celosía entera

Grupo de celosía en el espacio euclidiano cuyos puntos son n-tuplas enteras

Aproximaciones de pentagramas regulares con vértices en una red cuadrada con coordenadas indicadas

Las aproximaciones racionales de valores irracionales se pueden asignar a puntos cercanos a líneas que tienen gradientes correspondientes a los valores.

En matemáticas , la red de enteros de n dimensiones (o red cúbica ), denotada , es la red en el espacio euclidiano cuyos puntos de red son n -tuplas de números enteros . La red de números enteros bidimensionales también se llama red cuadrada o red de cuadrícula. es el ejemplo más simple de una red de raíces . La red de números enteros es una red unimodular impar . ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{n}}$

Grupo de automorfismo

El grupo de automorfismos (o grupo de congruencias ) de la red de números enteros consta de todas las permutaciones y cambios de signo de las coordenadas, y es de orden 2 ⁿ  n !. Como grupo de matrices , viene dado por el conjunto de todas las matrices de permutación con signo de n  ×  n . Este grupo es isomorfo al producto semidirecto.

${\displaystyle (\mathbb {Z} _{2})^{n}\rtimes S_{n}}$

donde el grupo simétrico S _n actúa sobre ( Z ₂ ) ⁿ por permutación (este es un ejemplo clásico de producto de corona ).

Para la red cuadrada, este es el grupo del cuadrado , o el grupo diédrico de orden 8; para la red cúbica tridimensional, obtenemos el grupo del cubo , o grupo octaédrico , de orden 48.

Geometría diofántica

En el estudio de la geometría diofántica , la red cuadrada de puntos con coordenadas enteras a menudo se denomina plano diofántico . En términos matemáticos, el plano diofántico es el producto cartesiano del anillo de todos los números enteros . El estudio de las figuras diofánticas se centra en la selección de nodos en el plano diofántico de modo que todas las distancias por pares sean números enteros. ${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {Z} \times \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {Z} }$

Geometría gruesa

En geometría burda , la red de números enteros es aproximadamente equivalente al espacio euclidiano .

teorema de pick

yo = 7 , segundo = 8 , A = yo +b/2− 1 = 10

El teorema de Pick , descrito por primera vez por Georg Alexander Pick en 1899, proporciona una fórmula para el área de un polígono simple con todos los vértices en una red de enteros bidimensional, en términos del número de puntos enteros dentro de él y en su límite. ^[1]

Sea el número de puntos enteros en el interior del polígono y sea el número de puntos enteros en su límite (incluidos los vértices y los puntos a lo largo de los lados). Entonces el área de este polígono es: ^[2] ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle A}$

$${\displaystyle A=i+{\frac {b}{2}}-1.}$$

${\displaystyle i=7}$ ${\displaystyle b=8}$ ${\displaystyle A=7+{\tfrac {8}{2}}-1=10}$

Ver también

• Cuadrícula regular

Referencias

1. Elegir, Georg (1899). "Geometrisches zur Zahlenlehre". Sitzungsberichte des deutschen naturwissenschaftlich-medicinischen Vereines für Böhmen "Lotos" en Praga . (Neue Folge). 19 : 311–319. JFM  33.0216.01.CitaBank:47270
2. Aigner, Martín ; Ziegler, Günter M. (2018). "Tres aplicaciones de la fórmula de Euler: el teorema de Pick". Pruebas del LIBRO (6ª ed.). Saltador. págs. 93–94. doi :10.1007/978-3-662-57265-8. ISBN 978-3-662-57265-8.

Otras lecturas

• Viejos, CD ; Lax, Anneli ; Davidoff, Giuliana (2000). La geometría de los números . Nueva biblioteca matemática. vol. 41. Asociación Matemática de América. ISBN 0-88385-643-3.