Variable (matemáticas)

Símbolo que representa un objeto matemático

En matemáticas , una variable (del latín variabilis , "variable") es un símbolo , típicamente una letra, que ocupa un lugar para constantes , a menudo números. ^{[1] [2] [3] [4] [5] [6]} Se dice coloquialmente que la variable representa o denota el objeto, y que el objeto es el valor de la variable.

Originalmente, el término "variable" se utilizaba principalmente para el argumento de una función , en cuyo caso su valor puede variar en el dominio de la función . Esta es la motivación para la elección del término. Además, las variables se utilizan para denotar valores de funciones, como y en ${\displaystyle y=f(x).}$

Una variable puede representar un número indeterminado que permanece fijo durante la resolución de un problema; en cuyo caso, a menudo se la llama parámetro . Una variable puede denotar un número desconocido que debe determinarse; en cuyo caso, se la llama incógnita ; por ejemplo, en la ecuación cuadrática las variables son parámetros y es la incógnita. ${\displaystyle ax^{2}+bx+c=0,}$ ${\displaystyle a,b,c}$ ${\displaystyle x}$

A veces, el mismo símbolo puede utilizarse para denotar tanto una variable como una constante , es decir, un objeto matemático bien definido. Por ejemplo, la letra griega π generalmente representa el número π , pero también se ha utilizado para denotar una proyección . De manera similar, la letra e a menudo denota el número de Euler , pero se ha utilizado para denotar un coeficiente no asignado para una función cuártica y polinomios de grado superior . Incluso el símbolo ⁠ ⁠ ${\displaystyle 1}$ se ha utilizado para denotar un elemento identidad de un cuerpo arbitrario . Estas dos nociones se utilizan casi de forma idéntica, por lo tanto, normalmente se debe saber si un símbolo dado denota una variable o una constante. ^[7]

Las variables se utilizan a menudo para representar matrices , funciones , sus argumentos, conjuntos y sus elementos , vectores , espacios , etc. ^[8]

En lógica matemática , una variable es un símbolo que representa una constante no especificada de la teoría o una variable que se está cuantificando . ^{[9] [10] [11]}

Historia

En obras antiguas como los Elementos de Euclides , las letras individuales se refieren a puntos y formas geométricas. En el siglo VII, Brahmagupta utilizó diferentes colores para representar las incógnitas en ecuaciones algebraicas en el Brāhmasphuṭasiddhānta . Una sección de este libro se llama "Ecuaciones de varios colores". ^[12]

A finales del siglo XVI, François Viète introdujo la idea de representar números conocidos y desconocidos mediante letras, hoy llamadas variables, y la idea de calcular con ellas como si fueran números, para obtener el resultado mediante una simple sustitución. La convención de Viète era utilizar consonantes para los valores conocidos y vocales para los desconocidos. ^[13]

En 1637, René Descartes "inventó la convención de representar las incógnitas en las ecuaciones mediante x , y y z , y las conocidas mediante a , b y c ". ^[14] A diferencia de la convención de Viète, la de Descartes todavía se usa comúnmente. La historia de la letra x en matemáticas se analizó en un artículo de Scientific American de 1887. ^[15]

A partir de la década de 1660, Isaac Newton y Gottfried Wilhelm Leibniz desarrollaron de forma independiente el cálculo infinitesimal , que consiste esencialmente en estudiar cómo una variación infinitesimal de una cantidad variable induce una variación correspondiente de otra cantidad que es función de la primera variable. Casi un siglo después, Leonhard Euler fijó la terminología del cálculo infinitesimal e introdujo la notación y = f ( x ) para una función f , su variable x y su valor y . Hasta finales del siglo XIX, la palabra variable se refería casi exclusivamente a los argumentos y los valores de las funciones.

En la segunda mitad del siglo XIX, se hizo evidente que el fundamento del cálculo infinitesimal no estaba lo suficientemente formalizado como para abordar paradojas aparentes como la de una función continua que no es derivable en ninguna parte . Para resolver este problema, Karl Weierstrass introdujo un nuevo formalismo que consistía en reemplazar la noción intuitiva de límite por una definición formal. La noción antigua de límite era "cuando la variable x varía y tiende hacia a , entonces f ( x ) tiende hacia L ", sin ninguna definición precisa de "tiende". Weierstrass reemplazó esta oración por la fórmula

${\displaystyle (\forall \epsilon >0)(\exists \eta >0)(\forall x)\;|x-a|<\eta }$ ${\displaystyle \Rightarrow |L-f(x)|<\epsilon ,}$

en el que ninguna de las cinco variables se considera variable.

Esta formulación estática condujo a la noción moderna de variable, que es simplemente un símbolo que representa un objeto matemático que es desconocido o puede ser reemplazado por cualquier elemento de un conjunto dado (por ejemplo, el conjunto de números reales ).

Notación

Las variables se denotan generalmente con una sola letra, la mayoría de las veces del alfabeto latino y con menos frecuencia del griego , que puede ser minúscula o mayúscula. La letra puede ir seguida de un subíndice: un número (como en x ₂ ), otra variable ( x _i ), una palabra o abreviatura de una palabra ( x _total ) o una expresión matemática ( x _{2 i + 1} ). Bajo la influencia de la informática , algunos nombres de variables en matemáticas puras constan de varias letras y dígitos. Siguiendo a René Descartes (1596-1650), las letras al principio del alfabeto como a , b , c se utilizan comúnmente para valores y parámetros conocidos, y las letras al final del alfabeto como ( x , y , z ) se utilizan comúnmente para incógnitas y variables de funciones. ^[16] En matemáticas impresas, la norma es establecer variables y constantes en una tipografía cursiva. ^[17]

Por ejemplo, una función cuadrática general se escribe convencionalmente como , donde a , b y c son parámetros (también llamados constantes , porque son funciones constantes ), mientras que x es la variable de la función. Una forma más explícita de denotar esta función es , que aclara el estado de argumento de función de x y el estado constante de a , b y c . Dado que c aparece en un término que es una función constante de x , se denomina término constante . ^[18] ${\textstyle ax^{2}+bx+c\,}$ ${\textstyle x\mapsto ax^{2}+bx+c\,}$

Las ramas y aplicaciones específicas de las matemáticas tienen convenciones de nomenclatura específicas para las variables. A las variables con funciones o significados similares se les suelen asignar letras consecutivas o la misma letra con diferentes subíndices. Por ejemplo, los tres ejes en el espacio de coordenadas 3D se denominan convencionalmente x , y y z . En física, los nombres de las variables están determinados en gran medida por la cantidad física que describen, pero existen varias convenciones de nomenclatura. Una convención que se suele seguir en probabilidad y estadística es utilizar X , Y , Z para los nombres de las variables aleatorias , manteniendo x , y , z para las variables que representan valores correspondientes mejor definidos.

Tipos específicos de variables

Es común que las variables desempeñen diferentes papeles en la misma fórmula matemática, y se han introducido nombres o calificadores para distinguirlas. Por ejemplo, la ecuación cúbica general

${\displaystyle ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0,}$

se interpreta como que tiene cinco variables: cuatro, a , b , c , d , que se toman como números dados y la quinta variable, x , se entiende como un número desconocido . Para distinguirlas, la variable x se llama incógnita y las otras variables se llaman parámetros o coeficientes o, a veces, constantes , aunque esta última terminología es incorrecta para una ecuación y debe reservarse para la función definida por el lado izquierdo de esta ecuación.

En el contexto de funciones, el término variable se refiere comúnmente a los argumentos de las funciones. Este suele ser el caso en oraciones como " función de una variable real ", " x es la variable de la función f : x ↦ f ( x ) ", " f es una función de la variable x " (lo que significa que el argumento de la función es referenciado por la variable x ).

En el mismo contexto, las variables que son independientes de x definen funciones constantes y, por lo tanto, se denominan constantes . Por ejemplo, una constante de integración es una función constante arbitraria que se suma a una antiderivada particular para obtener las otras antiderivadas. Debido a la fuerte relación entre los polinomios y las funciones polinómicas , el término "constante" se utiliza a menudo para denotar los coeficientes de un polinomio, que son funciones constantes de las indeterminadas.

Otros nombres específicos para las variables son:

• Una incógnita es una variable en una ecuación que debe resolverse.
• Un indeterminado es un símbolo, comúnmente llamado variable, que aparece en un polinomio o en una serie de potencias formales . Formalmente hablando, un indeterminado no es una variable, sino una constante en el anillo de polinomios o en el anillo de series de potencias formales . Sin embargo, debido a la fuerte relación entre los polinomios o las series de potencias y las funciones que definen, muchos autores consideran a los indeterminados como un tipo especial de variables.
• Un parámetro es una cantidad (normalmente un número) que forma parte de la entrada de un problema y permanece constante durante toda la solución de este problema. Por ejemplo, en mecánica , la masa y el tamaño de un cuerpo sólido son parámetros para el estudio de su movimiento. En informática , parámetro tiene un significado diferente y denota un argumento de una función.
• Variables libres y variables ligadas
• Una variable aleatoria es un tipo de variable que se utiliza en la teoría de probabilidad y sus aplicaciones.

Todas estas denominaciones de variables son de naturaleza semántica , y la forma de calcular con ellas ( sintaxis ) es la misma para todas.

Variables dependientes e independientes

En cálculo y su aplicación a la física y otras ciencias, es bastante común considerar una variable, digamos y , cuyos posibles valores dependen del valor de otra variable, digamos x . En términos matemáticos, la variable dependiente y representa el valor de una función de x . Para simplificar las fórmulas, a menudo es útil utilizar el mismo símbolo para la variable dependiente y y la función que mapea x sobre y . Por ejemplo, el estado de un sistema físico depende de cantidades mensurables como la presión , la temperatura , la posición espacial, ..., y todas estas cantidades varían cuando el sistema evoluciona, es decir, son función del tiempo. En las fórmulas que describen el sistema, estas cantidades están representadas por variables que dependen del tiempo y, por lo tanto, se consideran implícitamente como funciones del tiempo.

Por lo tanto, en una fórmula, una variable dependiente es una variable que implícitamente es una función de otra (o de varias otras) variables. Una variable independiente es una variable que no es dependiente. ^[19]

La propiedad de una variable de ser dependiente o independiente depende a menudo del punto de vista y no es intrínseca. Por ejemplo, en la notación f ( x , y , z ) , las tres variables pueden ser todas independientes y la notación representa una función de tres variables. Por otro lado, si y y z dependen de x (son variables dependientes ), entonces la notación representa una función de la única variable independiente x . ^[20]

Ejemplos

Si se define una función f de los números reales a los números reales por

${\displaystyle f(x)=x^{2}+\sin(x+4)}$

entonces x es una variable que representa el argumento de la función que se está definiendo, que puede ser cualquier número real.

En la identidad

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}i={\frac {n^{2}+n}{2}}}$

la variable i es una variable sumatoria que designa a su vez cada uno de los números enteros 1, 2, ..., n (también se llama índice porque su variación es sobre un conjunto discreto de valores) mientras que n es un parámetro (no varía dentro de la fórmula).

En la teoría de polinomios , un polinomio de grado 2 se denota generalmente como ax ² + bx + c , donde a , b y c se denominan coeficientes (se supone que son fijos, es decir, parámetros del problema considerado) mientras que x se denomina variable. Al estudiar este polinomio por su función polinómica , esta x representa el argumento de la función. Al estudiar el polinomio como un objeto en sí mismo, x se toma como indeterminado y, a menudo, se escribiría con una letra mayúscula para indicar este estado.

Ejemplo: la ley de los gases ideales

Considere la ecuación que describe la ley de los gases ideales. Esta ecuación generalmente se interpretaría como si tuviera cuatro variables y una constante. La constante es , la constante de Boltzmann . Una de las variables, , el número de partículas, es un entero positivo (y por lo tanto una variable discreta), mientras que las otras tres, y , para la presión, el volumen y la temperatura, son variables continuas. $${\displaystyle PV=Nk_{B}T.}$$ ${\displaystyle k_{B}}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle P,V}$ ${\displaystyle T}$

Se podría reorganizar esta ecuación para obtener como función de las otras variables, Entonces , como función de las otras variables, es la variable dependiente, mientras que sus argumentos, y , son variables independientes. Se podría abordar esta función de manera más formal y pensar en su dominio y rango: en notación de funciones, aquí hay una función . ${\displaystyle P}$ $${\displaystyle P(V,N,T)={\frac {Nk_{B}T}{V}}.}$$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle V,N}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle P:\mathbb {R} _{>0}\times \mathbb {N} \times \mathbb {R} _{>0}\rightarrow \mathbb {R} }$

Sin embargo, en un experimento, para determinar la dependencia de la presión con respecto a una sola de las variables independientes, es necesario fijar todas las variables menos una, por ejemplo . Esto da una función donde ahora y también se consideran constantes. Matemáticamente, esto constituye una aplicación parcial de la función anterior . ${\displaystyle T}$ $${\displaystyle P(T)={\frac {Nk_{B}T}{V}},}$$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle P}$

Esto ilustra cómo las variables independientes y las constantes dependen en gran medida del punto de vista adoptado. Incluso se podría considerar como variable para obtener una función ${\displaystyle k_{B}}$ $${\displaystyle P(V,N,T,k_{B})={\frac {Nk_{B}T}{V}}.}$$

Espacios de módulos

La consideración de constantes y variables puede llevar al concepto de espacios de módulos. A modo de ejemplo, considere la ecuación de una parábola , donde y se consideran todos reales. El conjunto de puntos en el plano 2D que satisfacen esta ecuación trazan el gráfico de una parábola. Aquí, y se consideran constantes, que especifican la parábola, mientras que y son variables. $${\displaystyle y=ax^{2}+bx+c,}$$ ${\displaystyle a,b,c,x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle (x,y)}$ ${\displaystyle a,b}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$

Entonces, en lugar de considerar y como variables, observamos que cada conjunto de 3-tuplas corresponde a una parábola diferente. Es decir, especifican coordenadas en el "espacio de parábolas": esto se conoce como espacio de módulos de parábolas . ${\displaystyle a,b}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle (a,b,c)}$

Nombres de variables convencionales

• a , b , c , d (a veces extendido a e , f ) para parámetros o coeficientes
• un ₀ , un ₁ , un ₂ , ... para situaciones donde las letras distintas son inconvenientes
• a _i o u _i para el i-ésimo término de una secuencia o el i -ésimo coeficiente de una serie
• f , g , h para funciones (como en ) ${\displaystyle f(x)}$
• i , j , k (a veces l o h ) para números enteros o índices variables en una familia indexada , o vectores unitarios
• l y w para la longitud y el ancho de una figura
• l también para una línea, o en teoría de números para un número primo no igual a p
• n (con m como segunda opción) para un número entero fijo, como un recuento de objetos o el grado de una ecuación
• p para un número primo o una probabilidad
• q para una potencia prima o un cociente
• r para un radio , un resto o un coeficiente de correlación
• t por tiempo
• x , y , z para las tres coordenadas cartesianas de un punto en geometría euclidiana o los ejes correspondientes
• z para un número complejo o, en estadística, una variable aleatoria normal
• α , β , γ , θ , φ para medidas de ángulos
• ε (con δ como segunda opción) para un número positivo arbitrariamente pequeño
• λ para un valor propio
• Σ (sigma mayúscula) para una suma, o σ (sigma minúscula) en estadística para la desviación estándar ^[21]
• μ para una media

Véase también

• Cálculo lambda
• Variable observable
• Constante física
• Variable proposicional

Referencias

1. Sobolev, SK (autor). "Variable individual". Enciclopedia de Matemáticas . Springer . ISBN 1402006098. Recuperado el 5 de septiembre de 2024 .
2. Beckenbach, Edwin F (1982). Álgebra universitaria (5ª ed.). Wadsworth. ISBN 0-534-01007-5.
3. Landin, Joseph (1989). Introducción a las estructuras algebraicas. Nueva York: Dover Publications . pág. 204. ISBN. 0-486-65940-2.
4. Ely, Robert; Adams, Anne E. (22 de febrero de 2012). "Desconocido, marcador de posición o variable: ¿qué es x?". Mathematics Education Research Journal . 24 : 19–38 – vía Springer Science+Business Media .
5. Oxford English Dictionary , sv “variable (n.), sentido 1.a”, marzo de 2024. " Matemáticas y física . Una cantidad o fuerza que, a lo largo de un cálculo o investigación matemática, se supone que varía o es capaz de variar en valor".
6. Collins English Dictionary . Variable, (sustantivo) matemáticas a. una expresión a la que se le puede asignar cualquiera de un conjunto de valores b. un símbolo, especialmente x, y o z, que representa un miembro no especificado de una clase de objetos
7. "ISO 80000-2:2019" (PDF) . Cantidades y unidades, Parte 2: Matemáticas . Organización Internacional de Normalización . Archivado desde el original el 15 de septiembre de 2019 . Consultado el 15 de septiembre de 2019 .
8. Stover y Weisstein.
9. van Dalen, Dirk (2008). «Lógica y Estructura» (PDF) . Springer-Verlag (4ª ed.): 57. doi :10.1007/978-3-540-85108-0. ISBN 978-3-540-20879-2.
10. Feys, Robert ; Fitch, Frederic Brenton (1969). Diccionario de símbolos de lógica matemática . Ámsterdam: North-Holland Pub. Co . LCCN  67030883.
11. Shapiro, Stewart; Kouri Kissel, Teresa (2024), Zalta, Edward N.; Nodelman, Uri (eds.), "Classical Logic", The Stanford Encyclopedia of Philosophy (edición de primavera de 2024), Metaphysics Research Lab, Stanford University , consultado el 1 de septiembre de 2024
12. Tabak 2014, pág. 40.
13. Fraleigh 1989, pág. 276.
14. Sorell 2000, pág. 19.
15. Scientific American. Munn & Company. 3 de septiembre de 1887. pág. 148.
16. Arte de Edwards. 4
17. Hosch 2010, pág. 71.
18. Foerster 2006, pág. 18.
19. Arte de Edwards. 5
20. Arte de Edwards. 6
21. Weisstein, Eric W. "Suma". mathworld.wolfram.com . Consultado el 14 de febrero de 2022 .

Bibliografía

• Edwards, Joseph (1892). Tratado elemental sobre el cálculo diferencial (2.ª ed.). Londres: MacMillan and Co.
• Foerster, Paul A. (2006). Álgebra y trigonometría: funciones y aplicaciones (edición clásica). Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall. ISBN 978-0-13-165711-3.
• Fraleigh, John B. (1989). Un primer curso de álgebra abstracta (4.ª ed.). Estados Unidos: Addison-Wesley. ISBN 978-0-201-52821-3.
• Hosch, William L., ed. (2010). Guía británica de álgebra y trigonometría. Britannica Educational Publishing. ISBN 978-1-61530-219-2.
• Menger, Karl (1954). "Sobre variables en matemáticas y en ciencias naturales". Revista británica de filosofía de la ciencia . 5 (18). Prensa de la Universidad de Chicago: 134–142. doi :10.1093/bjps/V.18.134. JSTOR  685170.
• Peregrin, Jaroslav (2000). "Variables en lenguaje natural: ¿de dónde vienen?" (PDF) . En Böttner, Michael; Thümmel, Wolf (eds.). Semántica sin variables . Osnabrück Secolo. pp. 46–65. ISBN. 978-3-929979-53-4.
• Quine, Willard V. (1960). "Variables Explained Away" (PDF) . Actas de la American Philosophical Society . 104 (3). American Philosophical Society: 343–347. JSTOR  985250.
• Sorell, Tom (2000). Descartes: una introducción muy breve. Nueva York: Oxford University Press. ISBN 978-0-19-285409-4.
• Stover, Christopher; Weisstein, Eric W. "Variable". En Weisstein, Eric W. (ed.). Wolfram MathWorld . Wolfram Research . Consultado el 22 de noviembre de 2021 .
• Tabak, John (2014). Álgebra: conjuntos, símbolos y el lenguaje del pensamiento. Infobase Publishing. ISBN 978-0-8160-6875-3.