Cohomología cuántica

Concepto en geometría algebraica

En matemáticas , específicamente en topología simpléctica y geometría algebraica , un anillo de cohomología cuántica es una extensión del anillo de cohomología ordinario de una variedad simpléctica cerrada . Viene en dos versiones, llamadas pequeño y grande ; en general, el último es más complicado y contiene más información que el primero. En cada uno, la elección del anillo de coeficientes (normalmente un anillo de Novikov , descrito a continuación) también afecta significativamente su estructura.

Mientras que el producto de copa de la cohomología ordinaria describe cómo las subvariedades de la variedad se intersecan entre sí, el producto de copa cuántico de la cohomología cuántica describe cómo los subespacios se intersecan de una manera "difusa", "cuántica". Más precisamente, se intersecan si están conectados a través de una o más curvas pseudoholomórficas . Los invariantes de Gromov-Witten , que cuentan estas curvas, aparecen como coeficientes en las expansiones del producto de copa cuántico.

Dado que expresa una estructura o patrón para los invariantes de Gromov-Witten, la cohomología cuántica tiene implicaciones importantes para la geometría enumerativa . También se conecta con muchas ideas de la física matemática y la simetría especular . En particular, es isomorfa en anillo con la homología simpléctica de Floer .

A lo largo de este artículo, X es una variedad simpléctica cerrada con forma simpléctica ω.

Anillo de Novikov

Son posibles varias opciones de anillo de coeficientes para la cohomología cuántica de X. Normalmente se elige un anillo que codifique información sobre la segunda homología de X. Esto permite que el producto de copa cuántica, definido a continuación, registre información sobre curvas pseudoholomórficas en X. Por ejemplo, sea

${\displaystyle H_{2}(X)=H_{2}(X,\mathbf {Z} )/\mathrm {torsion} }$

sea ​​la segunda homología módulo su torsión . Sea R cualquier anillo conmutativo con unidad y Λ el anillo de la serie de potencias formales de la forma

${\displaystyle \lambda =\sum _{A\in H_{2}(X)}\lambda _{A}e^{A},}$

dónde

• Los coeficientes provienen de R , ${\displaystyle \lambda _{A}}$
• son variables formales sujetas a la relación , ${\displaystyle e^{A}}$ ${\displaystyle e^{A}e^{B}=e^{A+B}}$
• para cada número real C , sólo un número finito de A con ω( A ) menor o igual a C tienen coeficientes distintos de cero . ${\displaystyle \lambda _{A}}$

Se considera que la variable es de grado , donde es la primera clase de Chern del fibrado tangente TX , considerado como un fibrado vectorial complejo eligiendo cualquier estructura casi compleja compatible con ω. Por lo tanto, Λ es un anillo graduado, llamado anillo de Novikov para ω. (Son comunes las definiciones alternativas). ${\displaystyle e^{A}}$ ${\displaystyle 2c_{1}(A)}$ ${\displaystyle c_{1}}$

Pequeña cohomología cuántica

Dejar

${\displaystyle H^{*}(X)=H^{*}(X,\mathbf {Z} )/\mathrm {torsion} }$

sea ​​la cohomología de X módulo torsión. Defina la cohomología cuántica pequeña con coeficientes en Λ como

${\displaystyle QH^{*}(X,\Lambda )=H^{*}(X)\otimes _{\mathbf {Z} }\Lambda .}$

Sus elementos son sumas finitas de la forma

${\displaystyle \sum _{i}a_{i}\otimes \lambda _{i}.}$

La pequeña cohomología cuántica es un módulo R graduado con

${\displaystyle \deg(a_{i}\otimes \lambda _{i})=\deg(a_{i})+\deg(\lambda _{i}).}$

La cohomología ordinaria H *( X ) se integra en QH *( X , Λ) a través de , y QH *( X , Λ) se genera como un Λ-módulo por H *( X ). ${\displaystyle a\mapsto a\otimes 1}$

Para cualesquiera dos clases de cohomología a , b en H *( X ) de grado puro, y para cualquier A en , defina ( a ∗ b ) _A como el único elemento de H *( X ) tal que ${\displaystyle H_{2}(X)}$

${\displaystyle \int _{X}(a*b)_{A}\smile c=GW_{0,3}^{X,A}(a,b,c).}$

(El lado derecho es un invariante de Gromov-Witten de género 0 y 3 puntos). Luego defina

${\displaystyle a*b:=\sum _{A\in H_{2}(X)}(a*b)_{A}\otimes e^{A}.}$

Esto se extiende por linealidad a un mapa Λ-bilineal bien definido

${\displaystyle QH^{*}(X,\Lambda )\otimes QH^{*}(X,\Lambda )\to QH^{*}(X,\Lambda )}$

llamado producto de copa cuántica pequeña .

Interpretación geométrica

Las únicas curvas pseudoholomórficas de la clase A = 0 son aplicaciones constantes, cuyas imágenes son puntos. De ello se deduce que

${\displaystyle GW_{0,3}^{X,0}(a,b,c)=\int _{X}a\smile b\smile c;}$

en otras palabras,

${\displaystyle (a*b)_{0}=a\smile b.}$

De esta manera, el producto de taza cuántica contiene el producto de taza ordinario; extiende el producto de taza ordinario a clases A distintas de cero .

En general, el dual de Poincaré de ( a ∗ b ) _A corresponde al espacio de curvas pseudoholomórficas de clase A que pasan por los duales de Poincaré de a y b . Así, mientras que la cohomología ordinaria considera que a y b se intersecan solo cuando se encuentran en uno o más puntos, la cohomología cuántica registra una intersección distinta de cero para a y b siempre que estén conectados por una o más curvas pseudoholomórficas. El anillo de Novikov simplemente proporciona un sistema de contabilidad lo suficientemente grande como para registrar esta información de intersección para todas las clases A .

Ejemplo

Sea X el plano proyectivo complejo con su forma simpléctica estándar (correspondiente a la métrica de Fubini-Study ) y estructura compleja. Sea el dual de Poincaré de una recta L. Entonces ${\displaystyle \ell \in H^{2}(X)}$

${\displaystyle H^{*}(X)\cong \mathbf {Z} [\ell ]/\ell ^{3}.}$

Los únicos invariantes de Gromov-Witten distintos de cero son los de clase A = 0 o A = L . Resulta que

${\displaystyle \int _{X}(\ell ^{i}*\ell ^{j})_{0}\smile \ell ^{k}=GW_{0,3}^{X,0}(\ell ^{i},\ell ^{j},\ell ^{k})=\delta (i+j+k,2)}$

y

${\displaystyle \int _{X}(\ell ^{i}*\ell ^{j})_{L}\smile \ell ^{k}=GW_{0,3}^{X,L}(\ell ^{i},\ell ^{j},\ell ^{k})=\delta (i+j+k,5),}$

donde δ es el delta de Kronecker . Por lo tanto,

${\displaystyle \ell *\ell =\ell ^{2}e^{0}+0e^{L}=\ell ^{2},}$

${\displaystyle \ell *\ell ^{2}=0e^{0}+1e^{L}=e^{L}.}$

En este caso es conveniente renombrar como q y utilizar el anillo de coeficientes más simple Z [ q ]. Este q es de grado . Entonces ${\displaystyle e^{L}}$ ${\displaystyle 6=2c_{1}(L)}$

${\displaystyle QH^{*}(X,\mathbf {Z} [q])\cong \mathbf {Z} [\ell ,q]/(\ell ^{3}=q).}$

Propiedades del producto de copa cuántica pequeña

Para a , b de grado puro,

${\displaystyle \deg(a*b)=\deg(a)+\deg(b)}$

y

${\displaystyle b*a=(-1)^{\deg(a)\deg(b)}a*b.}$

El producto de copa cuántica pequeña es distributivo y Λ-bilineal. El elemento de identidad es también el elemento de identidad para la cohomología cuántica pequeña. ${\displaystyle 1\in H^{0}(X)}$

El producto de copa cuántica pequeña también es asociativo . Esto es una consecuencia de la ley de adherencia para los invariantes de Gromov-Witten, un resultado técnico difícil. Es equivalente al hecho de que el potencial de Gromov-Witten (una función generadora para los invariantes de Gromov-Witten de género 0) satisface una cierta ecuación diferencial de tercer orden conocida como ecuación WDVV.

Un emparejamiento de intersección

${\displaystyle QH^{*}(X,\Lambda )\otimes QH^{*}(X,\Lambda )\to R}$

se define por

${\displaystyle \left\langle \sum _{i}a_{i}\otimes \lambda _{i},\sum _{j}b_{j}\otimes \mu _{j}\right\rangle =\sum _{i,j}(\lambda _{i})_{0}(\mu _{j})_{0}\int _{X}a_{i}\smile b_{j}.}$

(Los subíndices 0 indican el coeficiente A = 0). Este emparejamiento satisface la propiedad de asociatividad.

${\displaystyle \langle a*b,c\rangle =\langle a,b*c\rangle .}$

Conexión con Dubrovnik

Cuando el anillo base R es C , se puede considerar la parte H del espacio vectorial QH *( X , Λ) con grado uniforme como una variedad compleja. El producto de copa cuántica pequeña se limita a un producto conmutativo bien definido en H . Bajo supuestos moderados, H con el emparejamiento de intersección es entonces un álgebra de Frobenius . ${\displaystyle \langle ,\rangle }$

El producto de copa cuántica puede considerarse como una conexión en el fibrado tangente TH , denominada conexión de Dubrovin . La conmutatividad y asociatividad del producto de copa cuántica corresponden entonces a condiciones de torsión cero y curvatura cero en esta conexión.

Gran cohomología cuántica

Existe un entorno U de 0 ∈ H tal que y la conexión de Dubrovin dan a U la estructura de una variedad de Frobenius . Cualquier a en U define un producto de copa cuántica ${\displaystyle \langle ,\rangle }$

${\displaystyle *_{a}:H\otimes H\to H}$

por la fórmula

${\displaystyle \langle x*_{a}y,z\rangle :=\sum _{n}\sum _{A}{\frac {1}{n!}}GW_{0,n+3}^{X,A}(x,y,z,a,\ldots ,a).}$

En conjunto, estos productos en H se denominan cohomología cuántica grande . Todos los invariantes de Gromov-Witten de género 0 se pueden recuperar a partir de ella; en general, no ocurre lo mismo con la cohomología cuántica pequeña más simple.

La cohomología cuántica pequeña solo tiene información de los invariantes de Gromov-Witten de 3 puntos, pero la cohomología cuántica grande tiene de todos los (n ≧ 4) invariantes de Gromov-Witten de n puntos. Para obtener información geométrica enumerativa para algunas variedades, necesitamos usar la cohomología cuántica grande. La cohomología cuántica pequeña correspondería a funciones de correlación de 3 puntos en física, mientras que la cohomología cuántica grande correspondería a todas las funciones de correlación de n puntos.

Referencias

• McDuff, Dusa y Salamon, Dietmar (2004). Curvas J-holomórficas y topología simpléctica , publicaciones del coloquio de la American Mathematical Society. ISBN  0-8218-3485-1 .
• Fulton, W; Pandharipande, R (1996). "Notas sobre mapas estables y cohomología cuántica". arXiv : alg-geom/9608011 .
• Piunikhin, Sergey; Salamon, Dietmar y Schwarz, Matthias (1996). Teoría simpléctica de Floer-Donaldson y cohomología cuántica. En CB Thomas (Ed.), Contact and Symplectic Geometry , págs. 171-200. Cambridge University Press. ISBN 0-521-57086-7