Momento apropiado

Elapsed time between two events as measured by a clock that passes through both events

En relatividad , el tiempo propio (del latín, que significa tiempo propio ) a lo largo de una línea mundial similar al tiempo se define como el tiempo medido por un reloj que sigue esa línea. El intervalo de tiempo propio entre dos eventos en una línea mundial es el cambio en el tiempo propio, que es independiente de las coordenadas y es un escalar de Lorentz . ^[1] El intervalo es la cantidad de interés, ya que el tiempo propio en sí mismo se fija sólo hasta una constante aditiva arbitraria, es decir, la puesta en hora del reloj en algún evento a lo largo de la línea mundial.

El intervalo de tiempo adecuado entre dos eventos depende no sólo de los eventos, sino también de la línea mundial que los conecta y, por tanto, del movimiento del reloj entre los eventos. Se expresa como una integral sobre la línea mundial (análoga a la longitud de arco en el espacio euclidiano ). Un reloj acelerado medirá un tiempo transcurrido entre dos eventos menor que el medido por un reloj no acelerado ( inercial ) entre los mismos dos eventos. La paradoja de los gemelos es un ejemplo de este efecto. ^[2]

La línea vertical azul oscuro representa un observador inercial que mide un intervalo de tiempo coordinado t entre los eventos E ₁ y E ₂ . La curva roja representa un reloj que mide su intervalo de tiempo adecuado τ entre los mismos dos eventos.

Por convención, el tiempo propio suele representarse con la letra griega τ ( tau ) para distinguirlo del tiempo coordinado representado por t . El tiempo coordinado es el tiempo entre dos eventos medido por un observador utilizando su propio método para asignar un tiempo a un evento. En el caso especial de un observador inercial en relatividad especial , el tiempo se mide utilizando el reloj del observador y la definición de simultaneidad del observador.

El concepto de tiempo propio fue introducido por Hermann Minkowski en 1908 ^[3] y es una característica importante de los diagramas de Minkowski .

Formalismo matemático

La definición formal de tiempo propio implica describir el camino a través del espacio-tiempo que representa un reloj, observador o partícula de prueba, y la estructura métrica de ese espacio-tiempo. El tiempo propio es la longitud del arco pseudo-riemanniano de las líneas del mundo en el espacio-tiempo de cuatro dimensiones. Desde el punto de vista matemático, se supone que el tiempo de coordenadas está predefinido y se requiere una expresión para el tiempo adecuado en función del tiempo de coordenadas. Por otro lado, el tiempo propio se mide experimentalmente y el tiempo coordinado se calcula a partir del tiempo propio de los relojes inerciales.

El tiempo adecuado sólo puede definirse para trayectorias temporales a través del espacio-tiempo que permitan la construcción de un conjunto de reglas y relojes físicos que lo acompañen. El mismo formalismo para los caminos espaciales conduce a una medición de la distancia adecuada en lugar del tiempo adecuado. Para caminos parecidos a la luz, no existe el concepto de tiempo adecuado y no está definido ya que el intervalo de espacio-tiempo es cero. En lugar de ello, se debe introducir un parámetro afín arbitrario y físicamente irrelevante, no relacionado con el tiempo. ^{[4] [5] [6 ] [7 ] [8] [9]}

En relatividad especial

Con la convención temporal para la firma métrica , la métrica de Minkowski se define por

$${\displaystyle \eta _{\mu \nu }={\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1\end{pmatrix}},}$$

$${\displaystyle (x^{0},x^{1},x^{2},x^{3})=(ct,x,y,z)}$$

En cualquier marco de este tipo, un intervalo infinitesimal, aquí supuesto temporal, entre dos eventos se expresa como

y separa puntos en la trayectoria de una partícula (piense en un reloj). El mismo intervalo se puede expresar en coordenadas de manera que en cada momento la partícula esté en reposo . Tal marco se llama marco de reposo instantáneo, indicado aquí por las coordenadas de cada instante. Debido a la invariancia del intervalo (los fotogramas de descanso instantáneos tomados en diferentes momentos están relacionados mediante transformaciones de Lorentz) se puede escribir ${\displaystyle (c\tau ,x_{\tau },y_{\tau },z_{\tau })}$

$${\displaystyle ds^{2}=c^{2}d\tau ^{2}-dx_{\tau }^{2}-dy_{\tau }^{2}-dz_{\tau }^{2}=c^{2}d\tau ^{2},}$$

^[10] ${\displaystyle dx_{\tau }=dy_{\tau }=dz_{\tau }=0}$ ${\displaystyle ds^{2}>0}$

$${\displaystyle ds=cd\tau ,}$$

$${\displaystyle d\tau ={\frac {ds}{c}}.}$$

τ

${\displaystyle \Delta \tau =\int _{P}d\tau =\int {\frac {ds}{c}}.}$          (2)

Aquí P es la línea mundial desde algún evento inicial hasta algún evento final con el orden de los eventos fijado por el requisito de que el evento final ocurra más tarde, según el reloj, que el evento inicial.

Usando (1) y nuevamente la invariancia del intervalo, se puede escribir ^[11]

${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta \tau &=\int _{P}{\frac {1}{c}}{\sqrt {\eta _{\mu \nu }dx^{\mu }dx^{\nu }}}\\&=\int _{P}{\sqrt {dt^{2}-{dx^{2} \over c^{2}}-{dy^{2} \over c^{2}}-{dz^{2} \over c^{2}}}}\\&=\int {\sqrt {1-{\frac {1}{c^{2}}}\left[\left({\frac {dx}{dt}}\right)^{2}+\left({\frac {dy}{dt}}\right)^{2}+\left({\frac {dz}{dt}}\right)^{2}\right]}}dt\\&=\int {\sqrt {1-{\frac {v(t)^{2}}{c^{2}}}}}dt=\int {\frac {dt}{\gamma (t)}},\end{aligned}}}$          (3)

donde v ( t ) es la velocidad coordinada en el tiempo coordinado t , y x ( t ) , y ( t ) y z ( t ) son coordenadas espaciales. La primera expresión es manifiestamente invariante de Lorentz. Todos son invariantes de Lorentz, ya que el tiempo adecuado y los intervalos de tiempo adecuados son independientes de las coordenadas por definición.

Si t , x , y , z , están parametrizados por un parámetro λ , esto se puede escribir como

$${\displaystyle \Delta \tau =\int {\sqrt {\left({\frac {dt}{d\lambda }}\right)^{2}-{\frac {1}{c^{2}}}\left[\left({\frac {dx}{d\lambda }}\right)^{2}+\left({\frac {dy}{d\lambda }}\right)^{2}+\left({\frac {dz}{d\lambda }}\right)^{2}\right]}}\,d\lambda .}$$

Si el movimiento de la partícula es constante, la expresión se simplifica a

$${\displaystyle \Delta \tau ={\sqrt {\left(\Delta t\right)^{2}-{\frac {\left(\Delta x\right)^{2}}{c^{2}}}-{\frac {\left(\Delta y\right)^{2}}{c^{2}}}-{\frac {\left(\Delta z\right)^{2}}{c^{2}}}}},}$$

En relatividad general

El tiempo adecuado se define en la relatividad general de la siguiente manera: dada una variedad pseudo-riemanniana con coordenadas locales x ^μ y equipada con un tensor métrico g _μν , el intervalo de tiempo adecuado Δ τ entre dos eventos a lo largo de una trayectoria temporal P viene dado por la línea integrales ^[12]

Esta expresión es, como debería ser, invariante ante cambios de coordenadas. Se reduce (en coordenadas apropiadas) a la expresión de la relatividad especial en el espaciotiempo plano .

De la misma manera que se pueden elegir coordenadas tales que x ¹ , x ² , x ³ = constante en la relatividad especial, esto también se puede hacer en la relatividad general. Entonces, en estas coordenadas, ^[13]

$${\displaystyle \Delta \tau =\int _{P}d\tau =\int _{P}{\frac {1}{c}}{\sqrt {g_{00}}}dx^{0}.}$$

Esta expresión generaliza la definición (2) y puede tomarse como definición. Luego, usando la invariancia del intervalo, la ecuación (4) se deriva de ella de la misma manera que (3) se deriva de (2) , excepto que aquí se permiten cambios arbitrarios de coordenadas.

Ejemplos en relatividad especial

Ejemplo 1: La "paradoja" gemela

Para un escenario de paradoja gemela , supongamos que haya un observador A que se mueva entre las coordenadas A (0,0,0,0) y (10 años, 0, 0, 0) inercialmente. Esto significa que A permanece en durante 10 años de tiempo de coordenadas A. El intervalo de tiempo adecuado para A entre los dos eventos es entonces ${\displaystyle x=y=z=0}$

$${\displaystyle \Delta \tau _{A}={\sqrt {(10{\text{ years}})^{2}}}=10{\text{ years}}.}$$

Entonces, estar "en reposo" en un sistema de coordenadas de relatividad especial significa que el tiempo propio y el tiempo de coordenadas son los mismos.

Supongamos que ahora hay otro observador B que viaja en la dirección x desde (0,0,0,0) durante 5 años de tiempo de coordenadas A en 0,866 c hasta (5 años, 4,33 años luz, 0, 0). Una vez allí, B acelera y viaja en la otra dirección espacial durante otros 5 años de tiempo de coordenadas A hasta (10 años, 0, 0, 0). Para cada tramo del viaje, el intervalo de tiempo adecuado se puede calcular utilizando las coordenadas A y viene dado por

$${\displaystyle \Delta \tau _{leg}={\sqrt {({\text{5 years}})^{2}-({\text{4.33 years}})^{2}}}={\sqrt {6.25\;\mathrm {years} ^{2}}}={\text{2.5 years}}.}$$

Entonces, el tiempo total adecuado para que el observador B pase de (0,0,0,0) a (5 años, 4,33 años luz, 0, 0) y luego a (10 años, 0, 0, 0) es

$${\displaystyle \Delta \tau _{B}=2\Delta \tau _{leg}={\text{5 years}}.}$$

Así se demuestra que la ecuación del tiempo propia incorpora el efecto de dilatación del tiempo. De hecho, para un objeto en un espacio-tiempo SR (relatividad especial) que viaja con velocidad durante un tiempo , el intervalo de tiempo adecuado experimentado es ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle \Delta T}$

$${\displaystyle \Delta \tau ={\sqrt {\Delta T^{2}-\left({\frac {v_{x}\Delta T}{c}}\right)^{2}-\left({\frac {v_{y}\Delta T}{c}}\right)^{2}-\left({\frac {v_{z}\Delta T}{c}}\right)^{2}}}=\Delta T{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}},}$$

Ejemplo 2: el disco giratorio

Un observador que gira alrededor de otro observador inercial se encuentra en un sistema de referencia acelerado. Para tal observador, se necesita la forma incremental ( ) de la ecuación de tiempo adecuada, junto con una descripción parametrizada del camino que se está tomando, como se muestra a continuación. ${\displaystyle d\tau }$

Sea un observador C en un disco que gira en el plano xy con una velocidad angular coordinada de y que está a una distancia de r del centro del disco con el centro del disco en x = y = z = 0 . La trayectoria del observador C viene dada por , donde es la coordenada de tiempo actual. Cuando r y son constantes, y . La fórmula del tiempo propio incremental entonces se convierte en ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle (T,\,r\cos(\omega T),\,r\sin(\omega T),\,0)}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle dx=-r\omega \sin(\omega T)\,dT}$ ${\displaystyle dy=r\omega \cos(\omega T)\,dT}$

$${\displaystyle d\tau ={\sqrt {dT^{2}-\left({\frac {r\omega }{c}}\right)^{2}\sin ^{2}(\omega T)\;dT^{2}-\left({\frac {r\omega }{c}}\right)^{2}\cos ^{2}(\omega T)\;dT^{2}}}=dT{\sqrt {1-\left({\frac {r\omega }{c}}\right)^{2}}}.}$$

Entonces, para un observador que gira a una distancia constante de r desde un punto dado en el espacio-tiempo a una velocidad angular constante de ω entre los tiempos coordinados y , el tiempo adecuado experimentado será ${\displaystyle T_{1}}$ ${\displaystyle T_{2}}$

$${\displaystyle \int _{T_{1}}^{T_{2}}d\tau =(T_{2}-T_{1}){\sqrt {1-\left({\frac {r\omega }{c}}\right)^{2}}}=\Delta T{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}},}$$

v = rω

Ejemplos en relatividad general

La diferencia entre SR y la relatividad general (GR) es que en GR se puede usar cualquier métrica que sea una solución de las ecuaciones de campo de Einstein , no solo la métrica de Minkowski. Debido a que el movimiento inercial en el espacio-tiempo curvo carece de la expresión simple que tiene en SR, siempre se debe utilizar la forma integral de línea de la ecuación del tiempo propia.

Ejemplo 3: El disco giratorio (nuevamente)

Una conversión de coordenadas apropiada realizada con la métrica de Minkowski crea coordenadas donde un objeto en un disco giratorio permanece en la misma posición de coordenadas espaciales. Las nuevas coordenadas son

$${\displaystyle r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}$$

$${\displaystyle \theta =\arctan \left({\frac {y}{x}}\right)-\omega t.}$$

Las coordenadas t y z permanecen sin cambios. En este nuevo sistema de coordenadas, la ecuación incremental del tiempo propio es

$${\displaystyle d\tau ={\sqrt {\left[1-\left({\frac {r\omega }{c}}\right)^{2}\right]dt^{2}-{\frac {dr^{2}}{c^{2}}}-{\frac {r^{2}\,d\theta ^{2}}{c^{2}}}-{\frac {dz^{2}}{c^{2}}}-2{\frac {r^{2}\omega \,dt\,d\theta }{c^{2}}}}}.}$$

Con r , θ yz constantes en el tiempo, esto se simplifica a

$${\displaystyle d\tau =dt{\sqrt {1-\left({\frac {r\omega }{c}}\right)^{2}}},}$$

Ahora supongamos que hay un objeto fuera del disco giratorio y en reposo inercial con respecto al centro del disco y a una distancia de R de él. Este objeto tiene un movimiento coordinado descrito por dθ = − ω dt , que describe el objeto inercialmente en reposo de contrarrotación en la vista del observador giratorio. Ahora la ecuación del tiempo adecuado se convierte en

$${\displaystyle d\tau ={\sqrt {\left[1-\left({\frac {R\omega }{c}}\right)^{2}\right]dt^{2}-\left({\frac {R\omega }{c}}\right)^{2}\,dt^{2}+2\left({\frac {R\omega }{c}}\right)^{2}\,dt^{2}}}=dt.}$$

Así, para el observador inercial en reposo, se descubre una vez más que el tiempo coordinado y el tiempo propio pasan al mismo ritmo, como se esperaba y exigía la autoconsistencia interna de la teoría de la relatividad. ^[14]

Ejemplo 4: La solución de Schwarzschild: el tiempo en la Tierra

La solución de Schwarzschild tiene una ecuación de tiempo propia incremental de

$${\displaystyle d\tau ={\sqrt {\left(1-{\frac {2m}{r}}\right)dt^{2}-{\frac {1}{c^{2}}}\left(1-{\frac {2m}{r}}\right)^{-1}dr^{2}-{\frac {r^{2}}{c^{2}}}d\phi ^{2}-{\frac {r^{2}}{c^{2}}}\sin ^{2}(\phi )\,d\theta ^{2}}},}$$

• Es el tiempo calibrado con un reloj distante y en reposo inercial con respecto a la Tierra,
• r es una coordenada radial (que es efectivamente la distancia desde el centro de la Tierra),
• ɸ es una coordenada colatitudinal, la separación angular del polo norte en radianes .
• θ es una coordenada longitudinal, análoga a la longitud en la superficie de la Tierra pero independiente de la rotación de la Tierra . Esto también se da en radianes.
• m es la masa geometrizada de la Tierra, m = GM / c ² ,
  • M es la masa de la Tierra,
  • G es la constante gravitacional .

Para demostrar el uso de la relación de tiempo adecuada, aquí se utilizarán varios subejemplos que involucran a la Tierra.

Para la Tierra , M =5,9742 × 10 ²⁴  kg , lo que significa que m =4,4354 × 10 ⁻³  m . Cuando estamos en el polo norte, podemos asumir(lo que significa que no nos movemos hacia arriba ni hacia abajo ni a lo largo de la superficie de la Tierra). En este caso, la ecuación del tiempo propio de la solución de Schwarzschild se convierte en. Luego, usando el radio polar de la Tierra como coordenada radial (o), encontramos que ${\displaystyle dr=d\theta =d\phi =0}$ ${\textstyle d\tau =dt\,{\sqrt {1-2m/r}}}$ ${\displaystyle r={\text{6,356,752 metres}}}$

$${\displaystyle d\tau ={\sqrt {\left(1-1.3908\times 10^{-9}\right)\;dt^{2}}}=\left(1-6.9540\times 10^{-10}\right)\,dt.}$$

En el ecuador , el radio de la Tierra es r =6 378 137  m . Además, es necesario tener en cuenta la rotación de la Tierra. Esto imparte al observador una velocidad angular de2 π dividida por el período sidéreo de la rotación de la Tierra, 86162,4 segundos. Entonces. La ecuación de tiempo adecuada produce entonces ${\displaystyle d\theta /dt}$ ${\displaystyle d\theta =7.2923\times 10^{-5}\,dt}$

$${\displaystyle d\tau ={\sqrt {\left(1-1.3908\times 10^{-9}\right)dt^{2}-2.4069\times 10^{-12}\,dt^{2}}}=\left(1-6.9660\times 10^{-10}\right)\,dt.}$$

Desde un punto de vista no relativista, este debería haber sido el mismo resultado que el anterior. Este ejemplo demuestra cómo se utiliza la ecuación del tiempo adecuada, aunque la Tierra gira y, por tanto, no es esféricamente simétrica como se supone en la solución de Schwarzschild. Para describir los efectos de la rotación con mayor precisión se puede utilizar la métrica de Kerr .

Ver también

• Transformación de Lorentz
• espacio de minkowski
• longitud adecuada
• Aceleración adecuada
• masa adecuada
• Velocidad adecuada
• Hipótesis del reloj
• Métrica de Peres

Notas a pie de página

1. Zwiebach 2004, pág. 25
2. Hawley, John F.; Holcomb, J. Katherine A. (2005). Fundamentos de la cosmología moderna (edición ilustrada). Prensa de la Universidad de Oxford. pag. 204.ISBN _ 978-0-19-853096-1.Extracto de la página 204
3. Minkowski 1908, págs. 53-111
4. Lovelock y Rund 1989, págs.256
5. Weinberg 1972, págs.76
6. Poisson 2004, págs.7
7. Landau y Lifshitz 1975, pág. 245
8. Algunos autores incluyen intervalos en forma de luz en la definición de tiempo adecuado y también incluyen distancias propias en forma de espacio como tiempos propios imaginarios, por ejemplo, Lawden 2012, págs.17, 116.
9. Kopeikin, Efroimsky y Kaplan 2011, pág. 275
10. Zwiebach 2004, pág. 25
11. Foster y Nightingale 1978, pág. 56
12. Foster y Nightingale 1978, pág. 57
13. Landau y Lifshitz 1975, pág. 251
14. Cocinero 2004, págs. 214-219

Referencias

• Cook, RJ (2004). "Tiempo físico y espacio físico en la relatividad general". Soy. J. Física . 72 (2): 214–219. Código Bib : 2004AmJPh..72..214C. doi :10.1119/1.1607338. ISSN  0002-9505.
• fomentar, J.; Ruiseñor, JD (1978). Un curso corto de relatividad general . Essex: Longman científico y técnico . ISBN 0-582-44194-3.
• Kleppner, D .; Kolenkow, RJ (1978). Una introducción a la mecánica. McGraw-Hill . ISBN 0-07-035048-5.
• Kopeikin, Sergei; Efroimsky, Michael; Kaplan, George (2011). Mecánica celeste relativista del sistema solar. John Wiley e hijos. ISBN 978-3-527-40856-6.
• Landau, LD ; Lifshitz, EM (1975). La teoría clásica de los campos . Curso de física teórica. vol. 2 (4ª ed.). Oxford: Butterworth-Heinemann . ISBN 0-7506-2768-9.
• Lawden, Derek F. (2012). Introducción al cálculo tensorial: relatividad y cosmología. Corporación de mensajería. ISBN 978-0-486-13214-3.
• Lovelock, David ; Rund, Hanno (1989), Tensores, formas diferenciales y principios variacionales , Nueva York: Dover Publications , ISBN 0-486-65840-6
• Minkowski, Hermann (1908), "Die Grundgleichungen für die elektromagnetischen Vorgänge in bewegten Körpern", Nachrichten von der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften und der Georg-August-Universität zu Göttingen , Göttingen, archivado desde el original el 8 de julio de 2012
• Poisson, Eric (2004), Un conjunto de herramientas para un relativista: las matemáticas de la mecánica de agujeros negros , Cambridge University Press , ISBN 978-0521537803
• Weinberg, Steven (1972), Gravitación y cosmología: principios y aplicaciones de la teoría general de la relatividad, Nueva York: John Wiley & Sons , ISBN 978-0-471-92567-5
• Zwiebach, Barton (2004). Un primer curso de teoría de cuerdas (primera ed.). Prensa de la Universidad de Cambridge . ISBN 0-521-83143-1.