Función lineal

Mapa lineal o función polinómica de grado uno.

En matemáticas , el término función lineal se refiere a dos nociones distintas pero relacionadas: ^[1]

• En cálculo y áreas afines, una función lineal es una función cuya gráfica es una recta , es decir, una función polinómica de grado cero o uno. ^[2] Para distinguir dicha función lineal del otro concepto, a menudo se utiliza el término función afín . ^[3]
• En álgebra lineal , análisis matemático , ^[4] y análisis funcional , una función lineal es una aplicación lineal . ^[5]

Como función polinómica

Gráficas de dos funciones lineales.

En cálculo, geometría analítica y áreas relacionadas, una función lineal es un polinomio de grado uno o menos, incluido el polinomio cero (no se considera que este último tenga grado cero).

Cuando la función es de una sola variable , tiene la forma

${\displaystyle f(x)=ax+b,}$

donde a y b son constantes , a menudo números reales . La gráfica de dicha función de una variable es una recta no vertical. A menudo se hace referencia a a como la pendiente de la línea y a b como la intersección.

Si a > 0 entonces el gradiente es positivo y la gráfica tiene pendiente ascendente.

Si a < 0 , entonces el gradiente es negativo y la gráfica tiene una pendiente descendente.

Para una función de cualquier número finito de variables, la fórmula general es ${\displaystyle f(x_{1},\ldots ,x_{k})}$

${\displaystyle f(x_{1},\ldots ,x_{k})=b+a_{1}x_{1}+\cdots +a_{k}x_{k},}$

y la gráfica es un hiperplano de dimensión k .

Una función constante también se considera lineal en este contexto, ya que es un polinomio de grado cero o es el polinomio cero. Su gráfica, cuando hay una sola variable, es una recta horizontal.

En este contexto, una función que también es una aplicación lineal (el otro significado) puede denominarse función lineal homogénea o forma lineal . En el contexto del álgebra lineal, las funciones polinómicas de grado 0 o 1 son aplicaciones afines con valores escalares .

Como un mapa lineal

La integral de una función es una aplicación lineal desde el espacio vectorial de funciones integrables hasta los números reales.

En álgebra lineal, una función lineal es una aplicación f entre dos espacios vectoriales st

${\displaystyle f(\mathbf {x} +\mathbf {y} )=f(\mathbf {x} )+f(\mathbf {y} )}$

${\displaystyle f(a\mathbf {x} )=af(\mathbf {x} ).}$

Aquí a denota una constante que pertenece a algún campo K de escalares ( por ejemplo, los números reales ) y xey son elementos de un espacio vectorial , que podría ser el propio K.

En otros términos, la función lineal conserva la suma de vectores y la multiplicación escalar .

Algunos autores utilizan "función lineal" sólo para mapas lineales que toman valores en el campo escalar; ^[6] estas se denominan más comúnmente formas lineales .

Las "funciones lineales" del cálculo califican como "mapeos lineales" cuando (y sólo cuando) f (0,..., 0) = 0 , o, de manera equivalente, cuando la constante b es igual a cero en el polinomio de un grado anterior. Geométricamente, la gráfica de la función debe pasar por el origen.

Ver también

• Función homogénea
• Sistema no lineal
• Función lineal por partes
• Aproximación lineal
• Interpolación linear
• Mapa lineal discontinuo
• Mínimos cuadrados lineales

Notas

1. "El término función lineal significa una forma lineal en algunos libros de texto y una función afín en otros". Vaserstein 2006, pág. 50-1
2. Stewart 2012, pag. 23
3. A. Kurosh (1975). Álgebra superior . Editorial Mir. pag. 214.
4. TM Apóstol (1981). Análisis matemático . Addison-Wesley. pag. 345.
5. Costas 2007, pag. 71
6. Gelfand 1961

Referencias

• Izrail Moiseevich Gelfand (1961), Conferencias sobre álgebra lineal , Interscience Publishers, Inc., Nueva York. Reimpreso por Dover, 1989. ISBN 0-486-66082-6 
• Thomas S. Shores (2007), Álgebra lineal aplicada y análisis matricial , Textos de pregrado en matemáticas , Springer. ISBN 0-387-33195-6 
• James Stewart (2012), Cálculo: primeros trascendentales , edición 7E, Brooks/Cole. ISBN 978-0-538-49790-9 
• Leonid N. Vaserstein (2006), "Linear Programming", en Leslie Hogben , ed., Handbook of Linear Algebra , Discrete Mathematics and Its Applications, Chapman and Hall/CRC, cap. 50. ISBN 1-584-88510-6