Modelo de red (física)

Una red tridimensional llena de dos moléculas A y B, que aquí se muestran como esferas blancas y negras. Redes como ésta se utilizan, por ejemplo, en la teoría de soluciones de Flory-Huggins

En física matemática , un modelo reticular es un modelo matemático de un sistema físico que se define en una red , en oposición a un continuo , como el continuo del espacio o el espacio-tiempo . Los modelos reticulares se dieron originalmente en el contexto de la física de la materia condensada , donde los átomos de un cristal forman automáticamente una red. Actualmente, los modelos reticulares son bastante populares en la física teórica , por muchas razones. Algunos modelos son exactamente solucionables y, por lo tanto, ofrecen una visión de la física más allá de lo que se puede aprender de la teoría de perturbaciones . Los modelos reticulares también son ideales para el estudio mediante los métodos de la física computacional , ya que la discretización de cualquier modelo continuo lo convierte automáticamente en un modelo reticular. La solución exacta de muchos de estos modelos (cuando son solucionables) incluye la presencia de solitones . Las técnicas para resolverlos incluyen la transformada de dispersión inversa y el método de pares Lax , la ecuación de Yang-Baxter y los grupos cuánticos . La solución de estos modelos ha proporcionado conocimientos sobre la naturaleza de las transiciones de fase , la magnetización y el comportamiento de escala , así como conocimientos sobre la naturaleza de la teoría cuántica de campos . Los modelos de red físicos ocurren con frecuencia como una aproximación a una teoría del continuo, ya sea para dar un corte ultravioleta a la teoría para evitar divergencias o para realizar cálculos numéricos . Un ejemplo de una teoría del continuo que es ampliamente estudiada por los modelos de red es el modelo de red QCD , una discretización de la cromodinámica cuántica . Sin embargo, la física digital considera la naturaleza fundamentalmente discreta en la escala de Planck, que impone un límite superior a la densidad de información , también conocido como principio holográfico . De manera más general, la teoría de calibre de red y la teoría de campo de red son áreas de estudio. Los modelos de red también se utilizan para simular la estructura y la dinámica de los polímeros.

Descripción matemática

Se pueden describir varios modelos de red mediante los siguientes datos:

• Una red , a menudo considerada como una red en un espacio euclidiano de dimensión , o como un toro de dimensión , si la red es periódica. En concreto, suele ser la red cúbica . Si dos puntos de la red se consideran "vecinos más próximos", pueden conectarse mediante una arista, convirtiendo la red en un grafo de red . Los vértices de a veces se denominan sitios. ${\displaystyle \Lambda }$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle \Lambda }$ ${\displaystyle \Lambda }$
• Un espacio de variables de espín . El espacio de configuración de los posibles estados del sistema es entonces el espacio de funciones . Para algunos modelos, podríamos considerar en cambio el espacio de funciones donde es el conjunto de aristas del gráfico definido anteriormente. ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle \sigma :\Lambda \rightarrow S}$ ${\displaystyle \sigma :E\rightarrow S}$ ${\displaystyle E}$
• Una función energética , que podría depender de un conjunto de parámetros adicionales o "constantes de acoplamiento" . ${\displaystyle E:{\mathcal {C}}\rightarrow \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \{g_{i}\}}$

Ejemplos

El modelo de Ising se da mediante el gráfico de red cúbica habitual donde es una red cúbica infinita en o una red cúbica de período en , y es el conjunto de aristas de vecinos más cercanos (se utiliza la misma letra para la función de energía, pero los diferentes usos se distinguen según el contexto). El espacio de variables de espín es . La función de energía es ${\displaystyle G=(\Lambda ,E)}$ ${\displaystyle \Lambda }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle T^{d}}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle S=\{+1,-1\}=\mathbb {Z} _{2}}$

${\displaystyle E(\sigma )=-H\sum _{v\in \Lambda }\sigma (v)-J\sum _{\{v_{1},v_{2}\}\in E}\sigma (v_{1})\sigma (v_{2}).}$

El espacio de variables de espín se puede describir a menudo como un conjunto lateral . Por ejemplo, para el modelo de Potts tenemos . En el límite , obtenemos el modelo XY que tiene . Generalizando el modelo XY a dimensiones superiores obtenemos el modelo -vectorial que tiene . ${\displaystyle S=\mathbb {Z} _{n}}$ ${\displaystyle n\rightarrow \infty }$ ${\displaystyle S=SO(2)}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle S=S^{n}=SO(n+1)/SO(n)}$

Modelos solucionables

Nos especializamos en una red con un número finito de puntos y un espacio finito de variables de espín. Esto se puede lograr haciendo que la red sea periódica, con período en las dimensiones. Entonces, el espacio de configuración también es finito. Podemos definir la función de partición ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$

${\displaystyle Z=\sum _{\sigma \in {\mathcal {C}}}\exp(-\beta E(\sigma ))}$

y no hay problemas de convergencia (como los que surgen en la teoría de campos) ya que la suma es finita. En teoría, esta suma se puede calcular para obtener una expresión que depende solo de los parámetros y . En la práctica, esto suele ser difícil debido a interacciones no lineales entre sitios. Los modelos con una expresión de forma cerrada para la función de partición se conocen como exactamente resolubles . ${\displaystyle \{g_{i}\}}$ ${\displaystyle \beta }$

Ejemplos de modelos exactamente solucionables son el modelo periódico de Ising 1D y el modelo periódico de Ising 2D con campo magnético externo que desaparece, pero para la dimensión , el modelo de Ising permanece sin resolver. ${\displaystyle H=0,}$ ${\displaystyle d>2}$

Teoría del campo medio

Debido a la dificultad de derivar soluciones exactas, para obtener resultados analíticos a menudo debemos recurrir a la teoría del campo medio . Este campo medio puede variar espacialmente o ser global.

Campo medio global

El espacio de configuración de funciones se reemplaza por la envoltura convexa del espacio de espín , cuando tiene una realización en términos de un subconjunto de . Denotaremos esto por . Esto surge como al ir al valor medio del campo, tenemos . ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$ ${\displaystyle \langle {\mathcal {C}}\rangle }$ ${\displaystyle \sigma \mapsto \langle \sigma \rangle :={\frac {1}{|\Lambda |}}\sum _{v\in \Lambda }\sigma (v)}$

A medida que aumenta el número de sitios de la red , los posibles valores de llenan la envoltura convexa de . Al realizar una aproximación adecuada, la función de energía se convierte en una función del campo medio, es decir, La función de partición se convierte entonces en ${\displaystyle N=|\Lambda |\rightarrow \infty }$ ${\displaystyle \langle \sigma \rangle }$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle E(\sigma )\mapsto E(\langle \sigma \rangle ).}$

${\displaystyle Z=\int _{\langle {\mathcal {C}}\rangle }d\langle \sigma \rangle e^{-\beta E(\langle \sigma \rangle )}\Omega (\langle \sigma \rangle )=:\int _{\langle {\mathcal {C}}\rangle }d\langle \sigma \rangle e^{-N\beta f(\langle \sigma \rangle )}.}$

Como , es decir, en el límite termodinámico , la aproximación del punto de silla nos dice que la integral está dominada asintóticamente por el valor en el que se minimiza: ${\displaystyle N\rightarrow \infty }$ ${\displaystyle f(\langle \sigma \rangle )}$

${\displaystyle Z\sim e^{-N\beta f(\langle \sigma \rangle _{0})}}$

¿Dónde está el argumento minimizando ? ${\displaystyle \langle \sigma \rangle _{0}}$ ${\displaystyle f}$

Un enfoque más simple, pero menos riguroso matemáticamente, que sin embargo a veces da resultados correctos, consiste en linealizar la teoría sobre el campo medio . Al escribir las configuraciones como , truncando los términos de y luego sumando las configuraciones, se puede calcular la función de partición. ${\displaystyle \langle \sigma \rangle }$ ${\displaystyle \sigma (v)=\langle \sigma \rangle +\Delta \sigma (v)}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}(\Delta \sigma ^{2})}$

Este enfoque del modelo periódico de Ising en dimensiones proporciona información sobre las transiciones de fase . ${\displaystyle d}$

Campo medio que varía espacialmente

Supongamos que el límite continuo de la red es . En lugar de promediar sobre todo , promediamos sobre los vecindarios de . Esto da un campo medio que varía espacialmente . Reetiquetamos con para acercar la notación a la teoría de campos. Esto permite escribir la función de partición como una integral de trayectoria ${\displaystyle \Lambda }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$ ${\displaystyle \Lambda }$ ${\displaystyle \mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{d}}$ ${\displaystyle \langle \sigma \rangle :\mathbb {R} ^{d}\rightarrow \langle {\mathcal {C}}\rangle }$ ${\displaystyle \langle \sigma \rangle }$ ${\displaystyle \phi }$

${\displaystyle Z=\int {\mathcal {D}}\phi e^{-\beta F[\phi ]}}$

donde la energía libre es una versión rotada de Wick de la acción en la teoría cuántica de campos . ${\displaystyle F[\phi ]}$

Ejemplos

Física de la materia condensada

• Modelo de Ising
• Modelo ANNNI
• Modelo de Potts
• Modelo quiral de Potts
• Modelo XY
• Modelo clásico de Heisenberg
• modelo n-vectorial
• Modelo de vértice
• Enrejado de Toda
• autómatas celulares

Física de polímeros

• Modelo de fluctuación de bonos
• 2do modelo

Física de altas energías

• Modelo de red QCD

Véase también

• Estructura cristalina
• Límite de escala
• Materia de QCD
• Gas reticular

Referencias

• Baxter, Rodney J. (1982), Modelos resueltos con exactitud en mecánica estadística (PDF) , Londres: Academic Press Inc. [Harcourt Brace Jovanovich Publishers], ISBN 978-0-12-083180-7, Sr.  0690578