Suma por partes

Teorema para simplificar sumas de productos de sucesiones

En matemáticas , la suma por partes transforma la suma de productos de sucesiones en otras sumas, simplificando a menudo el cálculo o (especialmente) la estimación de ciertos tipos de sumas. También se denomina lema de Abel o transformación de Abel , en honor a Niels Henrik Abel, quien la introdujo en 1826. ^[1]

Declaración

Supongamos que y son dos secuencias . Entonces, ${\displaystyle \{f_{k}\}}$ ${\displaystyle \{g_{k}\}}$

${\displaystyle \sum _{k=m}^{n}f_{k}(g_{k+1}-g_{k})=\left(f_{n+1}g_{n+1}-f_{m}g_{m}\right)-\sum _{k=m}^{n}g_{k+1}(f_{k+1}-f_{k}).}$

Usando el operador de diferencia hacia adelante , se puede expresar de manera más sucinta como ${\displaystyle \Delta }$

${\displaystyle \sum _{k=m}^{n}f_{k}\Delta g_{k}=\left(f_{n+1}g_{n+1}-f_{m}g_{m}\right)-\sum _{k=m}^{n}g_{k+1}\Delta f_{k},}$

La suma por partes es análoga a la integración por partes :

${\displaystyle \int f\,dg=fg-\int g\,df,}$

o a la fórmula de suma de Abel :

${\displaystyle \sum _{k=m+1}^{n}f(k)(g_{k}-g_{k-1})=\left(f(n)g_{n}-f(m)g_{m}\right)-\int _{m}^{n}g_{\lfloor t\rfloor }f'(t)dt.}$

Una declaración alternativa es

${\displaystyle f_{n}g_{n}-f_{m}g_{m}=\sum _{k=m}^{n-1}f_{k}\Delta g_{k}+\sum _{k=m}^{n-1}g_{k}\Delta f_{k}+\sum _{k=m}^{n-1}\Delta f_{k}\Delta g_{k}}$

que es análoga a la fórmula de integración por partes para semimartingalas .

Aunque las aplicaciones casi siempre tratan de la convergencia de secuencias, la afirmación es puramente algebraica y funcionará en cualquier campo . También funcionará cuando una secuencia esté en un espacio vectorial y la otra en el campo relevante de escalares.

Serie de Newton

La fórmula a veces se da en una de estas formas (ligeramente diferentes):

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{k=0}^{n}f_{k}g_{k}&=f_{0}\sum _{k=0}^{n}g_{k}+\sum _{j=0}^{n-1}(f_{j+1}-f_{j})\sum _{k=j+1}^{n}g_{k}\\&=f_{n}\sum _{k=0}^{n}g_{k}-\sum _{j=0}^{n-1}\left(f_{j+1}-f_{j}\right)\sum _{k=0}^{j}g_{k},\end{aligned}}}$

que representan un caso especial ( ) de la regla más general ${\displaystyle M=1}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{k=0}^{n}f_{k}g_{k}&=\sum _{i=0}^{M-1}f_{0}^{(i)}G_{i}^{(i+1)}+\sum _{j=0}^{n-M}f_{j}^{(M)}G_{j+M}^{(M)}=\\&=\sum _{i=0}^{M-1}\left(-1\right)^{i}f_{n-i}^{(i)}{\tilde {G}}_{n-i}^{(i+1)}+\left(-1\right)^{M}\sum _{j=0}^{n-M}f_{j}^{(M)}{\tilde {G}}_{j}^{(M)};\end{aligned}}}$

Ambos resultan de la aplicación iterativa de la fórmula inicial. Las magnitudes auxiliares son series de Newton :

${\displaystyle f_{j}^{(M)}:=\sum _{k=0}^{M}\left(-1\right)^{M-k}{M \choose k}f_{j+k}}$

y

${\displaystyle G_{j}^{(M)}:=\sum _{k=j}^{n}{k-j+M-1 \choose M-1}g_{k},}$

${\displaystyle {\tilde {G}}_{j}^{(M)}:=\sum _{k=0}^{j}{j-k+M-1 \choose M-1}g_{k}.}$

Un resultado particular ( ) es la identidad ${\displaystyle M=n+1}$

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}f_{k}g_{k}=\sum _{i=0}^{n}f_{0}^{(i)}G_{i}^{(i+1)}=\sum _{i=0}^{n}(-1)^{i}f_{n-i}^{(i)}{\tilde {G}}_{n-i}^{(i+1)}.}$

Aquí está el coeficiente binomial . ${\textstyle {n \choose k}}$

Método

Para dos secuencias dadas y , con , se quiere estudiar la suma de la siguiente serie: ${\displaystyle (a_{n})}$ ${\displaystyle (b_{n})}$ ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ $${\displaystyle S_{N}=\sum _{n=0}^{N}a_{n}b_{n}}$$

Si definimos entonces para cada y ${\textstyle \displaystyle B_{n}=\sum _{k=0}^{n}b_{k},}$ ${\displaystyle n>0,}$ ${\displaystyle b_{n}=B_{n}-B_{n-1}}$ $${\displaystyle S_{N}=a_{0}b_{0}+\sum _{n=1}^{N}a_{n}(B_{n}-B_{n-1}),}$$ $${\displaystyle S_{N}=a_{0}b_{0}-a_{1}B_{0}+a_{N}B_{N}+\sum _{n=1}^{N-1}B_{n}(a_{n}-a_{n+1}).}$$

Finalmente ${\textstyle \displaystyle S_{N}=a_{N}B_{N}-\sum _{n=0}^{N-1}B_{n}(a_{n+1}-a_{n}).}$

Este proceso, llamado transformación de Abel, se puede utilizar para demostrar varios criterios de convergencia para . ${\displaystyle S_{N}}$

Similitud con una integración por partes

La fórmula para una integración por partes es . ${\textstyle \displaystyle \int _{a}^{b}f(x)g'(x)\,dx=\left[f(x)g(x)\right]_{a}^{b}-\int _{a}^{b}f'(x)g(x)\,dx}$

Además de las condiciones de contorno , observamos que la primera integral contiene dos funciones multiplicadas, una que se integra en la integral final ( se convierte en ) y una que se diferencia ( se convierte en ). ${\displaystyle g'}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f'}$

El proceso de la transformación de Abel es similar, ya que una de las dos secuencias iniciales se suma ( se convierte en ) y la otra se diferencia ( se convierte en ). ${\displaystyle b_{n}}$ ${\displaystyle B_{n}}$ ${\displaystyle a_{n}}$ ${\displaystyle a_{n+1}-a_{n}}$

Aplicaciones

• Se utiliza para demostrar el lema de Kronecker , que a su vez, se utiliza para demostrar una versión de la ley fuerte de grandes números bajo restricciones de varianza .
• Puede usarse para demostrar el teorema de Nicómaco de que la suma de los primeros cubos es igual al cuadrado de la suma de los primeros números enteros positivos. ^[2] ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$
• La suma por partes se utiliza con frecuencia para demostrar el teorema de Abel y la prueba de Dirichlet .
• También se puede utilizar esta técnica para demostrar la prueba de Abel : si es una serie convergente y una secuencia monótona acotada , entonces converge. ${\textstyle \sum _{n}b_{n}}$ ${\displaystyle a_{n}}$ ${\textstyle S_{N}=\sum _{n=0}^{N}a_{n}b_{n}}$

Prueba de la prueba de Abel. La suma por partes da donde a es el límite de . Como es convergente, está acotado independientemente de , digamos por . Como tiende a cero, también lo hacen los dos primeros términos. El tercer término tiende a cero por el criterio de Cauchy para . La suma restante está acotada por la monotonía de , y también tiende a cero cuando . $${\displaystyle {\begin{aligned}S_{M}-S_{N}&=a_{M}B_{M}-a_{N}B_{N}-\sum _{n=N}^{M-1}B_{n}(a_{n+1}-a_{n})\\&=(a_{M}-a)B_{M}-(a_{N}-a)B_{N}+a(B_{M}-B_{N})-\sum _{n=N}^{M-1}B_{n}(a_{n+1}-a_{n}),\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle a_{n}}$ ${\textstyle \sum _{n}b_{n}}$ ${\displaystyle B_{N}}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle a_{n}-a}$ ${\textstyle \sum _{n}b_{n}}$ $${\displaystyle \sum _{n=N}^{M-1}|B_{n}||a_{n+1}-a_{n}|\leq B\sum _{n=N}^{M-1}|a_{n+1}-a_{n}|=B|a_{N}-a_{M}|}$$ ${\displaystyle a_{n}}$ ${\displaystyle N\to \infty }$

Utilizando la misma prueba que anteriormente, se puede demostrar que si

1. las sumas parciales forman una secuencia acotada independientemente de ; ${\displaystyle B_{N}}$ ${\displaystyle N}$
2. ${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }|a_{n+1}-a_{n}|<\infty }$(para que la suma tienda a cero y tienda a infinito) ${\displaystyle \sum _{n=N}^{M-1}|a_{n+1}-a_{n}|}$ ${\displaystyle N}$
3. ${\displaystyle \lim a_{n}=0}$

Luego converge. ${\textstyle S_{N}=\sum _{n=0}^{N}a_{n}b_{n}}$

En ambos casos, la suma de la serie satisface: $${\displaystyle |S|=\left|\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}b_{n}\right|\leq B\sum _{n=0}^{\infty }|a_{n+1}-a_{n}|.}$$

Operadores de suma por partes para métodos de diferencias finitas de orden superior

Un operador de diferencia finita de suma por partes (SBP) consiste convencionalmente en un esquema interior de diferencia centrada y plantillas de contorno específicas que imitan los comportamientos de la formulación de integración por partes correspondiente. ^{[3] [4]} Las condiciones de contorno suelen imponerse mediante la técnica de Término de Aproximación Simultánea (SAT). ^[5] La combinación de SBP-SAT es un marco poderoso para el tratamiento de contornos. El método es preferido por su estabilidad bien probada para la simulación a largo plazo y un alto orden de precisión.

Véase también

• Serie convergente
• Serie divergente
• Integración por partes
• Resumen de Cesáro
• Teorema de Abel
• Fórmula de la suma de Abel

Referencias

1. Chu, Wenchang (2007). "Lema de Abel sobre suma por partes y series hipergeométricas básicas". Avances en Matemáticas Aplicadas . 39 (4): 490–514. doi : 10.1016/j.aam.2007.02.001 .
2. Edmonds, Sheila M. (1957). "Sumas de potencias de los números naturales". The Mathematical Gazette . 41 (337): 187–188. doi :10.2307/3609189. JSTOR  3609189. MR  0096615.
3. Strand, Bo (enero de 1994). "Suma por partes para aproximaciones de diferencias finitas para d/dx". Journal of Computational Physics . 110 (1): 47–67. doi :10.1006/jcph.1994.1005.
4. Mattsson, Ken; Nordström, Jan (septiembre de 2004). "Operadores de suma por partes para aproximaciones de diferencias finitas de derivadas segundas". Journal of Computational Physics . 199 (2): 503–540. doi :10.1016/j.jcp.2004.03.001.
5. Carpenter, Mark H.; Gottlieb, David; Abarbanel, Saul (abril de 1994). "Condiciones de contorno estables en el tiempo para esquemas de diferencias finitas que resuelven sistemas hiperbólicos: metodología y aplicación a esquemas compactos de alto orden". Journal of Computational Physics . 111 (2): 220–236. CiteSeerX 10.1.1.465.603 . doi :10.1006/jcph.1994.1057. 

Bibliografía

• Abel, Niels Henrik (1826). "Untersuchungen über die Reihe usw". J. Reina Angew. Matemáticas. 1 : 311–339. ${\displaystyle 1+{\frac {m}{x}}+{\frac {m\cdot (m-1)}{2\cdot 1}}x^{2}+{\frac {m\cdot (m-1)\cdot (m-2)}{3\cdot 2\cdot 1}}x^{3}+\ldots }$