años". manchester.ac.uk .
16. Jean Dieudonné, Fundamentos del análisis matemático , Academic Press
17. Bourbaki, Nicolás (1998). Topología general: capítulos 1 a 4 . Saltador. págs. 261-270. ISBN 978-3-540-64241-1.
18. Choquet, Gustave (1966). Topología . Prensa académica. págs. 216-231. ISBN 978-0-12-173450-3.
19. Schaefer y Wolff 1999, págs. 179-180.

Bibliografía

• Bromwich, TJ Introducción a la teoría de las series infinitas MacMillan & Co. 1908, revisado en 1926, reimpreso en 1939, 1942, 1949, 1955, 1959, 1965.
• Dvoretzky, Aryeh; Rogers, C. Ambrose (1950). "Convergencia absoluta e incondicional en espacios lineales normados". Proc. Nacional. Acad. Ciencia. EE.UU . 36 (3): 192-197. Código bibliográfico : 1950PNAS...36..192D. doi : 10.1073/pnas.36.3.192 . PMC  1063182 . PMID  16588972.
• Narici, Lorenzo; Beckenstein, Eduardo (2011). Espacios vectoriales topológicos . Matemática pura y aplicada (Segunda ed.). Boca Ratón, FL: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC  144216834.
• Swokowski, Earl W. (1983), Cálculo con geometría analítica (edición alternativa), Boston: Prindle, Weber & Schmidt, ISBN 978-0-87150-341-1
• Walter Rudin, Principios del análisis matemático (McGraw-Hill: Nueva York, 1964).
• Pietsch, Albrecht (1972). Espacios nucleares localmente convexos . Berlín, Nueva York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-05644-0. OCLC  539541.
• Robertson, AP (1973). Espacios vectoriales topológicos . Cambridge Inglaterra: University Press. ISBN 0-521-29882-2. OCLC  589250.
• Ryan, Raymond (2002). Introducción a los productos tensoriales de los espacios de Banach . Londres Nueva York: Springer. ISBN 1-85233-437-1. OCLC  48092184.
• Schaefer, Helmut H .; Wolff, Manfred P. (1999). Espacios vectoriales topológicos . GTM . vol. 8 (Segunda ed.). Nueva York, NY: Springer Nueva York Pie de imprenta Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC  840278135.
• Trèves, François (2006) [1967]. Espacios vectoriales topológicos, distribuciones y núcleos . Mineola, Nueva York: Publicaciones de Dover. ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC  853623322.
• Wang (1979). Espacios de Schwartz, espacios nucleares y productos tensoriales . Berlín Nueva York: Springer-Verlag. ISBN 3-540-09513-6. OCLC  5126158.

Señor 0033975

enlaces externos

• "Serie", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Tutorial de la serie infinita
• "Serie-TheBasics". Notas de matemáticas en línea de Paul.
• "Colección de series Muéstrame" (PDF) . Leslie Verde.