Modelo HPP

El modelo Hardy-Pomeau-Pazzis (HPP) es un autómata de gas en red fundamental para la simulación de gases y líquidos. Fue un precursor de los métodos de Boltzmann en red . A partir de los autómatas de gas en red, es posible derivar las ecuaciones macroscópicas de Navier-Stokes . ^[1] El interés en los métodos de autómatas de gas en red se estabilizó a principios de la década de 1990, debido al creciente interés en los métodos de Boltzmann en red. ^[2]

Fue introducido por primera vez en artículos publicados en 1973 y 1976 por Jean Hardy, Yves Pomeau y Olivier de Pazzis, ^[3] cuyas iniciales dan nombre al modelo. El modelo puede utilizarse como modelo simple tanto para el movimiento de gases como de fluidos. ^[4]

Modelo

En este modelo, la red adopta la forma de una cuadrícula bidimensional, en la que las partículas pueden moverse hacia cualquiera de los cuatro puntos adyacentes de la cuadrícula que comparten un borde común, y no pueden moverse en diagonal. Esto significa que cada punto de la cuadrícula solo puede tener una de las dieciséis interacciones posibles.

Las partículas sólo existen en los puntos de la cuadrícula, nunca en los bordes o la superficie de la red.
Cada partícula tiene una dirección asociada (de un punto de la cuadrícula a otro punto de la cuadrícula inmediatamente adyacente).
Cada celda de la cuadrícula solo puede contener un máximo de una partícula por dirección, es decir, contener un total de entre cero y cuatro partículas.

Una implementación del modelo HPP. Se utilizó una cuadrícula de 300 x 200 píxeles con una geometría similar a un toro, lo que significa que las partículas que salen de la cuadrícula por la izquierda entran nuevamente por la derecha, las partículas que salen por la parte superior entran por la parte inferior, etc. La densidad de partículas se muestra mediante un píxel blanco que es el más denso con 4 partículas y el negro el menos denso con 0 partículas. La simulación comienza con un cuadrado de alta presión de 100 x 100 en el medio.

Las siguientes reglas también rigen el modelo:

Una sola partícula se mueve en una dirección fija hasta que experimenta una colisión.
Dos partículas que experimentan una colisión frontal se desvían perpendicularmente.
Dos partículas experimentan una colisión que no es frontal, simplemente pasan una a través de la otra y continúan en la misma dirección.
Opcionalmente, cuando una partícula choca con los bordes de una red, puede rebotar.

Los modelos HPP siguen un proceso de actualización de dos etapas.

Paso de colisión

En este paso, se comprueban y aplican las reglas 2, 3 y 4 anteriores si se han producido colisiones. Esto da como resultado que las partículas que chocan de frente cambien de dirección, que las colisiones de paso sigan sin cambios o que las partículas que no chocan simplemente permanezcan iguales.

Paso de transporte

El segundo paso consiste en que cada partícula se mueva un paso reticular en la dirección en la que viaja actualmente, la cual podría haber sido cambiada por el paso de colisión mencionado anteriormente.

Definición formal

El modelo opera en una red cuadrada bidimensional infinita, donde cuatro vectores unitarios están asociados con los siguientes números: . ^[5] $1\mapsto \left({\begin{array}{c}1\\0\end{array}}\right),2\mapsto \left({\begin{array}{c}0\\1\end{array}}\right),3\mapsto \left({\begin{array}{c}-1\\0\end{array}}\right),4\mapsto \left({\begin{array}{c}0\\-1\end{array}}\right)$

Sea una configuración permitida. La función comprueba la existencia de una partícula con una velocidad determinada, mientras que hace lo contrario: $X$ $\sigma _{X}$ ${\bar {\sigma }}_{X}$

$\sigma _{X}(p,q,i)={\begin{cases}1{\text{ if the site }}(p,q){\text{ is occupied by a particle of }}X{\text{ of velocity }}i,\\0{\text{ otherwise.}}\end{cases}}$ ^[5]

${\bar {\sigma }}_{X}(p,q,i)=1-\sigma _{X}(p,q,i)$ ^[5]

El sucesor de la configuración se puede calcular utilizando las fórmulas del artículo original ^[5] : $T(X)$ $X$ ${\begin{array}{lcl}\sigma _{T(X)}(p,q,1)&=&\sigma _{X}(p-1,q,1)-\Psi _{X}(p,q)\\\sigma _{T(X)}(p,q,2)&=&\sigma _{X}(p,q-1,2)+\Psi _{X}(p,q)\\\sigma _{T(X)}(p,q,3)&=&\sigma _{X}(p+1,q,3)-\Psi _{X}(p,q)\\\sigma _{T(X)}(p,q,4)&=&\sigma _{X}(p,q+1,4)+\Psi _{X}(p,q)\end{array}}$ ${\begin{array}{lcl}\Psi _{X}(p,q)&=&\psi _{X}^{1}(p,q)-\psi _{X}^{2}(p,q)\\\psi _{X}^{1}(p,q)&=&\sigma _{X}(p-1,q,1)\sigma _{X}(p+1,q,3){\bar {\sigma }}_{X}(p,q-1,2){\bar {\sigma }}_{X}(p,q+1,4)\\\psi _{X}^{2}(p,q)&=&{\bar {\sigma }}_{X}(p-1,q,1){\bar {\sigma }}_{X}(p+1,q,3)\sigma _{X}(p,q-1,2)\sigma _{X}(p,q+1,4)\end{array}}$

Defectos

El modelo tiene graves defectos, ya que el momento siempre se conserva tanto en el carril horizontal como en el vertical. Nunca se elimina energía del modelo, ni por colisiones ni por movimiento, por lo que continuará indefinidamente.

El modelo HPP carecía de invariancia rotacional , lo que lo hacía altamente anisotrópico . Esto significa, por ejemplo, que los vórtices producidos por el modelo HPP tienen forma cuadrada. ^[6]

Notas

^ Succi, sección 2.3 describe el proceso
^ Succi, sección 2.6
^ Rothman, Daniel H.; Zaleski, Stiphane, eds. (1997), "Un modelo simple de mecánica de fluidos", Autómatas celulares de gas reticular: modelos simples de hidrodinámica compleja , Colección Alea-Saclay: Monografías y textos en física estadística, Cambridge: Cambridge University Press, págs. 1–11, doi :10.1017/CBO9780511524714.002, ISBN 978-0-521-60760-5, consultado el 24 de agosto de 2022
^ Gershenfeld, pág. 103
^ abcd Hardy, J.; Pomeau, Y.; de Pazzis, O. (30 de julio de 1973). "Evolución temporal de un sistema reticular clásico bidimensional". Physical Review Letters . 31 (5): 276–279. doi :10.1103/PhysRevLett.31.276.
^ Succi, nota al pie pág. 22

Referencias

Sauro Succi (2001). La ecuación de Boltzmann en red, para la dinámica de fluidos y más allá . Oxford Science Publications. ISBN 0-19-850398-9.(Capítulo 2 sobre Autómatas celulares de gas en red)
Neil Gershenfeld (1998). La naturaleza del modelado matemático . Cambridge University Press. ISBN 978-0521570954.