Forma bilineal degenerada

En matemáticas , específicamente álgebra lineal , una forma bilineal degenerada f  ( x , y  ) en un espacio vectorial V es una forma bilineal tal que el mapa de V a V ^∗ (el espacio dual de V  ) dado por v ↦ ( x ↦ f  ( x ,  v  )) no es un isomorfismo . Una definición equivalente cuando V es de dimensión finita es que tiene un núcleo no trivial: existe alguna x distinta de cero en V tal que

${\displaystyle f(x,y)=0\,}$para todos ${\displaystyle \,y\in V.}$

Formas no degeneradas

Una forma no degenerada o no singular es una forma bilineal que no es degenerada, lo que significa que es un isomorfismo , o equivalentemente en dimensiones finitas, si y sólo si ^[1] ${\displaystyle v\mapsto (x\mapsto f(x,v))}$

${\displaystyle f(x,y)=0}$para todos implica eso . ${\displaystyle y\in V}$ ${\displaystyle x=0}$

Los ejemplos más importantes de formas no degeneradas son los productos internos y las formas simplécticas . Las formas simétricas no degeneradas son generalizaciones importantes de productos internos, en el sentido de que a menudo todo lo que se requiere es que el mapa sea un isomorfismo, no una positividad. Por ejemplo, una variedad con una estructura de producto interna en sus espacios tangentes es una variedad de Riemann , mientras que al relajarla a una forma simétrica no degenerada se obtiene una variedad pseudo-riemanniana . ${\displaystyle V\to V^{*}}$

Usando el determinante

Si V es de dimensión finita entonces, en relación con alguna base para V , una forma bilineal es degenerada si y sólo si el determinante de la matriz asociada es cero – si y sólo si la matriz es singular y, en consecuencia, las formas degeneradas también se denominan singulares. formas . Asimismo, una forma no degenerada es aquella cuya matriz asociada no es singular y, en consecuencia, las formas no degeneradas también se denominan formas no singulares . Estas declaraciones son independientes de la base elegida.

Nociones relacionadas

Si para una forma cuadrática Q existe un vector distinto de cero v ∈ V tal que Q ( v ) = 0, entonces Q es una forma cuadrática isotrópica . Si Q tiene el mismo signo para todos los vectores distintos de cero, es una forma cuadrática definida o una forma cuadrática anisotrópica .

Existe la noción estrechamente relacionada de forma unimodular y de emparejamiento perfecto ; estos coinciden en campos pero no en anillos generales .

Ejemplos

El estudio de álgebras cuadráticas reales muestra la distinción entre tipos de formas cuadráticas. El producto zz * es una forma cuadrática para cada uno de los números complejos , números complejos divididos y números duales . Para z = x + ε y , la forma de número dual es x ² , que es una forma cuadrática degenerada . El caso complejo dividido es una forma isotrópica y el caso complejo es una forma definida.

Los ejemplos más importantes de formas no degeneradas son los productos internos y las formas simplécticas. Las formas simétricas no degeneradas son generalizaciones importantes de productos internos, en el sentido de que a menudo todo lo que se requiere es que el mapa sea un isomorfismo, no una positividad. Por ejemplo, una variedad con una estructura de producto interna en sus espacios tangentes es una variedad de Riemann, mientras que al relajarla a una forma simétrica no degenerada se obtiene una variedad pseudo-riemanniana. ${\displaystyle V\to V^{*}}$

Dimensiones infinitas

Tenga en cuenta que en un espacio de dimensión infinita, podemos tener una forma bilineal ƒ que es inyectiva pero no sobreyectiva . Por ejemplo, en el espacio de funciones continuas en un intervalo acotado cerrado , la forma ${\displaystyle v\mapsto (x\mapsto f(x,v))}$

${\displaystyle f(\phi ,\psi )=\int \psi (x)\phi (x)\,dx}$

no es sobreyectivo: por ejemplo, el funcional delta de Dirac está en el espacio dual pero no tiene la forma requerida. Por otro lado, esta forma bilineal satisface

${\displaystyle f(\phi ,\psi )=0}$para todos implica que ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \psi =0.\,}$

En un caso en el que ƒ satisface la inyectividad (pero no necesariamente la sobreyectividad), se dice que ƒ es débilmente no degenerado .

Terminología

Si f desaparece idénticamente en todos los vectores se dice que está totalmente degenerado . Dada cualquier forma bilineal f en V el conjunto de vectores

${\displaystyle \{x\in V\mid f(x,y)=0{\mbox{ for all }}y\in V\}}$

forma un subespacio totalmente degenerado de V . La función f es no degenerada si y sólo si este subespacio es trivial.

Geométricamente, una línea isotrópica de forma cuadrática corresponde a un punto de la hipersuperficie cuádrica asociada en el espacio proyectivo . Dicha línea es además isotrópica para la forma bilineal si y sólo si el punto correspondiente es una singularidad . Por tanto, sobre un campo algebraicamente cerrado , el Nullstellensatz de Hilbert garantiza que la forma cuadrática siempre tiene rectas isotrópicas, mientras que la forma bilineal las tiene si y sólo si la superficie es singular.

Ver también

• Espacio de producto interior indefinido  : generalización del espacio de Hilbert con firma indefinidaPáginas que muestran descripciones de wikidata como alternativa
• sistema dual
• Forma lineal  : mapa lineal desde un espacio vectorial a su campo de escalares

Referencias

1. Fisher, TA (2008). "Álgebra lineal: formas bilineales no degeneradas" (PDF) . Departamento de Matemática Pura y Estadística Matemática . Universidad de Cambridge . Consultado el 26 de mayo de 2024 .