Los autómatas de gas en red ( LGA ), o autómatas celulares de gas en red , son un tipo de autómata celular utilizado para simular flujos de fluidos, iniciados por Hardy–Pomeau–de Pazzis y Frisch – Hasslacher – Pomeau . Fueron los precursores de los métodos de Boltzmann en red . A partir de los autómatas de gas en red, es posible derivar las ecuaciones macroscópicas de Navier–Stokes . [1] El interés en los métodos de autómatas de gas en red se estabilizó a principios de la década de 1990, cuando el interés en el Boltzmann en red comenzó a aumentar. [2] Sin embargo, una variante de LGCA, denominada BIO-LGCA , todavía se usa ampliamente [3] para modelar la migración colectiva en biología.
Como autómata celular, estos modelos comprenden una red, donde los sitios en la red pueden adoptar un cierto número de estados diferentes. En el gas de red, los diversos estados son partículas con ciertas velocidades. La evolución de la simulación se realiza en pasos de tiempo discretos. Después de cada paso de tiempo, el estado en un sitio determinado puede determinarse por el estado del sitio mismo y de los sitios vecinos, antes del paso de tiempo.
El estado en cada sitio es puramente booleano . En un sitio determinado, hay o no una partícula moviéndose en cada dirección.
En cada paso de tiempo se llevan a cabo dos procesos: propagación y colisión. [4]
En el paso de propagación, cada partícula se moverá a un sitio vecino determinado por la velocidad que tenía esa partícula. Salvo que haya colisiones, una partícula con una velocidad ascendente después del paso de tiempo mantendrá esa velocidad, pero se moverá al sitio vecino por encima del sitio original. El llamado principio de exclusión impide que dos o más partículas viajen por el mismo enlace en la misma dirección.
En el paso de colisión, se utilizan reglas de colisión para determinar qué sucede si múltiples partículas alcanzan el mismo sitio. Estas reglas de colisión son necesarias para mantener la conservación de la masa y conservar el momento total ; el modelo de autómata celular en bloques se puede utilizar para lograr estas leyes de conservación. [5] Nótese que el principio de exclusión no impide que dos partículas viajen en el mismo enlace en direcciones opuestas ; cuando esto sucede, las dos partículas se cruzan sin colisionar.
En artículos publicados en 1973 y 1976, Jean Hardy, Yves Pomeau y Olivier de Pazzis introdujeron el primer modelo reticular de Boltzmann, que se denomina modelo HPP en honor a los autores. El modelo HPP es un modelo bidimensional de interacciones entre fluidos y partículas. En este modelo, la red es cuadrada y las partículas se desplazan de forma independiente a una velocidad unitaria en el tiempo discreto. Las partículas pueden moverse a cualquiera de los cuatro sitios cuyas celdas comparten un borde común. Las partículas no pueden moverse en diagonal.
Si dos partículas chocan de frente, por ejemplo, una partícula que se mueve hacia la izquierda se encuentra con una partícula que se mueve hacia la derecha, el resultado será que dos partículas saldrán del lugar en ángulo recto respecto de la dirección en la que entraron. [6]
El modelo HPP carecía de invariancia rotacional , lo que lo hacía altamente anisotrópico . Esto significa, por ejemplo, que los vórtices producidos por el modelo HPP tienen forma cuadrada. [7]
El modelo de cuadrícula hexagonal se introdujo por primera vez en 1986, en un artículo de Uriel Frisch , Brosl Hasslacher y Pomeau, y se lo conoce como el modelo FHP en honor a sus inventores. El modelo tiene seis o siete velocidades, dependiendo de la variación que se utilice. En cualquier caso, seis de las velocidades representan el movimiento hacia cada uno de los sitios vecinos. En algunos modelos (llamados FHP-II y FHP-III), se introduce una séptima velocidad que representa partículas "en reposo". Las partículas "en reposo" no se propagan a los sitios vecinos, pero son capaces de colisionar con otras partículas. El modelo FHP-III permite todas las colisiones posibles que conservan la densidad y el momento. [8] Aumentar el número de colisiones aumenta el número de Reynolds , por lo que los modelos FHP-II y FHP-III pueden simular flujos menos viscosos que el modelo FHP-I de seis velocidades. [9]
La regla de actualización simple del modelo FHP se desarrolla en dos etapas, elegidas para conservar el número de partículas y el momento. La primera es el manejo de colisiones. Las reglas de colisión en el modelo FHP no son deterministas , algunas situaciones de entrada producen dos resultados posibles y, cuando esto sucede, uno de ellos se elige al azar. Dado que la generación de números aleatorios no es posible a través de medios completamente computacionales, generalmente se elige un proceso pseudoaleatorio . [10]
Después del paso de colisión, se considera que una partícula de un enlace abandona el sitio. Si en un sitio hay dos partículas que se acercan de frente, se dispersan. Se realiza una elección aleatoria entre las dos posibles direcciones de salida que conservan el momento.
La cuadrícula hexagonal no sufre problemas de anisotropía tan grandes como los que afectan al modelo de cuadrícula cuadrada HPP, un hecho afortunado que no es del todo obvio y que llevó a Frisch a señalar que "los dioses de la simetría son benévolos". [11]
Para una cuadrícula tridimensional, el único politopo regular que llena todo el espacio es el cubo , mientras que los únicos politopos regulares con un grupo de simetría suficientemente grande son el dodecaedro y el icosaedro (sin la segunda restricción, el modelo sufrirá los mismos inconvenientes que el modelo HPP). Por lo tanto, para hacer un modelo que aborde tres dimensiones se requiere un aumento en el número de dimensiones, como en el modelo de 1986 de D'Humières, Lallemand y Frisch, que empleó un modelo de hipercubo centrado en las caras . [12]
La densidad de un lugar se puede determinar contando el número de partículas en cada lugar. Si las partículas se multiplican por la velocidad unitaria antes de sumarlas, se puede obtener el momento en el lugar. [13]
Sin embargo, el cálculo de la densidad, el momento y la velocidad para sitios individuales está sujeto a una gran cantidad de ruido y, en la práctica, se promediaría sobre una región más grande para obtener resultados más razonables. El promedio de conjunto se utiliza a menudo para reducir aún más el ruido estadístico. [14]
Las principales ventajas del modelo de gas en red son que los estados booleanos significan que habrá un cálculo exacto sin ningún error de redondeo debido a la precisión de punto flotante, y que el sistema de autómatas celulares permite ejecutar simulaciones de autómatas de gas en red con computación paralela . [15]
Las desventajas del método de gas en red incluyen la falta de invariancia galileana y ruido estadístico . [16] Otro problema es la dificultad de expandir el modelo para manejar problemas tridimensionales, lo que requiere el uso de más dimensiones para mantener una cuadrícula suficientemente simétrica para abordar tales problemas. [12]
Los autómatas celulares de gas reticular se han adaptado y todavía se utilizan ampliamente para modelar la migración colectiva en biología. Debido a la naturaleza activa de los agentes biológicos, así como a los entornos viscosos en los que viven las células, no se requiere la conservación del momento. Además, los agentes pueden morir o reproducirse, por lo que la conservación de la masa también puede estar ausente. Durante el paso de colisión, las partículas se reorientan estocásticamente siguiendo una distribución de Boltzmann, simulando la interacción local entre individuos.