Estructura de Kuranishi

En matemáticas, especialmente en topología , una estructura de Kuranishi es un análogo suave de la estructura de esquema . Si un espacio topológico está dotado de una estructura de Kuranishi, entonces localmente puede identificarse con el conjunto cero de una función suave , o el cociente de dicho conjunto cero por un grupo finito. Las estructuras de Kuranishi fueron introducidas por los matemáticos japoneses Kenji Fukaya y Kaoru Ono en el estudio de los invariantes de Gromov-Witten y la homología de Floer en geometría simpléctica, y recibieron su nombre en honor a Masatake Kuranishi . ^[1] ${\displaystyle (f_{1},\ldots ,f_{k})\colon \mathbb {R} ^{n+k}\to \mathbb {R} ^{k}}$

Definición

Sea un espacio topológico metrizable compacto . Sea un punto. Un entorno de Kuranishi de (de dimensión ) es una quintupla ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle p\in X}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle k}$

${\displaystyle K_{p}=(U_{p},E_{p},S_{p},F_{p},\psi _{p})}$

dónde

• ${\displaystyle U_{p}}$es un orbifold liso ;
• ${\displaystyle E_{p}\to U_{p}}$es un haz vectorial orbifold suave;
• ${\displaystyle S_{p}\colon U_{p}\to E_{p}}$es una sección lisa;
• ${\displaystyle F_{p}}$es un barrio abierto de ; ${\displaystyle p}$
• ${\displaystyle \psi _{p}\colon S_{p}^{-1}(0)\to F_{p}}$es un homeomorfismo .

Deberían satisfacer eso . ${\displaystyle \dim U_{p}-\operatorname {rank} E_{p}=k}$

Si y , son sus vecindarios de Kuranishi respectivamente, entonces un cambio de coordenadas de a es un triple ${\displaystyle p,q\in X}$ ${\displaystyle K_{p}=(U_{p},E_{p},S_{p},F_{p},\psi _{p})}$ ${\displaystyle K_{q}=(U_{q},E_{q},S_{q},F_{q},\psi _{q})}$ ${\displaystyle K_{q}}$ ${\displaystyle K_{p}}$

${\displaystyle T_{pq}=(U_{pq},\phi _{pq},{\hat {\phi }}_{pq}),}$

dónde

• ${\displaystyle U_{pq}\subset U_{q}}$es un suborbifold abierto;
• ${\displaystyle \phi _{pq}\colon U_{pq}\to U_{p}}$es una incrustación orbifold;
• ${\displaystyle {\hat {\phi }}_{pq}\colon E_{q}|_{U_{pq}}\to E_{p}}$es una incrustación de haz vectorial orbifold que cubre . ${\displaystyle \phi _{pq}}$

Además, estos datos deben cumplir las siguientes condiciones de compatibilidad:

• ${\displaystyle S_{p}\circ \phi _{pq}={\hat {\phi }}_{pq}\circ S_{q}|_{U_{pq}}}$;
• ${\displaystyle \psi _{p}\circ \phi _{pq}|_{S_{q}^{-1}(0)\cap U_{pq}}=\psi _{q}|_{S_{q}^{-1}(0)\cap U_{pq}}}$.

Una estructura de Kuranishi sobre una dimensión es una colección ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle k}$

${\displaystyle {\Big (}\{K_{p}=(U_{p},E_{p},S_{p},F_{p},\psi _{p})\ |\ p\in X\},\ \{T_{pq}=(U_{pq},\phi _{pq},{\hat {\phi }}_{pq})\ |\ p\in X,\ q\in F_{p}\}{\Big )},}$

dónde

• ${\displaystyle K_{p}}$es un barrio de Kuranishi de dimensión ; ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle k}$
• ${\displaystyle T_{pq}}$es un cambio de coordenadas de a . ${\displaystyle K_{q}}$ ${\displaystyle K_{p}}$

Además, los cambios de coordenadas deben satisfacer la condición de cociclo , es decir, siempre que , requerimos que ${\displaystyle q\in F_{p},\ r\in F_{q}}$

${\displaystyle \phi _{pq}\circ \phi _{qr}=\phi _{pr},\ {\hat {\phi }}_{pq}\circ {\hat {\phi }}_{qr}={\hat {\phi }}_{pr}}$

sobre las regiones donde se definen ambos lados.

Historia

En la teoría de Gromov-Witten , es necesario definir la integración sobre el espacio de módulos de curvas pseudoholomórficas . ^[2] Este espacio de módulos es aproximadamente la colección de aplicaciones de una superficie nodal de Riemann con género y puntos marcados en una variedad simpléctica , de modo que cada componente satisface la ecuación de Cauchy-Riemann. ${\displaystyle {\overline {\mathcal {M}}}_{g,n}(X,A)}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle {\overline {\partial }}_{J}u=0}$.

Si el espacio de módulos es una variedad o un orbifold orientado, compacto y suave, entonces se puede definir la integración (o una clase fundamental ). Cuando la variedad simpléctica es semipositiva , este es de hecho el caso (excepto para los límites de codimensión 2 del espacio de módulos) si la estructura casi compleja se perturba genéricamente. Sin embargo, cuando no es semipositiva (por ejemplo, una variedad proyectiva suave con primera clase de Chern negativa), el espacio de módulos puede contener configuraciones para las cuales un componente es una cubierta múltiple de una esfera holomorfa cuya intersección con la primera clase de Chern de es negativa. Tales configuraciones hacen que el espacio de módulos sea muy singular, por lo que una clase fundamental no se puede definir de la manera habitual. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle u\colon S^{2}\to X}$ ${\displaystyle X}$

La noción de estructura de Kuranishi era una forma de definir un ciclo fundamental virtual, que desempeña el mismo papel que un ciclo fundamental cuando el espacio de módulos se corta transversalmente. Fue utilizada por primera vez por Fukaya y Ono para definir los invariantes de Gromov-Witten y la homología de Floer, y se desarrolló aún más cuando Fukaya, Yong-Geun Oh , Hiroshi Ohta y Ono estudiaron la teoría de la intersección lagrangiana de Floer . ^[3]

Referencias

1. Fukaya, Kenji ; Ono, Kaoru (1999). "Conjetura de Arnold e invariante de Gromov–Witten". Topología . 38 (5): 933–1048. doi :10.1016/S0040-9383(98)00042-1. MR  1688434.
2. McDuff, Dusa ; Salamón, Dietmar (2004).Curvas J -holomórficas y topología simpléctica . Publicaciones del Colloquium de la American Mathematical Society. Vol. 52. Providence, RI: American Mathematical Society . doi :10.1090/coll/052. ISBN. 0-8218-3485-1.Sr. 2045629  .
3. Fukaya, Kenji ; Oh, Yong-Geun ; Ohta, Hiroshi; Ono, Kaoru (2009). Teoría de la intersección de Lagrange: anomalía y obstrucción, Parte I y Parte II . AMS/IP Studies in Advanced Mathematics. Vol. 46. Providence, RI y Somerville, MA: American Mathematical Society and International Press. ISBN 978-0-8218-4836-4. Sr.  2553465. OCLC  426147150. Señor 2548482

• Fukaya, Kenji ; Tehrani, Mohammad F. (2019). "Teoría de Gromov-Witten a través de las estructuras de Kuranishi". En Morgan, John W. (ed.). Ciclos fundamentales virtuales en topología simpléctica . Encuestas y monografías matemáticas. Vol. 237. Providence, RI: American Mathematical Society . págs. 111–252. arXiv : 1701.07821 . ISBN 978-1-4704-5014-4.Sr. 2045629  .