Tipo de convergencia matemática en topología
En matemáticas, la convergencia compacta (o convergencia uniforme en conjuntos compactos ) es un tipo de convergencia que generaliza la idea de convergencia uniforme . Está asociada a la topología compacta-abierta .
Definición
Sea un espacio topológico y un espacio métrico . Una secuencia de funciones
- ,
se dice que converge de forma compacta respecto a alguna función si, para cada conjunto compacto ,
uniformemente como . Esto significa que para todos los compactos ,
Ejemplos
- Si y con sus topologías habituales, con , entonces converge de forma compacta a la función constante con valor 0, pero no de manera uniforme.
- Si , y , entonces converge puntualmente a la función que es cero en y uno en , pero la secuencia no converge de manera compacta.
- Una herramienta muy poderosa para demostrar la convergencia compacta es el teorema de Arzelà–Ascoli . Existen varias versiones de este teorema; en términos generales, establece que cada secuencia de funciones equicontinuas y uniformemente acotadas tiene una subsecuencia que converge de manera compacta a alguna función continua.
Propiedades
- Si es uniforme, entonces compacto.
- Si es un espacio compacto y de manera compacta, entonces de manera uniforme.
- Si es un espacio localmente compacto , entonces es compacto si y sólo si es localmente uniforme.
- Si es un espacio generado de forma compacta , de forma compacta, y cada uno es continuo , entonces es continuo.
Véase también
Referencias