Teoría de campos conforme 2D utilizada en la teoría de cuerdas
En física , la acción de Polyakov es una acción de la teoría de campos conforme bidimensional que describe la hoja del mundo de una cuerda en la teoría de cuerdas . Fue introducido por Stanley Deser y Bruno Zumino e independientemente por L. Brink , P. Di Vecchia y PS Howe en 1976, [1] [2] y se ha asociado con Alexander Polyakov después de que lo utilizó para cuantificar la cuerda en 1981. [3] La acción dice:
donde es la tensión de la cuerda , es la métrica de la variedad objetivo , es la métrica de la hoja mundial, su inversa y es el determinante de . La firma métrica se elige de modo que las direcciones temporales sean + y las direcciones espaciales sean −. La coordenada de la hoja de mundo espacial se llama , mientras que la coordenada de la hoja de mundo temporal se llama . Esto también se conoce como modelo sigma no lineal . [4]
La acción de Polyakov debe complementarse con la acción de Liouville para describir las fluctuaciones de las cuerdas.
Simetrías globales
NB: Aquí, se dice que una simetría es local o global desde el punto de vista de la teoría bidimensional (en la hoja del mundo). Por ejemplo, las transformaciones de Lorentz, que son simetrías locales del espacio-tiempo, son simetrías globales de la teoría en la hoja del mundo.
La acción es invariante bajo traslaciones espacio-temporales y transformaciones de Lorentz infinitesimales.
donde , y es una constante. Esto forma la simetría de Poincaré de la variedad objetivo.
La invariancia en (i) se deduce ya que la acción depende sólo de la primera derivada de . La prueba de la invariancia bajo (ii) es la siguiente:
Simetrías locales
La acción es invariante bajo difeomorfismos de hoja mundial (o transformaciones de coordenadas) y transformaciones de Weyl .
Difomorfismos
Suponga la siguiente transformación:
Transforma el tensor métrico de la siguiente manera:
Se puede ver que:
Se sabe que el jacobiano de esta transformación está dado por
lo que lleva a
y uno ve que
Resumiendo esta transformación y reetiquetado , vemos que la acción es invariante.
transformación de weyl
Supongamos la transformación de Weyl :
entonces
Y finalmente:
Y se puede ver que la acción es invariante bajo la transformación de Weyl . Si consideramos objetos extendidos de n dimensiones (espacialmente) cuya acción es proporcional al área/hiperárea de su hoja mundial, a menos que n = 1, la acción correspondiente de Polyakov contendría otro término que rompe la simetría de Weyl.
Se puede definir el tensor tensión-energía :
Definamos:
Debido a la simetría de Weyl , la acción no depende de :
donde hemos utilizado la regla de la cadena derivada funcional .
Relación con la acción Nambu-Goto
Al escribir la ecuación de Euler-Lagrange para el tensor métrico se obtiene que
Sabiendo también que:
Se puede escribir la derivada variacional de la acción:
donde , lo que lleva a
Si el tensor métrico de la hoja mundial auxiliar se calcula a partir de las ecuaciones de movimiento:
y sustituida nuevamente a la acción, se convierte en la acción Nambu-Goto :
Sin embargo, la acción de Polyakov se cuantifica más fácilmente porque es lineal .
Ecuaciones de movimiento
Utilizando difeomorfismos y transformación de Weyl , con un espacio objetivo de Minkowski , se puede realizar la transformación físicamente insignificante , escribiendo así la acción en el indicador conforme :
dónde .
Teniendo en cuenta que se pueden derivar las restricciones:
Sustituyendo se obtiene
Y consecuentemente
Las condiciones de contorno para satisfacer la segunda parte de la variación de la acción son las siguientes.
- Cuerdas cerradas:
- Condiciones de contorno periódicas :
- Cuerdas abiertas:
- Condiciones de contorno de Neumann :
- Condiciones de contorno de Dirichlet :
Trabajando en coordenadas de cono de luz , podemos reescribir las ecuaciones de movimiento como
Por tanto, la solución se puede escribir como , y el tensor de tensión-energía ahora es diagonal. Al expandir la solución mediante Fourier e imponer relaciones de conmutación canónicas a los coeficientes, la aplicación de la segunda ecuación de movimiento motiva la definición de los operadores de Virasoro y conduce a las restricciones de Virasoro que desaparecen cuando actúan sobre estados físicos.
Ver también
Referencias
- ^ Deser, S .; Zumino, B. (1976). "Una acción completa para la cuerda giratoria". Física. Letón. B . 65 (4): 369–373. doi :10.1016/0370-2693(76)90245-8.
- ^ Borde, L .; Di Vecchia, P .; Howe, P. (1976). "Una acción localmente supersimétrica e invariante de reparametrización para la cuerda que gira". Letras de Física B. 65 (5): 471–474. doi :10.1016/0370-2693(76)90445-7.
- ^ Poliakov, AM (1981). "Geometría cuántica de cuerdas bosónicas". Letras de Física B. 103 (3): 207–210. doi :10.1016/0370-2693(81)90743-7.
- ^ Friedan, D. (1980). "Modelos no lineales en dimensiones 2+ε" (PDF) . Cartas de revisión física . 45 (13): 1057-1060. Código bibliográfico : 1980PhRvL..45.1057F. doi :10.1103/PhysRevLett.45.1057.
Otras lecturas
- Polchinski (noviembre de 1994). ¿Qué es la teoría de cuerdas ?, NSF-ITP-94-97, 153 págs., arXiv:hep-th/9411028v1.
- Ooguri, Yin (febrero de 1997). Conferencias TASI sobre teorías de cuerdas perturbativas , UCB-PTH-96/64, LBNL-39774, 80 págs., arXiv:hep-th/9612254v3.