prueba del término n

Prueba de la divergencia de una serie infinita

En matemáticas , la prueba del término n ^{para la divergencia [1]} es una prueba simple para la divergencia de una serie infinita :

Si o si el límite no existe, entonces diverge. ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}\neq 0}$ ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$

Muchos autores no nombran esta prueba o le dan un nombre más corto. ^[2]

Al probar si una serie converge o diverge, esta prueba suele realizarse primero debido a su facilidad de uso.

En el caso del análisis p-ádico, el término prueba es una condición necesaria y suficiente para la convergencia debido a la desigualdad del triángulo no arquimediano.

Uso

A diferencia de las pruebas de convergencia más fuertes , el término prueba no puede demostrar por sí mismo que una serie converge . En particular, la inversa de la prueba no es cierta; en cambio, todo lo que se puede decir es:

Si entonces puede o no converger. En otras palabras, si la prueba no es concluyente. ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=0,}$ ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$ ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=0,}$

La serie armónica es un ejemplo clásico de una serie divergente cuyos términos se limitan a cero. ^[3] La clase más general de p -series ,

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{p}}},}$

ejemplifica los posibles resultados de la prueba:

• Si p ≤ 0, entonces el término prueba identifica la serie como divergente.
• Si 0 < p ≤ 1, entonces la prueba del término no es concluyente, pero la serie es divergente según la prueba integral de convergencia .
• Si 1 < p , entonces la prueba del término no es concluyente, pero la serie es convergente, nuevamente mediante la prueba integral de convergencia.

Pruebas

La prueba se suele demostrar en forma contrapositiva :

Si converge, entonces ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$ ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=0.}$

Limitar la manipulación

Si s _n son las sumas parciales de la serie, entonces el supuesto de que la serie converge significa que

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }s_{n}=L}$

para algún número L . Entonces ^[4]

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=\lim _{n\to \infty }(s_{n}-s_{n-1})=\lim _{n\to \infty }s_{n}-\lim _{n\to \infty }s_{n-1}=L-L=0.}$

Criterio de Cauchy

La suposición de que la serie converge significa que pasa la prueba de convergencia de Cauchy : para cada hay un número N tal que ${\displaystyle \varepsilon >0}$

${\displaystyle \left|a_{n+1}+a_{n+2}+\cdots +a_{n+p}\right|<\varepsilon }$

se cumple para todos los n > N y p ≥ 1. Al establecer p = 1 se recupera la definición de la afirmación ^[5]

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=0.}$

Alcance

La versión más simple del término prueba se aplica a series infinitas de números reales . Las dos pruebas anteriores, invocando el criterio de Cauchy o la linealidad del límite, también funcionan en cualquier otro espacio vectorial normado ^[6] (o cualquier grupo abeliano (escrito de forma aditiva)).

Notas

1. Kaczor pág. 336
2. Por ejemplo, Rudin (p. 60) sólo enuncia la forma contrapositiva y no la nombra. Brabenec (p. 156) la llama simplemente la prueba del término n . Stewart (p. 709) la llama la prueba de divergencia .
3. Rudin pág. 60
4. Brabenec p.156; Stewart p.709
5. Rudin (pp.59-60) utiliza esta idea de prueba, comenzando con una declaración diferente del criterio de Cauchy.
6. Hansen pág. 55; Şuhubi pág. 375

Referencias

• Brabenec, Robert (2005). Recursos para el estudio del análisis real . MAA. ISBN 0883857375.
• Hansen, Vagn Lundsgaard (2006). Análisis funcional: ingreso al espacio de Hilbert . Científico mundial. ISBN 9812565639.
• Kaczor, Wiesława y Maria Nowak (2003). Problemas en el análisis matemático . Sociedad Matemática Americana. ISBN 0821820508.
• Rudin, Walter (1976) [1953]. Principios del análisis matemático (3.ª ed.). McGraw-Hill. ISBN 0-07-054235-X.
• Stewart, James (1999). Cálculo: trascendentales tempranos (4.ª ed.). Brooks/Cole. ISBN 0-534-36298-2.
• Șuhubi, Erdoğan S. (2003). Análisis funcional . Springer. ISBN 1402016166.