En física cuántica, una anomalía o anomalía cuántica es el fracaso de una simetría de la acción clásica de una teoría para ser una simetría de cualquier regularización de la teoría cuántica completa. [1] [2] En física clásica , una anomalía clásica es el fracaso de una simetría para ser restaurada en el límite en el que el parámetro de ruptura de simetría tiende a cero. Quizás la primera anomalía conocida fue la anomalía disipativa [3] en turbulencia : la reversibilidad temporal permanece rota (y la tasa de disipación de energía finita) en el límite de la viscosidad que se desvanece .
En la teoría cuántica, la primera anomalía descubierta fue la anomalía de Adler–Bell–Jackiw , en la que la corriente vectorial axial se conserva como una simetría clásica de la electrodinámica , pero se rompe con la teoría cuantizada. La relación de esta anomalía con el teorema del índice de Atiyah–Singer fue uno de los logros más celebrados de la teoría. Técnicamente, una simetría anómala en una teoría cuántica es una simetría de la acción , pero no de la medida y, por lo tanto, no de la función de partición en su conjunto.
Una anomalía global es la violación cuántica de la conservación de una corriente de simetría global. Una anomalía global también puede significar que una anomalía global no perturbativa no puede ser capturada por un bucle o cualquier cálculo de diagrama de Feynman perturbativo de bucle; algunos ejemplos incluyen la anomalía de Witten y la anomalía de Wang-Wen-Witten.
La anomalía global más frecuente en física está asociada con la violación de la invariancia de escala por correcciones cuánticas, cuantificada en la renormalización . Dado que los reguladores generalmente introducen una escala de distancia, las teorías clásicamente invariantes de escala están sujetas al flujo del grupo de renormalización , es decir, al cambio de comportamiento con la escala de energía. Por ejemplo, la gran intensidad de la fuerza nuclear fuerte resulta de una teoría que está débilmente acoplada a distancias cortas que fluye a una teoría fuertemente acoplada a distancias largas, debido a esta anomalía de escala.
Las anomalías en las simetrías globales abelianas no plantean problemas en una teoría cuántica de campos y se encuentran a menudo (véase el ejemplo de la anomalía quiral ). En particular, las simetrías anómalas correspondientes se pueden corregir fijando las condiciones de contorno de la integral de trayectoria .
Sin embargo, las anomalías globales en simetrías que se aproximan a la identidad con suficiente rapidez en el infinito plantean problemas. En los ejemplos conocidos, dichas simetrías corresponden a componentes desconectados de simetrías de calibración. Dichas simetrías y posibles anomalías ocurren, por ejemplo, en teorías con fermiones quirales o formas diferenciales autoduales acopladas a la gravedad en 4k + 2 dimensiones, y también en la anomalía de Witten en una teoría de calibración SU(2) de 4 dimensiones ordinaria.
Como estas simetrías se desvanecen en el infinito, no pueden ser limitadas por condiciones de contorno y por lo tanto deben ser sumadas en la integral de trayectoria. La suma de la órbita de calibración de un estado es una suma de fases que forman un subgrupo de U(1). Como hay una anomalía, no todas estas fases son iguales, por lo tanto no es el subgrupo identidad. La suma de las fases en cada uno de los demás subgrupos de U(1) es igual a cero, y por lo tanto todas las integrales de trayectoria son iguales a cero cuando hay tal anomalía y no existe una teoría.
Puede darse una excepción cuando el espacio de configuraciones está desconectado, en cuyo caso se puede tener la libertad de elegir integrar sobre cualquier subconjunto de los componentes. Si las simetrías de calibración desconectadas mapean el sistema entre configuraciones desconectadas, entonces hay en general un truncamiento consistente de una teoría en la que se integra solo sobre aquellos componentes conectados que no están relacionados por grandes transformaciones de calibración. En este caso, las grandes transformaciones de calibración no actúan sobre el sistema y no hacen que la integral de trayectoria se desvanezca.
En la teoría de calibración SU(2) en el espacio de Minkowski de cuatro dimensiones , una transformación de calibración corresponde a la elección de un elemento del grupo unitario especial SU(2) en cada punto del espacio-tiempo. El grupo de dichas transformaciones de calibración es conexo.
Sin embargo, si sólo nos interesa el subgrupo de transformaciones de norma que se anulan en el infinito, podemos considerar la 3-esfera en el infinito como un único punto, ya que las transformaciones de norma se anulan allí de todos modos. Si la 3-esfera en el infinito se identifica con un punto, nuestro espacio de Minkowski se identifica con la 4-esfera. Así, vemos que el grupo de transformaciones de norma que se anulan en el infinito en el 4-espacio de Minkowski es isomorfo al grupo de todas las transformaciones de norma en la 4-esfera.
Este es el grupo que consiste en una elección continua de una transformación de calibre en SU(2) para cada punto de la 4-esfera. En otras palabras, las simetrías de calibre están en correspondencia biunívoca con las funciones de la 4-esfera a la 3-esfera, que es la variedad de grupo de SU(2). El espacio de dichas funciones no está conectado, en cambio los componentes conectados están clasificados por el cuarto grupo de homotopía de la 3-esfera que es el grupo cíclico de orden dos. En particular, hay dos componentes conectados. Uno contiene la identidad y se llama componente identidad , el otro se llama componente desconectado .
Cuando una teoría contiene un número impar de tipos de fermiones quirales, las acciones de las simetrías de calibración en el componente identidad y el componente desconectado del grupo de calibración sobre un estado físico difieren en un signo. Por lo tanto, cuando se suman todas las configuraciones físicas en la integral de trayectoria , se descubre que las contribuciones se dan en pares con signos opuestos. Como resultado, todas las integrales de trayectoria se desvanecen y no existe una teoría.
La descripción anterior de una anomalía global es para la teoría de calibre SU(2) acoplada a un número impar de fermiones de Weyl de espín (iso)1/2 en 4 dimensiones del espacio-tiempo. Esto se conoce como la anomalía SU(2) de Witten. [4] En 2018, Wang, Wen y Witten descubrieron que la teoría de calibre SU(2) acoplada a un número impar de fermiones de Weyl de espín (iso)3/2 en 4 dimensiones del espacio-tiempo tiene otra anomalía global no perturbativa más sutil detectable en ciertas variedades sin espín sin estructura de espín . [5] Esta nueva anomalía se llama la nueva anomalía SU(2). Ambos tipos de anomalías [4] [5] tienen análogos de (1) anomalías de calibre dinámicas para teorías de calibre dinámicas y (2) las anomalías de 't Hooft de simetrías globales. Además, ambos tipos de anomalías son clases módulo 2 (en términos de clasificación, ambos son grupos finitos Z 2 de clases de orden 2), y tienen análogos en 4 y 5 dimensiones espacio-temporales. [5] De manera más general, para cualquier entero natural N, se puede demostrar que un número impar de multipletes de fermiones en representaciones de (iso)-espín 2N+1/2 puede tener la anomalía SU(2); un número impar de multipletes de fermiones en representaciones de (iso)-espín 4N+3/2 puede tener la nueva anomalía SU(2). [5] Para los fermiones en la representación de espín semientero, se demuestra que solo existen estos dos tipos de anomalías SU(2) y las combinaciones lineales de estas dos anomalías; estas clasifican todas las anomalías SU(2) globales. [5] Esta nueva anomalía SU(2) también juega un papel importante para confirmar la consistencia de la gran teoría unificada SO(10) , con un grupo de calibración Spin(10) y fermiones quirales en las representaciones de espinor de 16 dimensiones, definidas en variedades sin espín. [5] [6]
El concepto de simetrías globales se puede generalizar a simetrías globales superiores, [7] de modo que el objeto cargado para la simetría ordinaria de forma 0 es una partícula, mientras que el objeto cargado para la simetría de forma n es un operador extendido de dimensión n. Se ha descubierto que la teoría pura de Yang-Mills de 4 dimensiones con solo campos de calibración SU(2) con un término topológico theta puede tener una anomalía 't Hooft superior mixta entre la simetría de inversión temporal de forma 0 y la simetría central Z 2 de forma 1. [8] La anomalía 't Hooft de la teoría pura de Yang-Mills de 4 dimensiones se puede escribir con precisión como una teoría de campo topológico invertible de 5 dimensiones o matemáticamente como un invariante de bordismo de 5 dimensiones, generalizando la imagen de entrada de anomalías a esta clase Z 2 de anomalía global que involucra simetrías superiores. [9] En otras palabras, podemos considerar la teoría pura de Yang-Mills de 4 dimensiones con un término theta topológico vivo como una condición de contorno de una cierta teoría de campo topológico invertible de clase Z 2 , para que coincida con sus anomalías superiores en el límite de 4 dimensiones. [9]
Las anomalías en las simetrías de calibración conducen a una inconsistencia, ya que se requiere una simetría de calibración para cancelar grados de libertad no físicos con una norma negativa (como un fotón polarizado en la dirección del tiempo). Un intento de cancelarlas, es decir, construir teorías consistentes con las simetrías de calibración, a menudo conduce a restricciones adicionales en las teorías (tal es el caso de la anomalía de calibración en el Modelo Estándar de física de partículas). Las anomalías en las teorías de calibración tienen conexiones importantes con la topología y la geometría del grupo de calibración .
Las anomalías en las simetrías de calibración se pueden calcular exactamente en el nivel de un bucle. En el nivel de árbol (bucles cero), se reproduce la teoría clásica. Los diagramas de Feynman con más de un bucle siempre contienen propagadores internos de bosones . Como a los bosones siempre se les puede dar una masa sin romper la invariancia de calibración, es posible una regularización de Pauli-Villars de dichos diagramas mientras se preserva la simetría. Siempre que la regularización de un diagrama sea consistente con una simetría dada, ese diagrama no genera una anomalía con respecto a la simetría.
Las anomalías de calibre vectoriales son siempre anomalías quirales . Otro tipo de anomalía de calibre es la anomalía gravitacional .
Las anomalías cuánticas se descubrieron mediante el proceso de renormalización , cuando algunas integrales divergentes no se pueden regularizar de tal manera que todas las simetrías se conserven simultáneamente. Esto está relacionado con la física de alta energía. Sin embargo, debido a la condición de coincidencia de anomalías de Gerard 't Hooft , cualquier anomalía quiral se puede describir ya sea por los grados de libertad UV (aquellos relevantes a altas energías) o por los grados de libertad IR (aquellos relevantes a bajas energías). Por lo tanto, no se puede cancelar una anomalía mediante una compleción UV de una teoría: una simetría anómala simplemente no es una simetría de una teoría, aunque clásicamente parezca serlo.
Dado que la cancelación de anomalías es necesaria para la consistencia de las teorías de calibre, dichas cancelaciones son de importancia central para restringir el contenido de fermiones del modelo estándar , que es una teoría de calibre quiral.
Por ejemplo, la desaparición de la anomalía mixta que involucra dos generadores SU(2) y una hipercarga U(1) restringe la suma de todas las cargas en una generación de fermiones a cero, [10] [11] y por lo tanto dicta que la suma del protón más la suma del electrón se desvanecen: las cargas de los quarks y los leptones deben ser conmensurables . Específicamente, para dos campos de calibración externos W a , W b y una hipercarga B en los vértices del diagrama triangular, la cancelación del triángulo requiere
Así, para cada generación, las cargas de los leptones y los quarks están equilibradas, , de donde Q p + Q e = 0 [ cita requerida ] .
La cancelación de anomalías en SM también se utilizó para predecir un quark de tercera generación, el quark top . [12]
Otros mecanismos de este tipo incluyen:
En la descripción moderna de las anomalías clasificadas por la teoría del cobordismo , [13] los grafos de Feynman-Dyson sólo capturan las anomalías locales perturbativas clasificadas por clases enteras Z también conocidas como la parte libre. Existen anomalías globales no perturbativas clasificadas por grupos cíclicos Z / n clases Z también conocidas como la parte de torsión.
Es ampliamente conocido y comprobado a finales del siglo XX que el modelo estándar y las teorías de calibración quirales están libres de anomalías locales perturbativas (capturadas por los diagramas de Feynman ). Sin embargo, no está del todo claro si existen anomalías globales no perturbativas para el modelo estándar y las teorías de calibración quirales. Los desarrollos recientes [14] [15] [16] basados en la teoría del cobordismo examinan este problema, y varias anomalías globales no triviales adicionales encontradas pueden restringir aún más estas teorías de calibración. También existe una formulación de la descripción local perturbativa y global no perturbativa de la entrada de anomalías en términos de Atiyah , Patodi y Singer [17] [18] invariante eta en una dimensión superior. Este invariante eta es un invariante de cobordismo siempre que las anomalías locales perturbativas se anulen. [19]
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