donde están los términos de la serie, y establece que la serie converge absolutamente si esta cantidad es menor que uno, pero diverge si es mayor que uno. Es particularmente útil en relación con series de potencias .
Explicación de la prueba de raíz
Diagrama de decisión para la prueba de raíz.
La prueba de la raíz fue desarrollada por primera vez por Augustin-Louis Cauchy , quien la publicó en su libro de texto Cours d'analyse (1821). [1] Por lo tanto, a veces se la conoce como prueba de la raíz de Cauchy o prueba radical de Cauchy . para una serie
la prueba de raíz usa el número
donde "lim sup" denota el límite superior , posiblemente +∞. Tenga en cuenta que si
converge entonces es igual a C y en su lugar puede usarse en la prueba de raíz.
donde los coeficientes c n y el centro p son números complejos y el argumento z es una variable compleja.
Los términos de esta serie estarían entonces dados por a n = c n ( z − p ) n . Luego se aplica la prueba de la raíz a an como se indicó anteriormente. Tenga en cuenta que a veces una serie como esta se denomina serie de potencias "alrededor de p ", porque el radio de convergencia es el radio R del intervalo o disco más grande centrado en p tal que la serie convergerá para todos los puntos z estrictamente en el interior ( la convergencia en el límite del intervalo o disco generalmente debe comprobarse por separado). Un corolario de la prueba de la raíz aplicada a dicha serie de potencias es el teorema de Cauchy-Hadamard : el radio de convergencia es exactamente teniendo en cuenta que realmente queremos decir ∞ si el denominador es 0.
Prueba
La prueba de la convergencia de una serie Σ a n es una aplicación del criterio de comparación . Si para todo n ≥ N ( N algún número natural fijo ) tenemos , entonces . Dado que la serie geométrica converge, también lo hace según la prueba de comparación. Por tanto Σ an converge absolutamente.
Si para una cantidad infinita de n , entonces an no converge a 0, por lo que la serie es divergente .
Prueba del corolario : Para una serie de potencias Σ a n = Σ c n ( z − p ) n , vemos por lo anterior que la serie converge si existe un N tal que para todo n ≥ N tenemos
equivalente a
para todo n ≥ N , lo que implica que para que la serie converja debemos tener para todo n suficientemente grande . Esto equivale a decir
Así que ahora el único otro lugar donde la convergencia es posible es cuando
(ya que los puntos > 1 divergirán) y esto no cambiará el radio de convergencia ya que estos son solo los puntos que se encuentran en el límite del intervalo o disco, por lo que
Ejemplos
Ejemplo 1:
Aplicando la prueba de la raíz y utilizando el hecho de que
Dado que la serie diverge. [2]
Ejemplo 2:
La prueba de la raíz muestra convergencia porque
Este ejemplo muestra cómo la prueba de raíz es más fuerte que la prueba de razón . La prueba de razón no es concluyente para esta serie si es impar (aunque no si es par), porque
Jerarquía de pruebas raíz
La jerarquía de pruebas de raíz [3] [4] se construye de manera similar a la jerarquía de pruebas de relación (consulte la Sección 4.1 de la prueba de relación , y más específicamente la Subsección 4.1.4 allí).
Para una serie con términos positivos tenemos las siguientes pruebas de convergencia/divergencia.
Sea un número entero y denotemos el iterado del logaritmo natural , es decir, y para cualquiera ,.
Supongamos que , cuando es grande, se puede presentar en la forma
^ Bottazzini, Umberto (1986), El cálculo superior: una historia del análisis real y complejo desde Euler hasta Weierstrass, Springer-Verlag, págs. 116-117, ISBN 978-0-387-96302-0. Traducido del italiano por Warren Van Egmond.
^ Abramov, Vyacheslav M. (2022). «Condiciones necesarias y suficientes para la convergencia de series positivas» (PDF) . Revista de análisis clásico . 19 (2): 117--125. arXiv : 2104.01702 . doi :10.7153/jca-2022-19-09.
^ Bourchtein, Ludmila; Bourchtein, Andréi; Nornberg, Gabrielle; Venzke, Cristiane (2012). "Una jerarquía de pruebas de convergencia relacionadas con la prueba de Cauchy" (PDF) . Revista Internacional de Análisis Matemático . 6 (37--40): 1847--1869.
Knopp, Konrad (1956). "§3.2". Secuencias y Series Infinitas . Publicaciones de Dover, Inc., Nueva York. ISBN 0-486-60153-6.
Whittaker, ET y Watson, GN (1963). "§ 2.35". Un curso de análisis moderno (cuarta ed.). Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 0-521-58807-3.