Paradoja de los gemelos

Experimento mental en relatividad especial

En física, la paradoja de los gemelos es un experimento mental en relatividad especial que involucra a gemelos idénticos, uno de los cuales hace un viaje al espacio en un cohete de alta velocidad y regresa a casa para descubrir que el gemelo que permaneció en la Tierra ha envejecido más. Este resultado parece desconcertante porque cada gemelo ve al otro gemelo en movimiento y, por lo tanto, como consecuencia de una aplicación incorrecta ^{[1] [2]} e ingenua ^{[3] [4] de la} dilatación del tiempo y el principio de la relatividad , cada uno debería, paradójicamente, descubrir que el otro ha envejecido menos. Sin embargo, este escenario puede resolverse dentro del marco estándar de la relatividad especial: la trayectoria del gemelo viajero implica dos marcos inerciales diferentes , uno para el viaje de ida y otro para el de regreso. ^[5] Otra forma de verlo es darse cuenta de que el gemelo que viaja está sufriendo una aceleración , lo que lo convierte en un observador no inercial. En ambas vistas no hay simetría entre los caminos espacio-temporales de los gemelos. Por tanto, la paradoja de los gemelos no es en realidad una paradoja en el sentido de una contradicción lógica. Todavía hay debate sobre la resolución de la paradoja de los gemelos. ^[6]

A partir de Paul Langevin en 1911, ha habido varias explicaciones de esta paradoja. Estas explicaciones "se pueden agrupar en aquellas que se centran en el efecto de diferentes estándares de simultaneidad en diferentes marcos, y aquellas que designan la aceleración [experimentada por el gemelo viajero] como la razón principal". ^[7] Max von Laue argumentó en 1913 que dado que el gemelo viajero debe estar en dos marcos inerciales separados, uno a la ida y otro a la vuelta, este cambio de marco es la razón de la diferencia de envejecimiento. ^[8] Las explicaciones presentadas por Albert Einstein y Max Born invocaron la dilatación del tiempo gravitacional para explicar el envejecimiento como un efecto directo de la aceleración. ^[9] Sin embargo, se ha demostrado que ni la relatividad general, ^{[10] [11] [12] [13] [14]} ni siquiera la aceleración son necesarias para explicar el efecto, ya que el efecto todavía se aplica si dos astronautas pasan cada uno. entre sí en el punto de retorno y sincronizar sus relojes en ese punto. Se puede pensar en la situación en el punto de inflexión como cuando un par de observadores , uno que se aleja del punto de partida y otro que viaja hacia él, pasan uno junto al otro, y donde la lectura del reloj del primer observador se transfiere a la del segundo. el segundo, manteniendo ambos velocidad constante, sumándose ambos tiempos de viaje al final de su recorrido. ^[15]

Historia

En su famoso artículo sobre la relatividad especial de 1905, Albert Einstein dedujo que para dos relojes estacionarios y síncronos colocados en los puntos A y B, si el reloj en A se mueve a lo largo de la línea AB y se detiene en B, el reloj que se movió desde A se retrasaría con respecto al reloj en B. Afirmó que este resultado también se aplicaría si el camino de A a B fuera poligonal o circular. ^{[A 1]} Einstein consideró que esto era una consecuencia natural de la relatividad especial, no una paradoja como algunos sugirieron, y en 1911, reformuló y elaboró ​​este resultado de la siguiente manera (con los comentarios del físico Robert Resnick siguiendo a los de Einstein): ^{[A 2] [16]}

Einstein: Si pusiéramos un organismo vivo en una caja... se podría hacer que el organismo, después de cualquier largo vuelo arbitrario, pudiera regresar a su lugar original en una condición apenas alterada, mientras que los organismos correspondientes que habían permanecido en sus posiciones originales Hacía tiempo que había dado paso a las nuevas generaciones. Para el organismo en movimiento, el largo tiempo del viaje era de un simple instante, siempre que el movimiento se realizara aproximadamente a la velocidad de la luz.
Resnick: Si el organismo estacionario es un hombre y el que viaja es su gemelo, entonces el viajero regresa a casa y encuentra a su hermano gemelo muy anciano en comparación con él. La paradoja se centra en la afirmación de que, en relatividad, cualquiera de los gemelos podría considerar al otro como el viajero, en cuyo caso cada uno debería encontrar al otro más joven, una contradicción lógica. Esta afirmación supone que las situaciones de los gemelos son simétricas e intercambiables, una suposición que no es correcta. Además, se han realizado experimentos accesibles que respaldan la predicción de Einstein.

En 1911, Paul Langevin dio un "ejemplo sorprendente" al describir la historia de un viajero que realiza un viaje con un factor de Lorentz de γ = 100 (99,995% la velocidad de la luz). El viajero permanece en un proyectil durante un año de su tiempo y luego invierte su dirección. Al regresar, el viajero se encontrará con que ha envejecido dos años, mientras que en la Tierra han pasado 200 años. Durante el viaje, tanto el viajero como la Tierra siguen enviándose señales entre sí a un ritmo constante, lo que sitúa la historia de Langevin entre las versiones del desplazamiento Doppler de la paradoja de los gemelos. Los efectos relativistas sobre las tasas de señal se utilizan para tener en cuenta las diferentes tasas de envejecimiento. La asimetría que se produjo porque sólo el viajero experimentó aceleración se utiliza para explicar por qué hay alguna diferencia, ^{[17] [18]} porque "cualquier cambio de velocidad, o cualquier aceleración tiene un significado absoluto". ^{[A 3]}

Max von Laue (1911, 1913) desarrolló la explicación de Langevin. Utilizando el formalismo espacio-temporal de Hermann Minkowski , Laue demostró que las líneas mundiales de los cuerpos que se mueven inercialmente maximizan el tiempo adecuado transcurrido entre dos eventos. También escribió que el envejecimiento asimétrico se explica completamente por el hecho de que el gemelo astronauta viaja en dos cuadros separados, mientras que el gemelo de la Tierra permanece en un cuadro, y el tiempo de aceleración puede hacerse arbitrariamente pequeño en comparación con el tiempo del movimiento inercial. . ^{[A 4] [A 5] [A 6]} Finalmente, Lord Halsbury y otros eliminaron cualquier aceleración introduciendo el enfoque de "tres hermanos". El gemelo viajero transfiere la lectura de su reloj a un tercero, que viaja en dirección opuesta. Otra forma de evitar los efectos de aceleración es el uso del efecto Doppler relativista (ver § Cómo se ve: el desplazamiento Doppler relativista a continuación) .

Ni Einstein ni Langevin consideraron que estos resultados fueran problemáticos: Einstein sólo los llamó "peculiares", mientras que Langevin los presentó como una consecuencia de la aceleración absoluta. ^{[A 7]} Ambos hombres argumentaron que, a partir del diferencial temporal ilustrado por la historia de los gemelos, no se podía construir ninguna contradicción. En otras palabras, ni Einstein ni Langevin vieron la historia de los gemelos como un desafío a la autoconsistencia de la física relativista.

Ejemplo específico

Considere una nave espacial que viaja desde la Tierra hasta el sistema estelar más cercano: una distancia d = 4 años luz, a una velocidad v = 0,8 c (es decir, el 80% de la velocidad de la luz).

Para facilitar los cálculos, se supone que el barco alcanzará su máxima velocidad en un tiempo insignificante tras su salida (aunque en realidad tardaría unos 9 meses acelerando a 1  g para alcanzar esa velocidad). De manera similar, al final del viaje de ida, se supone que el cambio de dirección necesario para iniciar el viaje de regreso ocurre en un tiempo insignificante. Esto también se puede modelar suponiendo que el barco ya está en movimiento al comienzo del experimento y que el evento de retorno se modela mediante una aceleración de distribución delta de Dirac . ^[19]

Las partes observarán la situación de la siguiente manera: ^{[20] [21]}

perspectiva de la tierra

El control de la misión terrestre razona el viaje de esta manera: el viaje de ida y vuelta durará t = 2 d / v = 10 años en el tiempo terrestre ( es decir, todos los que se queden en la Tierra serán 10 años mayores cuando la nave regrese). La cantidad de tiempo medida en los relojes del barco y el envejecimiento de los viajeros durante su viaje se reducirán por el factor , el recíproco del factor de Lorentz ( dilatación del tiempo ). En este caso α = 0,6 y los viajeros habrán envejecido sólo 0,6 × 10 = 6 años cuando regresen. ${\displaystyle \alpha =\scriptstyle {\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}$

La perspectiva de los viajeros

Los miembros de la tripulación del barco también calculan los detalles de su viaje desde su propia perspectiva. Saben que el sistema estelar distante y la Tierra se mueven con respecto a la nave a una velocidad v durante el viaje. En su marco de reposo la distancia entre la Tierra y el sistema estelar es α d = 0,6 × 4 = 2,4 años luz ( contracción de longitud ), tanto para el viaje de ida como para el de regreso. Cada mitad del viaje dura α d / v = 2,4/0,8 = 3 años , y el viaje de ida y vuelta dura el doble (6 años). Sus cálculos muestran que llegarán a casa con 6 años de edad. El cálculo final de los viajeros sobre su envejecimiento coincide totalmente con los cálculos de los que están en la Tierra, aunque viven el viaje de forma muy diferente a los que se quedan en casa.

Conclusión

No importa qué método utilicen para predecir las lecturas del reloj, todos estarán de acuerdo en ellas. Si los gemelos nacen el día de la partida del barco, y uno emprende el viaje mientras el otro se queda en la Tierra, se reencontrarán cuando el viajero tenga 6 años y el gemelo que se queda en casa tenga 10 años.

Resolución de la paradoja en la relatividad especial

El aspecto paradójico de la situación de los gemelos surge del hecho de que en cualquier momento dado el reloj del gemelo que viaja está atrasado en el sistema inercial del gemelo terrestre, pero basándose en el principio de la relatividad se podría igualmente argumentar que el reloj del gemelo terrestre está atrasado en el marco inercial del gemelo viajero. ^{[22] [23] [24]} Una resolución propuesta se basa en el hecho de que el gemelo terrestre está en reposo en el mismo marco inercial durante todo el viaje, mientras que el gemelo viajero no lo está: en la versión más simple del experimento mental, el gemelo viajero cambia en el punto medio del viaje de estar en reposo en un marco inercial que se mueve en una dirección (lejos de la Tierra) a estar en reposo en un marco inercial que se mueve en la dirección opuesta (hacia la Tierra). En este enfoque, es crucial determinar qué observador cambia de fotograma y cuál no. Aunque ambos gemelos pueden afirmar legítimamente que están en reposo en su propia estructura, sólo el gemelo que viaja experimenta aceleración cuando se encienden los motores de la nave espacial. Esta aceleración, medible con un acelerómetro, hace que su marco de reposo sea temporalmente no inercial. Esto revela una asimetría crucial entre las perspectivas de los gemelos: aunque podemos predecir la diferencia en el envejecimiento desde ambas perspectivas, necesitamos utilizar métodos diferentes para obtener resultados correctos.

Papel de la aceleración

Aunque algunas soluciones atribuyen un papel crucial a la aceleración del gemelo que viaja en el momento del giro, ^{[22] [23] [24] [25]} otras señalan que el efecto también surge si uno imagina dos viajeros separados, uno hacia afuera- de ida y uno de vuelta, que se adelantan y sincronizan sus relojes en el punto correspondiente al "giro" de un solo viajero. En esta versión, la aceleración física del reloj en marcha no juega ningún papel directo; ^{[26] [27] [19]} "la cuestión es qué tan largas son las líneas del mundo, no qué tan dobladas". ^[28] La longitud a la que se hace referencia aquí es la longitud invariante de Lorentz o "intervalo de tiempo propio" de una trayectoria que corresponde al tiempo transcurrido medido por un reloj que sigue esa trayectoria (ver Sección Diferencia en el tiempo transcurrido como resultado de diferencias en gemelos ' rutas espacio-temporales a continuación). En el espacio-tiempo de Minkowski, el gemelo viajero debe sentir una historia de aceleraciones diferente a la del gemelo terrestre, incluso si esto solo significa aceleraciones del mismo tamaño separadas por diferentes cantidades de tiempo, ^[28] sin embargo "incluso este papel de la aceleración puede eliminarse en formulaciones de la paradoja de los gemelos en el espacio-tiempo curvo, donde los gemelos pueden caer libremente a lo largo de geodésicas espacio-temporales entre encuentros". ^[7]

Relatividad de la simultaneidad

Diagrama de Minkowski de la paradoja de los gemelos. Hay una diferencia entre las trayectorias de los gemelos: la trayectoria de la nave se divide equitativamente entre dos sistemas inerciales diferentes, mientras que el gemelo terrestre permanece en el mismo sistema inercial.

Para comprender momento a momento cómo se desarrolla la diferencia horaria entre los gemelos, hay que entender que en la relatividad especial no existe el concepto de presente absoluto . Para diferentes marcos inerciales existen diferentes conjuntos de eventos que son simultáneos en ese marco. Esta relatividad de la simultaneidad significa que pasar de un marco inercial a otro requiere un ajuste en qué segmento del espacio-tiempo se considera el "presente". En el diagrama espacio-temporal de la derecha, dibujado para el marco de referencia del gemelo terrestre, la línea mundial de ese gemelo coincide con el eje vertical (su posición es constante en el espacio y se mueve sólo en el tiempo). En el primer tramo del viaje, el segundo gemelo se mueve hacia la derecha (línea inclinada negra); y en el partido de vuelta, de vuelta a la izquierda. Las líneas azules muestran los planos de simultaneidad del gemelo viajero durante el primer tramo del viaje; líneas rojas, durante el partido de vuelta. Justo antes del giro, el gemelo viajero calcula la edad del gemelo terrestre midiendo el intervalo a lo largo del eje vertical desde el origen hasta la línea azul superior. Justo después del giro, si vuelve a calcular, medirá el intervalo desde el origen hasta la línea roja inferior. En cierto sentido, durante el cambio de sentido, el plano de simultaneidad salta del azul al rojo y muy rápidamente barre un gran segmento de la línea mundial del gemelo terrestre. Cuando uno se transfiere del sistema inercial saliente al sistema inercial entrante, hay una discontinuidad de salto en la edad del gemelo terrestre ^{[22] [23] [27] [29] [30]} (6,4 años en el ejemplo anterior) .

Un enfoque no espacio-temporal

Como se mencionó anteriormente, una aventura de paradoja gemela de "ida y vuelta" puede incorporar la transferencia de la lectura del reloj de un astronauta "saliente" a un astronauta "entrante", eliminando así el efecto de la aceleración. Además, la aceleración física de los relojes no contribuye a los efectos cinemáticos de la relatividad especial. Más bien, en la relatividad especial, la diferencia de tiempo entre dos relojes reunidos se produce puramente por un movimiento inercial uniforme, como se analiza en el artículo original de Einstein sobre relatividad de 1905, ^[26] así como en todas las derivaciones cinemáticas posteriores de las transformaciones de Lorentz.

Debido a que los diagramas de espacio-tiempo incorporan la sincronización del reloj de Einstein (con su metodología de celosía de relojes), será necesario un salto en la lectura de la hora del reloj de la Tierra realizada por un "astronauta que regresa repentinamente" y que hereda un "nuevo significado de simultaneidad" de acuerdo con una nueva sincronización del reloj dictada por la transferencia a un sistema inercial diferente, como explica John A. Wheeler en Spacetime Physics. ^[29]

Si, en lugar de incorporar la sincronización de los relojes de Einstein (red de relojes), el astronauta (saliente y entrante) y el grupo terrestre se actualizan periódicamente sobre el estado de sus relojes mediante el envío de señales de radio (que viajan a la velocidad de la luz) , entonces todas las partes notarán una acumulación incremental de asimetría en el cronometraje, comenzando en el punto de "cambio de rumbo". Antes del "cambio", cada parte considera que el reloj de la otra parte registra el tiempo de manera diferente al suyo, pero la diferencia observada es simétrica entre las dos partes. Después del "cambio de rumbo", las diferencias observadas no son simétricas y la asimetría crece gradualmente hasta que las dos partes se reúnen. Al reunirse finalmente, esta asimetría se puede ver en la diferencia real que se muestra en los dos relojes reunidos. ^[31]

La equivalencia del envejecimiento biológico y la cronometraje del reloj

Todos los procesos (químicos, biológicos, el funcionamiento de los aparatos de medición, la percepción humana que involucra el ojo y el cerebro, la comunicación de la fuerza) están limitados por la velocidad de la luz. Hay un reloj que funciona en todos los niveles, dependiendo de la velocidad de la luz y del retraso inherente incluso a nivel atómico. Por lo tanto, el envejecimiento biológico no se diferencia en nada del cronometraje del reloj. ^[32] Esto significa que el envejecimiento biológico se ralentizaría de la misma manera que un reloj.

Cómo se ve: el desplazamiento Doppler relativista

En vista de la dependencia del marco de simultaneidad para eventos en diferentes lugares del espacio, algunos tratamientos prefieren un enfoque más fenomenológico, describiendo lo que los gemelos observarían si cada uno enviara una serie de pulsos de radio regulares, igualmente espaciados en el tiempo según la dirección del emisor. reloj. ^[27] Esto equivale a preguntar, si cada gemelo se enviara un video de ellos mismos, ¿qué ven en sus pantallas? O, si cada gemelo siempre llevara un reloj que indicara su edad, ¿qué hora vería cada uno en la imagen de su gemelo lejano y su reloj?

Poco después de la salida, el gemelo que viaja ve al gemelo que se queda en casa sin demora. A su llegada, la imagen en la pantalla de la nave muestra al gemelo restante tal como estaba un año después del lanzamiento, porque la radio emitida desde la Tierra un año después del lanzamiento llega a la otra estrella 4 años después y se encuentra allí con la nave. Durante esta etapa del viaje, el gemelo que viaja ve su propio reloj avanzar 3 años y el reloj en la pantalla avanzar 1 año, por lo que parece avanzar a 1⁄3 de la velocidad normal, sólo 20 segundos de imagen por minuto del barco. Esto combina los efectos de la dilatación del tiempo debido al movimiento (por factor ε = 0,6 , cinco años en la Tierra son 3 años en un barco) y el efecto del aumento del retraso del tiempo de luz (que crece de 0 a 4 años).

Por supuesto, la frecuencia observada de la transmisión también es 1 ⁄ 3 de la frecuencia del transmisor (una reducción en la frecuencia; "desplazada al rojo"). Esto se llama efecto Doppler relativista . La frecuencia de los tictac del reloj (o de los frentes de onda) que se ven desde una fuente con frecuencia en reposo f _rest es

${\displaystyle f_{\mathrm {obs} }=f_{\mathrm {rest} }{\sqrt {\left({1-v/c}\right)/\left({1+v/c}\right)}}}$

cuando la fuente se aleja directamente. Esto es f _obs = 1 ⁄ 3 f _resto para v / c = 0,8.

En cuanto al gemelo que se queda en casa, recibe una señal más lenta del barco durante 9 años, a una frecuencia de 1 ⁄ 3 de la frecuencia del transmisor. Durante estos 9 años, el reloj del gemelo viajero en la pantalla parece avanzar 3 años, por lo que ambos gemelos ven la imagen de su hermano envejeciendo a un ritmo de sólo 1⁄3 del suyo . Dicho de otra manera, ambos verían el reloj del otro funcionar a 1⁄3 de su propia velocidad. Si excluyen del cálculo el hecho de que el retardo de tiempo de luz de la transmisión aumenta a un ritmo de 0,8 segundos por segundo, ambos pueden calcular que el otro gemelo está envejeciendo más lentamente, a un ritmo del 60%.

Luego el barco regresa a casa. El reloj del gemelo que se queda muestra "1 año después del lanzamiento" en la pantalla del barco, y durante los 3 años del viaje de regreso aumenta hasta "10 años después del lanzamiento", por lo que el reloj en la pantalla parece estar avanzando. 3 veces más rápido de lo habitual.

Cuando la fuente se mueve hacia el observador, la frecuencia observada es mayor ("desplazada hacia el azul") y está dada por

${\displaystyle f_{\mathrm {obs} }=f_{\mathrm {rest} }{\sqrt {\left({1+v/c}\right)/\left({1-v/c}\right)}}}$

Esto es f _obs = 3 f _rest para v / c = 0,8.

En cuanto a la pantalla en la Tierra, muestra que el viaje de regreso comenzó 9 años después del lanzamiento, y el reloj de viaje en la pantalla muestra que han pasado 3 años en la nave. Un año después, el barco regresa a casa y el reloj marca 6 años. Entonces, durante el viaje de regreso, ambos gemelos ven que el reloj de su hermano va 3 veces más rápido que el suyo. Teniendo en cuenta el hecho de que el retardo de la luz disminuye 0,8 segundos por segundo, cada gemelo calcula que el otro gemelo está envejeciendo al 60% de su propia velocidad de envejecimiento.

Caminos de luz para imágenes intercambiadas durante el viaje
Izquierda: Tierra a barco. Derecha: Nave a la Tierra.
Las líneas rojas indican que se reciben imágenes de baja frecuencia, las líneas azules indican que se reciben imágenes de alta frecuencia

Los diagramas x – t (espacio-tiempo) de la izquierda muestran las trayectorias de las señales luminosas que viajan entre la Tierra y el barco (primer diagrama) y entre el barco y la Tierra (segundo diagrama). Estas señales transmiten las imágenes de cada gemelo y su reloj de edad al otro gemelo. La línea negra vertical es el camino de la Tierra a través del espacio-tiempo y los otros dos lados del triángulo muestran el camino de la nave a través del espacio-tiempo (como en el diagrama de Minkowski arriba). En lo que respecta al remitente, los transmite a intervalos iguales (digamos, una vez por hora) según su propio reloj; pero según el reloj del gemelo que recibe estas señales, no las recibe a intervalos iguales.

Una vez que el barco haya alcanzado su velocidad de crucero de 0,8 c , cada gemelo verá pasar 1 segundo en la imagen recibida del otro gemelo por cada 3 segundos de su propio tiempo. Es decir, cada uno vería la imagen del reloj del otro atrasándose, no sólo por el factor ε 0,6, sino incluso más lento porque el retraso del tiempo de luz aumenta 0,8 segundos por segundo. Esto se muestra en las figuras mediante líneas de luz rojas. En algún momento, las imágenes recibidas por cada gemelo cambian de modo que cada uno verá pasar 3 segundos en la imagen por cada segundo de su propio tiempo. Es decir, la frecuencia de la señal recibida ha aumentado debido al desplazamiento Doppler. Estas imágenes de alta frecuencia se muestran en las figuras mediante trayectorias de luz azul.

La asimetría en las imágenes desplazadas Doppler.

La asimetría entre la Tierra y la nave espacial se manifiesta en este diagrama por el hecho de que la nave recibe más imágenes desplazadas hacia el azul (envejecimiento rápido). Dicho de otra manera, la nave espacial ve cómo la imagen cambia de un desplazamiento al rojo (envejecimiento más lento de la imagen) a un desplazamiento al azul (envejecimiento más rápido de la imagen) en el punto medio de su viaje (en el momento del cambio, 3 años después de la salida). ); la Tierra ve cómo la imagen de la nave cambia de corrimiento al rojo a corrimiento al azul después de 9 años (casi al final del período en el que la nave está ausente). En la siguiente sección, se verá otra asimetría en las imágenes: el gemelo de la Tierra ve la edad del gemelo de la nave en la misma cantidad en las imágenes desplazadas en rojo y azul; la nave gemela ve la edad de la gemela de la Tierra en diferentes cantidades en las imágenes desplazadas en rojo y azul.

Cálculo del tiempo transcurrido a partir del diagrama Doppler.

El gemelo del barco ve imágenes de baja frecuencia (rojas) durante 3 años. Durante ese tiempo, vería al gemelo de la Tierra en la imagen envejecer 3/3 = 1 año . Luego ve imágenes de alta frecuencia (azules) durante el viaje de regreso de 3 años. Durante ese tiempo, vería al gemelo de la Tierra en la imagen envejecer 3 × 3 = 9 años. Cuando finaliza el viaje, la imagen del gemelo de la Tierra ha envejecido 1 + 9 = 10 años.

La gemela de la Tierra ve 9 años de imágenes lentas (rojas) de la nave gemela, durante los cuales la nave gemela envejece (en la imagen) en 9/3 = 3 años. Luego ve imágenes rápidas (azules) durante el año restante hasta que el barco regresa. En las imágenes rápidas, el barco gemelo envejece 1 × 3 = 3 años. El envejecimiento total de la nave gemela en las imágenes recibidas por la Tierra es 3 + 3 = 6 años , por lo que la nave gemela regresa más joven (6 años frente a los 10 años de la Tierra).

La distinción entre lo que ven y lo que calculan

Para evitar confusiones, observe la distinción entre lo que ve cada gemelo y lo que cada uno calcularía. Cada uno ve una imagen de su gemelo que sabe que se originó en un momento anterior y que sabe que tiene un desplazamiento Doppler. No toma el tiempo transcurrido en la imagen como la edad de su gemelo ahora.

• Si quiere calcular cuándo su gemelo tenía la edad que se muestra en la imagen ( es decir, cuántos años tenía él mismo entonces), tiene que determinar a qué distancia estaba su gemelo cuando se emitió la señal; en otras palabras, tiene que considerar la simultaneidad. para un evento lejano.
• Si quiere calcular qué tan rápido envejecía su gemelo cuando se transmitió la imagen, ajusta el desplazamiento Doppler. Por ejemplo, cuando recibe imágenes de alta frecuencia (que muestran a su gemelo envejeciendo rápidamente) con frecuencia , no concluye que el gemelo estaba envejeciendo tan rápidamente cuando se generó la imagen, como tampoco concluye que la sirena de una ambulancia está emitiendo la señal. frecuencia que escucha. Sabe que el efecto Doppler ha aumentado la frecuencia de la imagen en el factor 1/(1 − v / c ). Por lo tanto, calcula que su gemelo estaba envejeciendo al ritmo de ${\displaystyle \scriptstyle {f_{\mathrm {rest} }{\sqrt {\left({1+v/c}\right)/\left({1-v/c}\right)}}}}$

${\displaystyle f_{\mathrm {rest} }{\sqrt {\left({1+v/c}\right)/\left({1-v/c}\right)}}\times \left(1-v/c\right)=f_{\mathrm {rest} }{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}\equiv \epsilon f_{\mathrm {rest} }}$

cuando se emitió la imagen. Un cálculo similar revela que su gemelo envejecía con la misma tasa reducida de εf _{en reposo} en todas las imágenes de baja frecuencia.

Simultaneidad en el cálculo del desplazamiento Doppler.

Puede resultar difícil ver dónde entra la simultaneidad en el cálculo del desplazamiento Doppler y, de hecho, a menudo se prefiere este cálculo porque no hay que preocuparse por la simultaneidad. Como se ve arriba, el barco gemelo puede convertir su frecuencia Doppler desplazada recibida a una frecuencia más lenta del reloj distante para imágenes rojas y azules. Si ignora la simultaneidad, podría decir que su gemelo estaba envejeciendo a un ritmo reducido durante todo el viaje y, por lo tanto, debería ser más joven que él. Ahora ha vuelto al punto de partida y tiene que tener en cuenta el cambio en su noción de simultaneidad en el cambio. La velocidad que puede calcular para la imagen (corregida por el efecto Doppler) es la velocidad del reloj del gemelo de la Tierra en el momento en que fue enviada, no en el momento en que fue recibida. Dado que recibe un número desigual de imágenes desplazadas al rojo y al azul, debe darse cuenta de que las emisiones desplazadas al rojo y al azul no se emitieron durante períodos de tiempo iguales para el gemelo de la Tierra y, por lo tanto, debe tener en cuenta la simultaneidad a distancia.

Mirador del gemelo viajero

Durante el giro, el gemelo que viaja se encuentra en un sistema de referencia acelerado . Según el principio de equivalencia , el gemelo viajero puede analizar la fase de inversión como si el gemelo que se queda en casa estuviera cayendo libremente en un campo gravitacional y como si el gemelo viajero estuviera estacionario. Un artículo de 1918 de Einstein presenta un bosquejo conceptual de la idea. ^{[A 8]} Desde el punto de vista del viajero, un cálculo para cada tramo por separado, ignorando el cambio de sentido, conduce a un resultado en el que los relojes de la Tierra envejecen menos que el viajero. Por ejemplo, si los relojes de la Tierra envejecen 1 día menos en cada pata, el retraso de los relojes de la Tierra será de 2 días. La descripción física de lo que sucede en el cambio de rumbo tiene que producir un efecto contrario del doble de esa cantidad: 4 días de avance de los relojes de la Tierra. Entonces el reloj del viajero terminará con un retraso neto de 2 días respecto a los relojes de la Tierra, de acuerdo con los cálculos realizados en el marco del gemelo que se queda en casa.

El mecanismo para el avance del reloj del gemelo que se queda en casa es la dilatación del tiempo gravitacional . Cuando un observador descubre que los objetos que se mueven inercialmente están siendo acelerados con respecto a sí mismos, esos objetos están en un campo gravitacional en lo que respecta a la relatividad. Para el gemelo viajero en el momento de la rotación, este campo gravitacional llena el universo. En una aproximación de campo débil, los relojes marcan a una velocidad de t' = t (1 + Φ / c ² ) donde Φ es la diferencia en el potencial gravitacional. En este caso, Φ = gh donde g es la aceleración del observador que viaja durante el giro y h es la distancia hasta el gemelo que se queda en casa. El cohete se dispara hacia el gemelo que se queda en casa, colocándolo así en un potencial gravitacional más alto. Debido a la gran distancia entre los gemelos, los relojes del gemelo que se queda en casa parecerán estar lo suficientemente acelerados como para tener en cuenta la diferencia en los tiempos adecuados que experimentan los gemelos. No es casualidad que esta aceleración sea suficiente para explicar el cambio de simultaneidad descrito anteriormente. La solución de la relatividad general para un campo gravitacional estático homogéneo y la solución de la relatividad especial para una aceleración finita producen resultados idénticos. ^[33]

Se han realizado otros cálculos para el gemelo viajero (o para cualquier observador que a veces acelere), que no involucran el principio de equivalencia y que no involucran ningún campo gravitacional. Tales cálculos se basan únicamente en la teoría especial, no en la teoría general, de la relatividad. Un enfoque calcula superficies de simultaneidad considerando pulsos de luz, de acuerdo con la idea del cálculo k de Hermann Bondi . ^[34] Un segundo enfoque calcula una integral sencilla pero técnicamente complicada para determinar cómo el gemelo viajero mide el tiempo transcurrido en el reloj de casa. Un resumen de este segundo enfoque se ofrece en una sección separada a continuación.

Diferencia en el tiempo transcurrido como resultado de diferencias en las trayectorias espacio-temporales de los gemelos

Paradoja de los gemelos empleando un cohete que sigue un perfil de aceleración en términos de tiempo de coordenadas T y estableciendo c=1: Fase 1 (a=0,6, T=2); Fase 2 (a=0, T=2); Fase 3-4 (a=-0,6, 2T=4); Fase 5 (a=0, T=2); Fase 6 (a=0,6, T=2). Los gemelos se encuentran en T=12 y τ=9,33. Los números azules indican el tiempo de coordenadas T en el marco inercial del gemelo que se queda en casa, los números rojos el tiempo adecuado τ del cohete gemelo y "a" es la aceleración adecuada. Las finas líneas rojas representan líneas de simultaneidad en términos de los diferentes marcos inerciales momentáneos del cohete gemelo. Los puntos marcados con los números azules 2, 4, 8 y 10 indican los momentos en que la aceleración cambia de dirección.

El siguiente párrafo muestra varias cosas:

• cómo emplear un enfoque matemático preciso para calcular las diferencias en el tiempo transcurrido
• cómo demostrar exactamente la dependencia del tiempo transcurrido de los diferentes caminos tomados por los gemelos a través del espacio-tiempo
• cómo cuantificar las diferencias en el tiempo transcurrido
• cómo calcular el tiempo adecuado en función (integral) del tiempo coordinado

Dejemos que el reloj K esté asociado con el "gemelo que se queda en casa". Asocie el reloj K' con el cohete que realiza el viaje. En el evento de salida ambos relojes se ponen a 0.

Fase 1: El cohete (con reloj K' ) se embarca con una aceleración adecuada constante _a durante un tiempo Ta medido por el reloj K hasta que alcanza cierta velocidad V.

_{Fase 2: El} cohete sigue desplazándose a velocidad V durante algún tiempo Tc según el reloj K.

Fase 3: El cohete dispara sus motores en dirección opuesta a K durante un tiempo Ta _según el reloj K hasta quedar en reposo respecto al reloj K. La aceleración propia constante tiene el valor −a , es decir, el cohete está desacelerando .

Fase 4: El cohete sigue disparando sus motores en sentido contrario a K , durante el mismo tiempo T _a según el reloj K , hasta que K' recupera la misma velocidad V con respecto a K , pero ahora hacia K (con velocidad − V ).

Fase 5: El cohete sigue avanzando hacia _K a velocidad V durante el mismo tiempo Tc según el reloj K.

Fase 6: El cohete vuelve a encender sus motores en dirección a K , por lo que desacelera con una aceleración propia constante a durante un tiempo T _a , siempre según el reloj K , hasta que ambos relojes se reúnen.

Sabiendo que el reloj K permanece inercial (estacionario), el tiempo propio total acumulado Δ τ del reloj K' estará dado por la función integral del tiempo coordinado Δ t

${\displaystyle \Delta \tau =\int {\sqrt {1-(v(t)/c)^{2}}}\ dt\ }$

donde v ( t ) es la velocidad coordinada del reloj K' en función de t según el reloj K y, por ejemplo, durante la fase 1, dada por

${\displaystyle v(t)={\frac {at}{\sqrt {1+\left({\frac {at}{c}}\right)^{2}}}}.}$

Esta integral se puede calcular para las 6 fases: ^[35]

Fase 1 ${\displaystyle :\quad c/a\ {\text{arsinh}}(a\ T_{a}/c)\,}$

Fase 2 ${\displaystyle :\quad T_{c}\ {\sqrt {1-V^{2}/c^{2}}}}$

Fase 3 ${\displaystyle :\quad c/a\ {\text{arsinh}}(a\ T_{a}/c)\,}$

Fase 4 ${\displaystyle :\quad c/a\ {\text{arsinh}}(a\ T_{a}/c)\,}$

Fase 5 ${\displaystyle :\quad T_{c}\ {\sqrt {1-V^{2}/c^{2}}}}$

Fase 6 ${\displaystyle :\quad c/a\ {\text{arsinh}}(a\ T_{a}/c)\,}$

donde a es la aceleración adecuada, sentida por el reloj K' durante la(s) fase(s) de aceleración y donde se mantienen las siguientes relaciones entre V , a y T _a :

${\displaystyle V=a\ T_{a}/{\sqrt {1+(a\ T_{a}/c)^{2}}}}$

${\displaystyle a\ T_{a}=V/{\sqrt {1-V^{2}/c^{2}}}}$

Entonces el reloj viajero K' mostrará un tiempo transcurrido de

${\displaystyle \Delta \tau =2T_{c}{\sqrt {1-V^{2}/c^{2}}}+4c/a\ {\text{arsinh}}(a\ T_{a}/c)}$

que se puede expresar como

${\displaystyle \Delta \tau =2T_{c}/{\sqrt {1+(a\ T_{a}/c)^{2}}}+4c/a\ {\text{arsinh}}(a\ T_{a}/c)}$

mientras que el reloj estacionario K muestra un tiempo transcurrido de

${\displaystyle \Delta t=2T_{c}+4T_{a}\,}$

que es, para cada valor posible de a , Ta _, Tc _y V , mayor que la lectura del reloj K' :

${\displaystyle \Delta t>\Delta \tau \,}$

Diferencia en tiempos transcurridos: cómo calcularlo desde el barco

Paradoja de los gemelos empleando un cohete siguiendo un perfil de aceleración en términos de tiempo propio τ y estableciendo c=1: Fase 1 (a=0,6, τ=2); Fase 2 (a=0, τ=2); Fase 3-4 (a=-0,6, 2τ=4); Fase 5 (a=0, τ=2); Fase 6 (a=0,6, τ=2). Los gemelos se encuentran en T=17,3 y τ=12.

En la fórmula estándar del tiempo propio

${\displaystyle \Delta \tau =\int _{0}^{\Delta t}{\sqrt {1-\left({\frac {v(t)}{c}}\right)^{2}}}\ dt,\ }$

Δ τ representa el tiempo del observador no inercial (viajero) K' en función del tiempo transcurrido Δ t del observador inercial (que se queda en casa) K para quien el observador K' tiene una velocidad v ( t ) en el tiempo t .

Para calcular el tiempo transcurrido Δ t del observador inercial K en función del tiempo transcurrido Δ τ del observador no inercial K' , donde sólo se puede acceder a cantidades medidas por K' , se puede utilizar la siguiente fórmula: ^[19]

${\displaystyle \Delta t^{2}=\left[\int _{0}^{\Delta \tau }e^{\int _{0}^{\bar {\tau }}a(\tau ')d\tau '}\,d{\bar {\tau }}\right]\,\left[\int _{0}^{\Delta \tau }e^{-\int _{0}^{\bar {\tau }}a(\tau ')d\tau '}\,d{\bar {\tau }}\right],\ }$

donde a(τ) es la aceleración propia del observador no inercial K' medida por él mismo (por ejemplo, con un acelerómetro) durante todo el viaje de ida y vuelta. La desigualdad de Cauchy-Schwarz se puede utilizar para mostrar que la desigualdad Δ t > Δ τ se deriva de la expresión anterior:

${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta t^{2}&=\left[\int _{0}^{\Delta \tau }e^{\int _{0}^{\bar {\tau }}a(\tau ')d\tau '}\,d{\bar {\tau }}\right]\,\left[\int _{0}^{\Delta \tau }e^{-\int _{0}^{\bar {\tau }}a(\tau ')d\tau '}\,d{\bar {\tau }}\right]\\&>\left[\int _{0}^{\Delta \tau }e^{\int _{0}^{\bar {\tau }}a(\tau ')d\tau '}\,e^{-\int _{0}^{\bar {\tau }}a(\tau ')\,d\tau '}\,d{\bar {\tau }}\right]^{2}=\left[\int _{0}^{\Delta \tau }d{\bar {\tau }}\right]^{2}=\Delta \tau ^{2}.\end{aligned}}}$

Usando la función delta de Dirac para modelar la fase de aceleración infinita en el caso estándar del viajero que tiene velocidad constante v durante el viaje de ida y vuelta, la fórmula produce el resultado conocido:

${\displaystyle \Delta t={\frac {1}{\sqrt {1-{\tfrac {v^{2}}{c^{2}}}}}}\Delta \tau .\ }$

En el caso en que el observador acelerado K' parte de K con velocidad inicial cero, la ecuación general se reduce a la forma más simple:

${\displaystyle \Delta t=\int _{0}^{\Delta \tau }e^{\pm \int _{0}^{\bar {\tau }}a(\tau ')d\tau '}\,d{\bar {\tau }},\ }$

lo cual, en la versión suave de la paradoja de los gemelos donde el viajero tiene fases de aceleración propias constantes, dadas sucesivamente por a , − a , − a , a , da como resultado ^[19]

${\displaystyle \Delta t={\tfrac {4}{a}}\sinh({\tfrac {a}{4}}\Delta \tau )\ }$

donde se utiliza la convención c = 1, de acuerdo con la expresión anterior con fases de aceleración T _a = Δ t /4 y fases inerciales (de inercia) T _c = 0.

Una versión rotacional

Los gemelos Bob y Alice habitan una estación espacial en órbita circular alrededor de un cuerpo masivo en el espacio. Bob se viste y sale de la estación. Mientras Alice permanece dentro de la estación y continúa orbitando con ella como antes, Bob usa un sistema de propulsión de cohete para dejar de orbitar y flotar donde estaba. Cuando la estación completa una órbita y regresa con Bob, este se reúne con Alice. Alice ahora es más joven que Bob. ^[36] Además de la aceleración rotacional, Bob debe desacelerar para quedar estacionario y luego acelerar nuevamente para igualar la velocidad orbital de la estación espacial.

Ninguna paradoja de los gemelos en un marco de referencia absoluto

La conclusión de Einstein sobre una diferencia real en los tiempos de reloj registrados (o envejecimiento) entre las partes reunidas hizo que Paul Langevin postulara un marco de referencia absoluto real, aunque experimentalmente indiscernible:

En 1911, Langevin escribió: "Una traducción uniforme en el éter no tiene sentido experimental. Pero por ello no se debe concluir, como a veces ha sucedido prematuramente, que se debe abandonar el concepto de éter, que el éter no existe". e inaccesible al experimento. Sólo no se puede detectar una velocidad uniforme relativa a ella, pero cualquier cambio de velocidad... tiene un sentido absoluto." ^[37]

En 1913, se publicaron los últimos ensayos póstumos de Henri Poincaré , donde reafirmó su posición: "Hoy algunos físicos quieren adoptar una nueva convención. No es que estén obligados a hacerlo; consideran que esta nueva convención es más conveniente; eso es todo. Y aquellos que no son de esta opinión pueden legítimamente conservar la antigua." ^[38]

En la relatividad de Poincaré y Hendrik Lorentz , que supone un marco de referencia absoluto (aunque experimentalmente indiscernible), no surge ninguna paradoja debido al hecho de que la desaceleración del reloj (junto con la contracción de la longitud y la velocidad) se considera una realidad, de ahí el tiempo real. diferencial entre los relojes reunidos.

En esa interpretación, una parte en reposo con la totalidad del cosmos (en reposo con el baricentro del universo, o en reposo con un posible éter) tendría la tasa máxima de cronometraje y una longitud no contraída. Todos los efectos de la relatividad especial de Einstein (medida consistente de la velocidad de la luz, así como desaceleración del reloj y contracción de longitud medidas simétricamente a través de marcos inerciales) encajan en su lugar.

Esa interpretación de la relatividad, que John A. Wheeler llama "teoría del éter B (contracción de longitud más contracción de tiempo)", no ganó tanta fuerza como la de Einstein, que simplemente ignoraba cualquier realidad más profunda detrás de las mediciones simétricas a través de marcos inerciales. No existe ninguna prueba física que distinga una interpretación de la otra. ^[39]

En 2005, Robert B. Laughlin (Premio Nobel de Física, Universidad de Stanford), escribió sobre la naturaleza del espacio: "Es irónico que el trabajo más creativo de Einstein, la teoría general de la relatividad, se reduzca a conceptualizar el espacio como un medio cuando su La premisa original [en la relatividad especial] era que tal medio no existía... La palabra 'éter' tiene connotaciones extremadamente negativas en la física teórica debido a su asociación pasada con la oposición a la relatividad. Esto es desafortunado porque, despojada de estas connotaciones, más bien. capta muy bien la forma en que la mayoría de los físicos realmente piensan sobre el vacío... La relatividad en realidad no dice nada sobre la existencia o inexistencia de materia que impregna el universo, sólo que dicha materia debe tener simetría relativista (es decir, tal como se mide)". ^[40]

En Relatividad especial (1968), AP French escribió: "Obsérvese, sin embargo, que estamos apelando a la realidad de la aceleración de A y a la observabilidad de las fuerzas de inercia asociadas con ella. ¿Efectos como la paradoja de los gemelos (específicamente... ¿Existe el diferencial de cronometraje entre relojes reunidos) si la estructura de estrellas fijas y galaxias distantes no existiera? materia del universo en general." ^[41]

Ver también

• La paradoja de la nave espacial de Bell
• Hipótesis del reloj
• Paradoja de Ehrenfest
• Herbert Dingle
• Paradoja de la escalera
• Lista de paradojas
• La paradoja de Supplee
• Dilatación del tiempo
• Hora de las estrellas

Fuentes primarias

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2. Einstein, Alberto (1911). "Die Relativitäts-Theorie". Naturforschende Gesellschaft, Zúrich, Vierteljahresschrift . 56 : 1–14.
3. Langevin, P. (1911), "La evolución del espacio y el tiempo", Scientia , X : 31–54(traducido por JB Sykes, 1973 del original francés: "L'évolution de l'espace et du temps").
4. Von Laue, Max (1911). "Zwei Einwände gegen die Relativitätstheorie und ihre Widerlegung (Dos objeciones contra la teoría de la relatividad y su refutación)". Physikalische Zeitschrift . 13 : 118-120.
5. Von Laue, Max (1913). Das Relativitätsprinzip (El principio de la relatividad) (2 ed.). Braunschweig, Alemania: Friedrich Vieweg. OCLC  298055497.
6. Von Laue, Max (1913). "Das Relativitätsprinzip (El principio de la relatividad)". Jahrbücher der Philosophie . 1 : 99–128.
7. "Vamos a ver este carácter absoluto de la aceleración manifestarse de otra forma". ("Nous allons voir se manifester sous une autre forme ce caractère absolu de l'accélération."), página 82 de Langevin1911
8. Einstein, A. (1918) "diálogo sobre las objeciones contra la teoría de la relatividad", Die Naturwissenschaften 48 , págs. 697–702, 29 de noviembre de 1918

Fuentes secundarias

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41. Francés, AP (1968). Relatividad especial. WW Norton, Nueva York. pag. 156.

Otras lecturas

El reloj ideal

El reloj ideal es un reloj cuya acción depende sólo de su velocidad instantánea y es independiente de cualquier aceleración del reloj.

• Wolfgang Rindler (2006). "Dilatación del tiempo". Relatividad: especial, general y cosmológica . Prensa de la Universidad de Oxford. pag. 43.ISBN​ 0-19-856731-6.

Dilatación del tiempo gravitacional; dilatación del tiempo en movimiento circular

• John A pavo real (2001). Física cosmológica. Prensa de la Universidad de Cambridge. pag. 8.ISBN​ 0-521-42270-1.
• Silvio Bonometto; Vittorio Gorini; Ugo Moschella (2002). Cosmología moderna. Prensa CRC. pag. 12.ISBN​ 0-7503-0810-9.
• Patricio Cornille (2003). Electromagnetismo Avanzado y Física del Vacío. Científico mundial. pag. 180.ISBN​ 981-238-367-0.

enlaces externos

• Descripción general de Twin Paradox Archivado el 24 de septiembre de 2015 en Wayback Machine en las preguntas frecuentes sobre física de Usenet
• La paradoja de los gemelos: ¿Es paradójica la simetría de la dilatación del tiempo? De Einsteinlight: Relatividad en animaciones y clips de películas.
• Animaciones FLASH: de John de Pillis. (Escena 1): "Vista" desde el punto de vista del gemelo de la Tierra. (Escena 2): "Vista" desde el punto de vista del gemelo viajero.
• Calculadora de ciencia de la relatividad: paradoja del reloj gemelo