Integración funcional

Integración sobre el espacio de funciones.

La integración funcional es una colección de resultados en matemáticas y física donde el dominio de una integral ya no es una región del espacio, sino un espacio de funciones . Las integrales funcionales surgen en la probabilidad , en el estudio de ecuaciones diferenciales parciales y en el enfoque integral de trayectoria de la mecánica cuántica de partículas y campos.

En una integral ordinaria (en el sentido de integración de Lebesgue ) hay una función a integrar (el integrando) y una región del espacio sobre la cual integrar la función (el dominio de integración). El proceso de integración consiste en sumar los valores del integrando para cada punto del dominio de integración. Hacer que este procedimiento sea riguroso requiere un procedimiento limitante, donde el dominio de la integración se divida en regiones cada vez más pequeñas. Para cada región pequeña, el valor del integrando no puede variar mucho, por lo que puede reemplazarse por un valor único. En una integral funcional el dominio de integración es un espacio de funciones. Para cada función, el integrando devuelve un valor para sumar. Hacer que este procedimiento sea riguroso plantea desafíos que siguen siendo temas de investigación actual.

La integración funcional fue desarrollada por Percy John Daniell en un artículo de 1919 ^[1] y Norbert Wiener en una serie de estudios que culminaron en sus artículos de 1921 sobre el movimiento browniano . Desarrollaron un método riguroso (ahora conocido como medida de Wiener ) para asignar una probabilidad a la trayectoria aleatoria de una partícula. Richard Feynman desarrolló otra integral funcional, la integral de trayectoria , útil para calcular las propiedades cuánticas de los sistemas. En la integral de trayectoria de Feynman, la noción clásica de una trayectoria única para una partícula se reemplaza por una suma infinita de trayectorias clásicas, cada una ponderada de manera diferente según sus propiedades clásicas.

La integración funcional es fundamental para las técnicas de cuantificación en física teórica. Las propiedades algebraicas de las integrales funcionales se utilizan para desarrollar series utilizadas para calcular propiedades en electrodinámica cuántica y el modelo estándar de física de partículas.

Integración funcional

Mientras que la integración estándar de Riemann suma una función f ( x ) en un rango continuo de valores de x , la integración funcional suma una función G [ f ], que puede considerarse como una "función de una función" en un rango continuo (o espacio). ) de funciones f . La mayoría de las integrales funcionales no pueden evaluarse exactamente, sino que deben evaluarse utilizando métodos de perturbación . La definición formal de integral funcional es

$${\displaystyle \int G[f]\;{\mathcal {D}}[f]\equiv \int _{\mathbb {R} }\cdots \int _{\mathbb {R} }G[f]\prod _{x}df(x)\;.}$$

Sin embargo, en la mayoría de los casos las funciones f ( x ) se pueden escribir en términos de una serie infinita de funciones ortogonales como , y luego la definición se convierte en ${\displaystyle f(x)=f_{n}H_{n}(x)}$

$${\displaystyle \int G[f]\;{\mathcal {D}}[f]\equiv \int _{\mathbb {R} }\cdots \int _{\mathbb {R} }G(f_{1};f_{2};\ldots )\prod _{n}df_{n}\;,}$$

lo cual es un poco más comprensible. Se demuestra que la integral es una integral funcional con mayúscula . A veces el argumento se escribe entre corchetes , para indicar la dependencia funcional de la función en la medida de integración funcional. ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}[f]}$

Ejemplos

La mayoría de las integrales funcionales son en realidad infinitas, pero a menudo el límite del cociente de dos integrales funcionales relacionadas puede seguir siendo finito. Las integrales funcionales que se pueden evaluar con exactitud suelen comenzar con la siguiente integral gaussiana :

${\displaystyle {\frac {\displaystyle \int \exp \left\lbrace -{\frac {1}{2}}\int _{\mathbb {R} }\left[\int _{\mathbb {R} }f(x)K(x;y)f(y)\,dy+J(x)f(x)\right]dx\right\rbrace {\mathcal {D}}[f]}{\displaystyle \int \exp \left\lbrace -{\frac {1}{2}}\int _{\mathbb {R} ^{2}}f(x)K(x;y)f(y)\,dx\,dy\right\rbrace {\mathcal {D}}[f]}}=\exp \left\lbrace {\frac {1}{2}}\int _{\mathbb {R} ^{2}}J(x)\cdot K^{-1}(x;y)\cdot J(y)\,dx\,dy\right\rbrace \,,}$

en el cual . Al diferenciar funcionalmente esto con respecto a J ( x ) y luego establecerlo en 0, esto se convierte en un exponencial multiplicado por un monomio en f . Para ver esto, usemos la siguiente notación: ${\displaystyle K(x;y)=K(y;x)}$

${\displaystyle G[f,J]=-{\frac {1}{2}}\int _{\mathbb {R} }\left[\int _{\mathbb {R} }f(x)K(x;y)f(y)\,dy+J(x)f(x)\right]dx\,\quad ,\quad W[J]=\int \exp \lbrace G[f,J]\rbrace {\mathcal {D}}[f]\;.}$

Con esta notación la primera ecuación se puede escribir como:

${\displaystyle {\dfrac {W[J]}{W[0]}}=\exp \left\lbrace {\frac {1}{2}}\int _{\mathbb {R} ^{2}}J(x)K^{-1}(x;y)J(y)\,dx\,dy\right\rbrace .}$

Ahora, llevando las derivadas funcionales a la definición de y luego evaluando en , se obtiene: ${\displaystyle W[J]}$ ${\displaystyle J=0}$

${\displaystyle {\dfrac {\delta }{\delta J(a)}}W[J]{\Bigg |}_{J=0}=\int f(a)\exp \lbrace G[f,0]\rbrace {\mathcal {D}}[f]\;,}$

${\displaystyle {\dfrac {\delta ^{2}W[J]}{\delta J(a)\delta J(b)}}{\Bigg |}_{J=0}=\int f(a)f(b)\exp \lbrace G[f,0]\rbrace {\mathcal {D}}[f]\;,}$

${\displaystyle \qquad \qquad \qquad \qquad \vdots }$

cual es el resultado esperado. Además, utilizando la primera ecuación se llega al resultado útil:

${\displaystyle {\dfrac {\delta ^{2}}{\delta J(a)\delta J(b)}}\left({\dfrac {W[J]}{W[0]}}\right){\Bigg |}_{J=0}=K^{-1}(a;b)\;;}$

Juntando estos resultados y respaldando la notación original tenemos:

${\displaystyle {\frac {\displaystyle \int f(a)f(b)\exp \left\lbrace -{\frac {1}{2}}\int _{\mathbb {R} ^{2}}f(x)K(x;y)f(y)\,dx\,dy\right\rbrace {\mathcal {D}}[f]}{\displaystyle \int \exp \left\lbrace -{\frac {1}{2}}\int _{\mathbb {R} ^{2}}f(x)K(x;y)f(y)\,dx\,dy\right\rbrace {\mathcal {D}}[f]}}=K^{-1}(a;b)\,.}$

Otra integral útil es la función delta funcional :

${\displaystyle \int \exp \left\lbrace \int _{\mathbb {R} }f(x)g(x)dx\right\rbrace {\mathcal {D}}[f]=\delta [g]=\prod _{x}\delta {\big (}g(x){\big )},}$

lo cual es útil para especificar restricciones. Las integrales funcionales también se pueden realizar sobre funciones valoradas por Grassmann , donde , lo cual es útil en electrodinámica cuántica para cálculos que involucran fermiones . ${\displaystyle \psi (x)}$ ${\displaystyle \psi (x)\psi (y)=-\psi (y)\psi (x)}$

Enfoques de integrales de trayectoria

Las integrales funcionales donde el espacio de integración consta de caminos ( ν = 1) se pueden definir de muchas maneras diferentes. Las definiciones se dividen en dos clases diferentes: las construcciones derivadas de la teoría de Wiener producen una integral basada en una medida , mientras que las construcciones que siguen la integral de trayectoria de Feynman no. Incluso dentro de estas dos divisiones amplias, las integrales no son idénticas, es decir, se definen de manera diferente para diferentes clases de funciones.

La integral de Viena

En la integral de Wiener , se asigna una probabilidad a una clase de trayectorias de movimiento brownianas . La clase consta de los caminos w que se sabe que pasan por una pequeña región del espacio en un momento dado. El paso a través de diferentes regiones del espacio se supone independientes entre sí, y la distancia entre dos puntos cualesquiera del camino browniano se supone que tiene una distribución gaussiana con una varianza que depende del tiempo t y de una constante de difusión D :

${\displaystyle \Pr {\big (}w(s+t),t\mid w(s),s{\big )}={\frac {1}{\sqrt {2\pi Dt}}}\exp \left(-{\frac {\|w(s+t)-w(s)\|^{2}}{2Dt}}\right).}$

La probabilidad de la clase de caminos se puede encontrar multiplicando las probabilidades de comenzar en una región y luego estar en la siguiente. La medida de Wiener se puede desarrollar considerando el límite de muchas regiones pequeñas.

• Cálculo de Ito y Stratonovich

La integral de Feynman

• Fórmula de Trotter o fórmula de producto de Lie .
• La idea de Kac de las rotaciones de Wick.
• Usando x-punto-punto-cuadrado o i S[x] + x-punto-cuadrado.
• El Cartier DeWitt-Morette se basa en integradores más que en medidas

La integral de Lévy

• Mecánica cuántica fraccionada
• Ecuación fraccionaria de Schrödinger
• proceso de levy
• Mecánica estadística fraccionaria

Ver también

• Integral de trayectoria de Feynman
• Función de partición (teoría cuántica de campos)
• Aproximación del punto de silla

Referencias

1. Daniell, PJ (julio de 1919). "Integrales en un número infinito de dimensiones". Los Anales de las Matemáticas . Segunda Serie. 20 (4): 281–288. doi :10.2307/1967122. JSTOR  1967122.

Otras lecturas

• Jean Zinn-Justin (2009), Scholarpedia 4(2):8674.
• Kleinert, Hagen , Path Integrals in Quantum Mechanics, Statistics, Polymer Physics, and Financial Markets , 4ª edición, World Scientific (Singapur, 2004); Tapa blanda ISBN 981-238-107-4 (también disponible en línea: archivos PDF) 
• Laskin, Nick (2000). "Mecánica cuántica fraccionada". Revisión física E. 62 (3): 3135–3145. arXiv : 0811.1769 . Código Bib : 2000PhRvE..62.3135L. doi : 10.1103/PhysRevE.62.3135. PMID  11088808. S2CID  15480739.
• Laskin, Nick (2002). "Ecuación de Schrödinger fraccional". Revisión física E. 66 (5): 056108. arXiv : quant-ph/0206098 . Código bibliográfico : 2002PhRvE..66e6108L. doi : 10.1103/PhysRevE.66.056108. PMID  12513557. S2CID  7520956.
• Minlos, RA (2001) [1994], "Integral sobre trayectorias", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
• OG Smolyanov, ET Shavgulidze. Integrales continuas . Moscú, Prensa de la Universidad Estatal de Moscú, 1990. (en ruso). http://lib.mexmat.ru/books/5132
• Victor Popov , Integrales funcionales en teoría cuántica de campos y física estadística, Springer 1983
• Sergio Albeverio , Sonia Mazzucchi, Un enfoque unificado para la integración de dimensiones infinitas, Reviews in Mathematical Physics, 28, 1650005 (2016)