Expresión infinita

En matemáticas , una expresión infinita es una expresión en la que algunos operadores toman un número infinito de argumentos , o en la que la anidación de los operadores continúa hasta una profundidad infinita. ^[1] Un concepto genérico para expresión infinita puede conducir a construcciones mal definidas o autoinconsistentes (muy similar a un conjunto de todos los conjuntos ), pero hay varias instancias de expresiones infinitas que están bien definidas.

Ejemplos

Ejemplos de expresiones infinitas bien definidas son ^[2]

• sumas infinitas , como

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}=a_{0}+a_{1}+a_{2}+\cdots \,}$

• productos infinitos , tales como

${\displaystyle \prod _{n=0}^{\infty }b_{n}=b_{0}\times b_{1}\times b_{2}\times \cdots }$

• radicales anidados infinitos , como

${\displaystyle {\sqrt {1+2{\sqrt {1+3{\sqrt {1+\cdots }}}}}}}$

• torres de energía infinitas , ^[3] como

${\displaystyle {\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot }}}}}}$

• fracciones continuas infinitas , como

${\displaystyle c_{0}+{\underset {n=1}{\overset {\infty }{\mathrm {K} }}}{\frac {1}{c_{n}}}=c_{0}+{\cfrac {1}{c_{1}+{\cfrac {1}{c_{2}+{\cfrac {1}{c_{3}+{\cfrac {1}{c_{4}+\ddots }}}}}}}},}$

donde el lado izquierdo utiliza la notación Kettenbruch de Gauss . ^[4]

En lógica infinitaria se pueden utilizar conjunciones infinitas y disyunciones infinitas .

Incluso para expresiones infinitas bien definidas, el valor de la expresión infinita puede ser ambiguo o no estar bien definido; por ejemplo, hay múltiples reglas de suma disponibles para asignar valores a series, y la misma serie puede tener valores diferentes según diferentes reglas de suma si la serie no es absolutamente convergente .

Véase también

• Operación binaria iterada
• Palabra infinita
• Expansión decimal
• Serie de potencias
• Composiciones infinitas de funciones analíticas
• Lenguaje omega

Referencias

1. Helmer, Olaf (enero de 1938). "La sintaxis de un lenguaje con infinitas expresiones". Boletín de la American Mathematical Society (resumen). 44 (1): 33–34. doi : 10.1090/S0002-9904-1938-06672-4 . ISSN  0002-9904. OCLC  5797393..
2. Euler, Leonhard (1 de noviembre de 1988). Introducción al análisis del infinito, libro I (tapa dura). JD Blanton (traductor). Springer Verlag. p. 303. ISBN 978-0-387-96824-7.
3. Moroni, Luca (2019). "Las extrañas propiedades de la torre de potencia infinita". arXiv : 1908.05559 [math.HO].
4. Wall, Hubert Stanley (28 de marzo de 2000). Teoría analítica de fracciones continuas (tapa dura). American Mathematical Society. pág. 14. ISBN 978-0-8218-2106-0.