Integración de shell

Método para calcular el volumen de un sólido de revolución.

Un volumen se aproxima mediante una colección de cilindros huecos. A medida que las paredes del cilindro se vuelven más delgadas, la aproximación mejora. El límite de esta aproximación es la integral de capa.

La integración de capas (el método de capas en cálculo integral ) es un método para calcular el volumen de un sólido de revolución , al integrar a lo largo de un eje perpendicular al eje de revolución. Esto contrasta con la integración del disco , que se integra a lo largo del eje paralelo al eje de revolución.

Definición

El método de la capa es el siguiente: considere un volumen en tres dimensiones obtenido al rotar una sección transversal en el plano xy alrededor del eje y . Supongamos que la sección transversal está definida por la gráfica de la función positiva f ( x ) en el intervalo [ a , b ] . Entonces la fórmula para el volumen será:

${\displaystyle 2\pi \int _{a}^{b}xf(x)\,dx}$

Si la función es de la coordenada y y el eje de rotación es el eje x , entonces la fórmula queda:

${\displaystyle 2\pi \int _{a}^{b}yf(y)\,dy}$

Si la función gira alrededor de la recta x = h, entonces la fórmula queda: ^[1]

${\displaystyle {\begin{cases}\displaystyle 2\pi \int _{a}^{b}(x-h)f(x)\,dx,&{\text{if}}\ h\leq a<b\\\displaystyle 2\pi \int _{a}^{b}(h-x)f(x)\,dx,&{\text{if}}\ a<b\leq h,\end{cases}}}$

y para rotaciones alrededor de y = k se convierte en

${\displaystyle {\begin{cases}\displaystyle 2\pi \int _{a}^{b}(y-k)f(y)\,dy,&{\text{if}}\ k\leq a<b\\\displaystyle 2\pi \int _{a}^{b}(k-y)f(y)\,dy,&{\text{if}}\ a<b\leq k.\end{cases}}}$

La fórmula se obtiene calculando la integral doble en coordenadas polares .

Derivación de la fórmula

Ejemplo

Considere el volumen, que se muestra a continuación, cuya sección transversal en el intervalo [1, 2] está definida por:

${\displaystyle y=(x-1)^{2}(x-2)^{2}}$

En el caso de la integración del disco necesitaríamos resolver para x dada y y como el volumen es hueco en el medio encontraríamos dos funciones, una que definía el sólido interior y otra que definía el sólido exterior. Después de integrar estas dos funciones con el método del disco, las restaríamos para obtener el volumen deseado.

Con el método Shell todo lo que necesitamos es la siguiente fórmula:

${\displaystyle 2\pi \int _{1}^{2}x((x-1)^{2}(x-2)^{2})\,dx}$

Al expandir el polinomio, la integral se vuelve muy simple. Al final encontramos que el volumen esπ/10unidades cúbicas.

Ver también

• Sólido de revolución
• Integración de disco

Referencias

1. Heckman, Dave (2014). "Volumen - Método Shell" (PDF) . Consultado el 28 de septiembre de 2016 .

• Weisstein, Eric W. "Método de las conchas". MundoMatemático .
• Frank Ayres , Elliott Mendelson . Esquemas de Schaum : cálculo . McGraw-Hill Profesional 2008, ISBN 978-0-07-150861-2 . Págs. 244–248 ( copia en línea , p. 244, en Google Books )