Lema de Kronecker

En matemáticas , el lema de Kronecker (ver, por ejemplo, Shiryaev (1996, Lema IV.3.2)) es un resultado sobre la relación entre la convergencia de sumas infinitas y la convergencia de secuencias. El lema se utiliza a menudo en las pruebas de teoremas relativos a sumas de variables aleatorias independientes, como la ley fuerte de los grandes números . El lema lleva el nombre del matemático alemán Leopold Kronecker .

el lema

Si es una sucesión infinita de números reales tal que ${\displaystyle (x_{n})_{n=1}^{\infty }}$

${\displaystyle \sum _{m=1}^{\infty }x_{m}=s}$

existe y es finito, entonces tenemos para todos y eso ${\displaystyle 0<b_{1}\leq b_{2}\leq b_{3}\leq \ldots }$ ${\displaystyle b_{n}\to \infty }$

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {1}{b_{n}}}\sum _{k=1}^{n}b_{k}x_{k}=0.}$

Prueba

Denotemos las sumas parciales de las x . Usando suma por partes , ${\displaystyle S_{k}}$

${\displaystyle {\frac {1}{b_{n}}}\sum _{k=1}^{n}b_{k}x_{k}=S_{n}-{\frac {1}{b_{n}}}\sum _{k=1}^{n-1}(b_{k+1}-b_{k})S_{k}}$

Elija cualquier ε > 0. Ahora elija N para que sea ε -cerca de s para k > N. Esto se puede hacer cuando la secuencia converge a s . Entonces el lado derecho es: ${\displaystyle S_{k}}$ ${\displaystyle S_{k}}$

${\displaystyle S_{n}-{\frac {1}{b_{n}}}\sum _{k=1}^{N-1}(b_{k+1}-b_{k})S_{k}-{\frac {1}{b_{n}}}\sum _{k=N}^{n-1}(b_{k+1}-b_{k})S_{k}}$

${\displaystyle =S_{n}-{\frac {1}{b_{n}}}\sum _{k=1}^{N-1}(b_{k+1}-b_{k})S_{k}-{\frac {1}{b_{n}}}\sum _{k=N}^{n-1}(b_{k+1}-b_{k})s-{\frac {1}{b_{n}}}\sum _{k=N}^{n-1}(b_{k+1}-b_{k})(S_{k}-s)}$

${\displaystyle =S_{n}-{\frac {1}{b_{n}}}\sum _{k=1}^{N-1}(b_{k+1}-b_{k})S_{k}-{\frac {b_{n}-b_{N}}{b_{n}}}s-{\frac {1}{b_{n}}}\sum _{k=N}^{n-1}(b_{k+1}-b_{k})(S_{k}-s).}$

Ahora, vayamos n al infinito. El primer término va a s , que se cancela con el tercer término. El segundo término va a cero (ya que la suma es un valor fijo). Como la secuencia b es creciente, el último término está acotado por . ${\displaystyle \epsilon (b_{n}-b_{N})/b_{n}\leq \epsilon }$

Referencias

• Shiryaev, Albert N. (1996). Probabilidad (2ª ed.). Saltador. ISBN 0-387-94549-0.