En matemáticas , el invariante eta de un operador diferencial elíptico autoadjunto en una variedad compacta es formalmente el número de valores propios positivos menos el número de valores propios negativos. En la práctica, ambos números suelen ser infinitos, por lo que se definen mediante la regularización de la función zeta . Fue introducido por Atiyah , Patodi y Singer (1973, 1975), quienes lo utilizaron para extender el teorema de la firma de Hirzebruch a variedades con límite. El nombre proviene de que es una generalización de la función Dirichlet eta .
Posteriormente también utilizaron el invariante eta de un operador autoadjunto para definir el invariante eta de una variedad suave compacta de dimensiones impares.
Michael Francis Atiyah , H. Donnelly e IM Singer (1983) definieron el defecto característico del límite de una variedad como el invariante eta, y utilizaron esto para mostrar que el defecto característico de Hirzebruch de una cúspide de una superficie modular de Hilbert se puede expresar en términos del valor en s = 0 o 1 de una función L de Shimizu .
La invariante eta del operador autoadjunto A viene dada por η A (0), donde η es la continuación analítica de
y la suma está sobre los valores propios distintos de cero λ de A .
