Acción (física)

Cantidad física de dimensión energía × tiempo

En física , la acción es una cantidad escalar que describe cómo el equilibrio entre la energía cinética y la potencial de un sistema físico cambia con la trayectoria. La acción es importante porque es una entrada al principio de acción estacionaria , un enfoque de la mecánica clásica que es más simple para múltiples objetos. ^[1] La acción y el principio variacional se utilizan en la mecánica cuántica de Feynman ^[2] y en la relatividad general. ^[3] Para sistemas con valores de acción pequeños similares a la constante de Planck, los efectos cuánticos son significativos. ^[4]

En el caso simple de una sola partícula que se mueve con una velocidad constante (y por lo tanto experimenta un movimiento lineal uniforme ), la acción es el impulso de la partícula multiplicado por la distancia que se mueve, sumados a lo largo de su trayectoria; De manera equivalente, la acción es la diferencia entre la energía cinética de la partícula y su energía potencial , multiplicada por el tiempo durante el cual tiene esa cantidad de energía.

Más formalmente, la acción es una función matemática que toma la trayectoria (también llamada camino o historia) del sistema como argumento y tiene un número real como resultado. Generalmente, la acción toma valores diferentes para diferentes caminos. ^[5] La acción tiene dimensiones de energía  ×  tiempo o impulso  ×  longitud , y su unidad SI es julio -segundo (como la constante de Planck h ). ^[6]

Introducción

La introducción a la física a menudo comienza con las leyes del movimiento de Newton , que relacionan fuerza y ​​movimiento; La acción es parte de un enfoque alternativo completamente equivalente con ventajas prácticas y educativas. ^[1]

Ejemplo sencillo

Para una trayectoria de una pelota de béisbol que se mueve en el aire de la Tierra, la acción se define entre dos puntos en el tiempo, y como la energía cinética menos la energía potencial, integrada en el tiempo. ^[4] ${\displaystyle t_{1}}$ ${\displaystyle t_{2}}$

${\displaystyle S=\int _{t_{1}}^{t_{2}}\left(KE(t)-PE(t)\right)dt}$

La acción equilibra la energía cinética con la potencial. ^[4] La energía cinética de una pelota de béisbol de masa es donde está la velocidad de la pelota; la energía potencial es donde está la constante gravitacional. Entonces la acción entre y es ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle (1/2)mv^{2}}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle mgx}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle t_{1}}$ ${\displaystyle t_{2}}$

${\displaystyle S=\int _{t_{1}}^{t_{2}}\left({\frac {1}{2}}mv^{2}(t)-mgx(t)\right)dt}$

El valor de la acción depende de la trayectoria tomada por la pelota de béisbol a través de y . Esto hace que la acción sea una entrada al poderoso principio de acción estacionaria de la mecánica clásica y cuántica . Las ecuaciones de movimiento de Newton para la pelota de béisbol se pueden derivar de la acción utilizando el principio de acción estacionaria, pero las ventajas de la mecánica basada en la acción sólo comienzan a aparecer en los casos en que las leyes de Newton son difíciles de aplicar. Sustituir la pelota de béisbol por un electrón: la mecánica clásica falla pero la acción estacionaria sigue funcionando. ^[4] La diferencia de energía en la definición de acción simple, energía cinética menos energía potencial, se generaliza y se denomina lagrangiana para casos más complejos. ${\displaystyle x(t)}$ ${\displaystyle v(t)}$

El cuanto de acción de Planck

La constante de Planck , escrita como o al incluir un factor de , se llama cuanto de acción . ^[7] Al igual que la acción, esta constante tiene una unidad de energía multiplicada por el tiempo. Figura en todas las ecuaciones cuánticas importantes, como el principio de incertidumbre y la longitud de onda de De Broglie . Siempre que el valor de la acción se acerca a la constante de Planck, los efectos cuánticos son significativos. ^[4] La acción más pequeña posible es ; los valores de acción mayores deben ser múltiplos enteros de este cuanto. ^[8] ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle \hbar }$ ${\displaystyle 1/2\pi }$ ${\displaystyle \hbar /2}$

La energía de los cuantos de luz, aumenta con la frecuencia , pero el producto de la energía y el tiempo para una vibración de una onda de luz (la acción de los cuantos) es la constante . ^[9] ${\displaystyle E=\hbar \omega }$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \hbar }$

Historia

Pierre Louis Maupertuis y Leonhard Euler , trabajando en la década de 1740, desarrollaron las primeras versiones del principio de acción. Joseph Louis Lagrange aclaró las matemáticas cuando inventó el cálculo de variaciones . William Rowan Hamilton hizo el siguiente gran avance al formular el principio de Hamilton en 1853. ^{[10] : 740} El principio de Hamilton se convirtió en la piedra angular del trabajo clásico con diferentes formas de acción hasta que Richard Feynman y Julian Schwinger desarrollaron principios de acción cuántica. ^{[11] : 127}

Definiciones

Expresada en lenguaje matemático, utilizando el cálculo de variaciones , la evolución de un sistema físico (es decir, cómo el sistema realmente progresa de un estado a otro) corresponde a un punto estacionario (normalmente, un mínimo) de la acción. La acción tiene las dimensiones de [energía]  ×  [tiempo] y su unidad SI es julio -segundo, que es idéntica a la unidad de momento angular .

En física se utilizan comúnmente varias definiciones diferentes de "la acción". ^{[12] [13]} La acción suele ser integral en el tiempo. Sin embargo, cuando la acción pertenece a campos , también puede integrarse sobre variables espaciales. En algunos casos, la acción se integra a lo largo del camino seguido por el sistema físico.

La acción generalmente se representa como una integral en el tiempo, tomada a lo largo del camino del sistema entre el momento inicial y el momento final del desarrollo del sistema: ^[12]

$${\displaystyle {\mathcal {S}}=\int _{t_{1}}^{t_{2}}L\,dt,}$$

Llagrangiano

Acción (funcional)

Más comúnmente, el término se usa para un funcional que toma una función de tiempo y (para campos ) espacio como entrada y devuelve un escalar . ^{[14] [15]} En mecánica clásica , la función de entrada es la evolución q ( t ) del sistema entre dos tiempos t ₁ y t ₂ , donde q representa las coordenadas generalizadas . La acción se define como la integral del Lagrangiano L para una evolución de entrada entre los dos tiempos: ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}[\mathbf {q} (t)]}$

$${\displaystyle {\mathcal {S}}[\mathbf {q} (t)]=\int _{t_{1}}^{t_{2}}L(\mathbf {q} (t),{\dot {\mathbf {q} }}(t),t)\,dt,}$$

el principio de Hamiltonq _verdaderatestacionariapunto de sillala mecánica lagrangiana ${\displaystyle \mathbf {q} _{1}=\mathbf {q} (t_{1})}$ ${\displaystyle \mathbf {q} _{2}=\mathbf {q} (t_{2})}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}[\mathbf {q} (t)]}$

Acción abreviada (funcional)

Además del funcional de acción, existe otro funcional llamado acción abreviada . En la acción abreviada, la función de entrada es el camino que sigue el sistema físico sin tener en cuenta su parametrización en el tiempo. Por ejemplo, la trayectoria de una órbita planetaria es una elipse y la trayectoria de una partícula en un campo gravitacional uniforme es una parábola; en ambos casos, el camino no depende de qué tan rápido lo recorra la partícula.

La acción abreviada (a veces escrita como ) se define como la integral de los momentos generalizados, ${\displaystyle {\mathcal {S}}_{0}}$ ${\displaystyle W}$

$${\displaystyle p_{i}={\frac {\partial L(q,t)}{\partial {\dot {q}}_{i}}},}$$

coordenadas generalizadas ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle q_{i}}$

$${\displaystyle {\mathcal {S}}_{0}=\int _{q_{1}}^{q_{2}}\mathbf {p} \cdot d\mathbf {q} =\int _{q_{1}}^{q_{2}}\Sigma _{i}p_{i}\,dq_{i}.}$$

el principio de Maupertuisestacionaria ${\displaystyle q_{1}}$ ${\displaystyle q_{2}}$

La función característica de Hamilton.

Cuando se conserva la energía total E , la ecuación de Hamilton-Jacobi se puede resolver con la separación aditiva de variables : ^{[12] : 225}

$${\displaystyle S(q_{1},\dots ,q_{N},t)=W(q_{1},\dots ,q_{N})-E\cdot t,}$$

Wq ₁q ₂q _Nfunción característica de Hamilton

$${\displaystyle {\frac {dW}{dt}}={\frac {\partial W}{\partial q_{i}}}{\dot {q}}_{i}=p_{i}{\dot {q}}_{i}.}$$

Esto se puede integrar para dar

$${\displaystyle W(q_{1},\dots ,q_{N})=\int p_{i}{\dot {q}}_{i}\,dt=\int p_{i}\,dq_{i},}$$

que es solo la acción abreviada. ^{[16] : 434}

Acción de una coordenada generalizada.

Una variable J _k en las coordenadas del ángulo de acción , llamada "acción" de la coordenada generalizada q _k , se define integrando un único impulso generalizado alrededor de una trayectoria cerrada en el espacio de fase , correspondiente al movimiento de rotación u oscilación: ^{[16] : 454}

$${\displaystyle J_{k}=\oint p_{k}\,dq_{k}}$$

La variable canónica correspondiente conjugada con J _k es su "ángulo" w _k , por razones que se describen con más detalle en las coordenadas del ángulo de acción . La integración es solo sobre una única variable q _k y, por lo tanto, a diferencia del producto escalar integrado en la integral de acción abreviada anterior. La variable J _k es igual al cambio en S _k ( q _k ) a medida que q _k varía alrededor del camino cerrado. Para varios sistemas físicos de interés, J _k es constante o varía muy lentamente; por lo tanto, la variable J _k se utiliza a menudo en cálculos de perturbaciones y para determinar invariantes adiabáticas . Por ejemplo, se utilizan en el cálculo de órbitas planetarias y de satélites. ^{[16] : 477}

Partícula relativista única

Cuando los efectos relativistas son significativos, la acción de una partícula puntual de masa m que viaja por una línea universal C parametrizada por el tiempo adecuado es ${\displaystyle \tau }$

$${\displaystyle S=-mc^{2}\int _{C}\,d\tau .}$$

Si, en cambio, la partícula está parametrizada por el tiempo de coordenadas t de la partícula y el tiempo de coordenadas varía de t ₁ a t ₂ , entonces la acción se convierte en

$${\displaystyle S=\int _{t1}^{t2}L\,dt,}$$

donde está el lagrangiano ^[17]

$${\displaystyle L=-mc^{2}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}.}$$

Los principios de acción e ideas relacionadas.

Las leyes físicas se expresan frecuentemente como ecuaciones diferenciales , que describen cómo las cantidades físicas, como la posición y el momento , cambian continuamente con el tiempo , el espacio o una generalización de los mismos. Dadas las condiciones iniciales y de contorno de la situación, la "solución" de estas ecuaciones empíricas es una o más funciones que describen el comportamiento del sistema y se denominan ecuaciones de movimiento .

La acción es parte de un enfoque alternativo para encontrar tales ecuaciones de movimiento. La mecánica clásica postula que el camino realmente seguido por un sistema físico es aquel cuya acción es minimizada , o más generalmente, es estacionaria . En otras palabras, la acción satisface un principio variacional : el principio de acción estacionaria (ver también más abajo). La acción está definida por una integral , y las ecuaciones clásicas de movimiento de un sistema se pueden derivar minimizando el valor de esa integral.

El principio de acción proporciona conocimientos profundos sobre la física y es un concepto importante en la física teórica moderna . A continuación se resumen varios principios de acción y conceptos relacionados.

principio de maupertuis

En mecánica clásica, el principio de Maupertuis (llamado así por Pierre Louis Maupertuis) establece que el camino seguido por un sistema físico es el de menor longitud (con una interpretación adecuada de camino y longitud). El principio de Maupertuis utiliza la acción abreviada entre dos puntos generalizados en una trayectoria.

La función principal de Hamilton

El principio de Hamilton establece que las ecuaciones diferenciales de movimiento de cualquier sistema físico pueden reformularse como una ecuación integral equivalente . Por tanto, existen dos enfoques distintos para formular modelos dinámicos.

El principio de Hamilton se aplica no sólo a la mecánica clásica de una sola partícula, sino también a campos clásicos como los campos electromagnético y gravitacional . El principio de Hamilton también se ha extendido a la mecánica cuántica y la teoría cuántica de campos (en particular, la formulación integral de trayectoria de la mecánica cuántica hace uso del concepto), donde un sistema físico explora todos los caminos posibles, determinando la fase de la amplitud de probabilidad para cada camino. por la acción por el camino; la amplitud de probabilidad final suma todos los caminos utilizando su amplitud y fase complejas. ^[18]

Ecuación de Hamilton-Jacobi

La función principal de Hamilton se obtiene a partir de la acción funcional fijando el tiempo inicial y el punto final inicial mientras se permite que varíen el límite de tiempo superior y el segundo punto final . La función principal de Hamilton satisface la ecuación de Hamilton-Jacobi, una formulación de la mecánica clásica . Debido a una similitud con la ecuación de Schrödinger , la ecuación de Hamilton-Jacobi proporciona, posiblemente, el vínculo más directo con la mecánica cuántica . ${\displaystyle S=S(q,t;q_{0},t_{0})}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle t_{0}}$ ${\displaystyle q_{0},}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle q}$

Ecuaciones de Euler-Lagrange

En la mecánica lagrangiana, el requisito de que la integral de acción sea estacionaria bajo pequeñas perturbaciones es equivalente a un conjunto de ecuaciones diferenciales (llamadas ecuaciones de Euler-Lagrange) que pueden obtenerse mediante el cálculo de variaciones .

Campos clásicos

El principio de acción se puede ampliar para obtener las ecuaciones de movimiento para campos, como el campo electromagnético o el campo gravitacional . Las ecuaciones de Maxwell se pueden derivar como condiciones de acción estacionaria .

La ecuación de Einstein utiliza la acción de Einstein-Hilbert restringida por un principio variacional . La trayectoria (camino en el espacio-tiempo ) de un cuerpo en un campo gravitacional se puede encontrar utilizando el principio de acción. Para un cuerpo en caída libre, esta trayectoria es geodésica .

Leyes de conservación

Las implicaciones de las simetrías en una situación física se pueden encontrar en el principio de acción, junto con las ecuaciones de Euler-Lagrange , que se derivan del principio de acción. Un ejemplo es el teorema de Noether , que establece que a toda simetría continua en una situación física le corresponde una ley de conservación (y viceversa). Esta conexión profunda requiere que se asuma el principio de acción. ^[18]

Formulación integral de camino de la teoría cuántica de campos.

En mecánica cuántica, el sistema no sigue un único camino cuya acción sea estacionaria, sino que el comportamiento del sistema depende de todos los caminos permitidos y del valor de su acción. La acción correspondiente a los distintos caminos se utiliza para calcular la integral de camino , que proporciona las amplitudes de probabilidad de los distintos resultados.

Aunque equivalente en mecánica clásica a las leyes de Newton , el principio de acción se adapta mejor a las generalizaciones y desempeña un papel importante en la física moderna. De hecho, este principio es una de las grandes generalizaciones de la ciencia física. Se comprende mejor en la mecánica cuántica, particularmente en la formulación de integral de trayectoria de Richard Feynman , donde surge de la interferencia destructiva de amplitudes cuánticas.

Extensiones modernas

El principio de acción puede generalizarse aún más. Por ejemplo, la acción no necesita ser integral, porque las acciones no locales son posibles. El espacio de configuración ni siquiera necesita ser un espacio funcional , dadas ciertas características como la geometría no conmutativa . Sin embargo, aún queda por establecer experimentalmente una base física para estas extensiones matemáticas. ^[14]

Ver también

• Cálculo de variaciones
• Derivado funcional
• integral funcional
• Mecánica hamiltoniana
• lagrangiano
• Mecánica lagrangiana
• Medida (física)
• teorema de noether
• Formulación integral de camino
• Principio de mínima acción
• Principio de máxima entropía
• Algunas acciones:
  • Acción Nambu-Goto
  • acción de poliakov
  • Acción de Bagger-Lambert-Gustavsson
  • Acción de Einstein-Hilbert

Referencias

1. Neuenschwander, Dwight E.; Taylor, Edwin F.; Tuleja, Slavomir (1 de marzo de 2006). "Acción: obligar a la energía a predecir el movimiento". El Profesor de Física . 44 (3): 146-152. doi :10.1119/1.2173320. ISSN  0031-921X.
2. Ogborn, Jon; Taylor, Edwin F (1 de enero de 2005). "La física cuántica explica las leyes del movimiento de Newton" (PDF) . Educación Física . 40 (1): 26–34. doi :10.1088/0031-9120/40/1/001. ISSN  0031-9120. S2CID  250809103.
3. Taylor, Edwin F. (1 de mayo de 2003). "Una llamada a la acción". Revista Estadounidense de Física . 71 (5): 423–425. doi :10.1119/1.1555874. ISSN  0002-9505.
4. "Las Conferencias Feynman sobre Física Vol. II Capítulo 19: El principio de mínima acción". www.feynmanlectures.caltech.edu . Consultado el 3 de noviembre de 2023 .
5. Goodman, Bernard (1993). "Acción". En Parker, SP (ed.). Enciclopedia de Física McGraw-Hill (2ª ed.). Nueva York: McGraw-Hill. pag. 22.ISBN _ 0-07-051400-3.
6. Stehle, Philip M. (1993). "Principio de mínima acción". En Parker, SP (ed.). Enciclopedia de Física McGraw-Hill (2ª ed.). Nueva York: McGraw-Hill. pag. 670.ISBN _ 0-07-051400-3.
7. "Conferencia Nobel de Max Planck". Archivado desde el original el 14 de julio de 2023 . Consultado el 14 de julio de 2023 .
8. Curtis, Lorenzo J (1 de septiembre de 2011). "Una perspectiva del siglo XXI como introducción a la física". Revista Europea de Física . 32 (5): 1259-1274. doi :10.1088/0143-0807/32/5/014. ISSN  0143-0807. S2CID  34765637.
9. Tarifa, Jerome (1942). "Maupertuis y el principio de mínima acción". Científico americano . 30 (2): 149-158. ISSN  0003-0996. JSTOR  27825934.
10. Kline, Morris (1972). Pensamiento Matemático desde la Antigüedad hasta la Modernidad . Nueva York: Oxford University Press. págs. 167-168. ISBN 0-19-501496-0.
11. Yourgrau, Wolfgang; Mandelstam, Stanley (1979). Principios variacionales en dinámica y teoría cuántica . Libros de Dover sobre física y química (Republ. de la 3ª ed., publ. en 1968 ed.). Nueva York, Nueva York: Dover Publ. ISBN 978-0-486-63773-0.
12. Mecánica analítica, LN Hand, JD Finch, Cambridge University Press, 2008, ISBN 978-0-521-57572-0 
13. Enciclopedia de física (segunda edición), RG Lerner , GL Trigg, editores VHC, 1991, ISBN 3-527-26954-1 (Verlagsgesellschaft), ISBN 0-89573-752-3 (VHC Inc.)  
14. El camino a la realidad, Roger Penrose, Libros antiguos, 2007, ISBN 0-679-77631-1 
15. TWB Kibble, Mecánica clásica , Serie europea de física, McGraw-Hill (Reino Unido), 1973, ISBN 0-07-084018-0 
16. Goldstein, Herbert; Poole, Charles P.; Safko, John L. (2008). Mecánica clásica (3, [Nachdr.] ed.). San Francisco Múnich: Addison Wesley. ISBN 978-0-201-65702-9.
17. LD Landau y EM Lifshitz (1971). La teoría clásica de los campos . Addison-Wesley. Segundo. 8. pág. 24–25.
18. Mecánica cuántica, E. Abers, Pearson Ed., Addison Wesley, Prentice Hall Inc, 2004, ISBN 978-0-13-146100-0 

Otras lecturas

• Manual de fórmulas físicas de Cambridge , G. Woan, Cambridge University Press, 2010, ISBN 978-0-521-57507-2 . 
• Dare A. Wells, Lagrangian Dynamics, Schaum's Outline Series (McGraw-Hill, 1967) ISBN 0-07-069258-0 , un "esquema" completo de 350 páginas sobre el tema. 

enlaces externos

• Principio de mínima acción interactiva Explicación interactiva/página web