En matemáticas , específicamente en topología simpléctica y geometría algebraica , se puede construir el espacio de módulos de mapas estables , que satisfagan condiciones específicas, a partir de superficies de Riemann en una variedad simpléctica determinada . Este espacio de módulos es la esencia de las invariantes de Gromov-Witten , que encuentran aplicación en geometría enumerativa y teoría de cuerdas de tipo IIA . La idea de un mapa estable fue propuesta por Maxim Kontsevich alrededor de 1992 y publicada en Kontsevich (1995).
Debido a que la construcción es larga y difícil, se lleva a cabo aquí y no en el propio artículo sobre invariantes de Gromov-Witten.
Arreglar una variedad simpléctica cerrada con forma simpléctica . Sean y números naturales (incluido el cero) y una clase de homología bidimensional en . Entonces se puede considerar el conjunto de curvas pseudoholomórficas
donde es una superficie de Riemann suave y cerrada de género con puntos marcados , y
es una función que satisface, para alguna elección de estructura casi compleja y término no homogéneo , la perturbada ecuación de Cauchy-Riemann
Generalmente se admiten sólo aquellos y que hacen que el Euler perforado sea característico de negativo. Entonces el dominio es estable , lo que significa que solo hay un número finito de automorfismos holomorfos que conservan los puntos marcados.
El operador es elíptico y por tanto Fredholm . Después de un importante argumento analítico (completado en una norma de Sobolev adecuada , aplicando el teorema de la función implícita y el teorema de Sard para las variedades de Banach , y usando la regularidad elíptica para recuperar la suavidad), se puede demostrar que, para una elección genérica de -domesticación y perturbación , el conjunto de -Las curvas holomorfas del género con puntos marcados que representan la clase forman un orbifold suave y orientado.
de dimensión dada por el teorema del índice de Atiyah-Singer ,
El espacio de módulos no es compacto , porque una secuencia de curvas puede degenerar en una curva singular, que no está en el espacio de módulos como se definió anteriormente. Esto sucede, por ejemplo, cuando la energía de (es decir, la norma L 2 de la derivada) se concentra en algún punto del dominio.
Se puede capturar la energía cambiando la escala del mapa alrededor del punto de concentración. El efecto es unir una esfera, llamada burbuja , al dominio original en el punto de concentración y extender el mapa a través de la esfera. El mapa reescalado aún puede tener energía concentrándose en uno o más puntos, por lo que se debe reescalar iterativamente, eventualmente adjuntando un árbol de burbujas completo al dominio original, con el mapa con un buen comportamiento en cada componente suave del nuevo dominio.
Defina un mapa estable como un mapa pseudoholomórfico de una superficie de Riemann con, en el peor de los casos, singularidades nodales, de modo que solo haya un número finito de automorfismos del mapa.
Concretamente, esto significa lo siguiente. Se dice que un componente liso de una superficie nodal de Riemann es estable si hay como mucho un número finito de automorfismos que preservan sus puntos marcados y nodales. Entonces un mapa estable es un mapa pseudoholomórfico con al menos un componente de dominio estable, tal que para cada uno de los otros componentes del dominio
Es significativo que el dominio de un mapa estable no tiene por qué ser una curva estable. Sin embargo, se pueden contraer sus componentes inestables (iterativamente) para producir una curva estable, llamada estabilización del dominio .
El conjunto de todos los mapas estables de superficies de género de Riemann con puntos marcados forma un espacio de módulos
La topología se define declarando que una secuencia de mapas estables converge si y sólo si
El espacio de módulos de mapas estables es compacto; es decir, cualquier secuencia de mapas estables converge en un mapa estable. Para mostrar esto, se reescala iterativamente la secuencia de mapas. En cada iteración hay un nuevo dominio límite, posiblemente singular, con menor concentración de energía que en la iteración anterior. En este paso entra de manera crucial la forma simpléctica . La energía de cualquier mapa suave que represente la clase de homología está limitada por debajo del área simpléctica ,
con igualdad si y sólo si el mapa es pseudoholomórfico. Esto limita la energía capturada en cada iteración del cambio de escala y, por lo tanto, implica que solo se necesitan un número finito de cambios de escala para capturar toda la energía. Al final, el mapa de límites en el nuevo dominio límite es estable.
El espacio compactado vuelve a ser un orbital liso y orientado. Los mapas con automorfismos no triviales corresponden a puntos con isotropía en el orbifold.
Para construir invariantes de Gromov-Witten, se empuja el espacio de módulos de mapas estables hacia adelante debajo del mapa de evaluación.
obtener, en condiciones adecuadas, una clase de homología racional
Los coeficientes racionales son necesarios porque el espacio de módulos es un orbifold. La clase de homología definida por el mapa de evaluación es independiente de la elección de domesticación genérica y perturbación . Se llama invariante de Gromov-Witten (GW) para los datos dados , y . Se puede utilizar un argumento de cobordismo para demostrar que esta clase de homología es independiente de la elección de , hasta la isotopía. Por tanto, los invariantes de Gromov-Witten son invariantes de clases de isotopías simplécticas de variedades simplécticas.
Las "condiciones adecuadas" son bastante sutiles, principalmente porque los mapas cubiertos múltiples (mapas que factorizan a través de una cobertura ramificada del dominio) pueden formar espacios de módulos de mayor dimensión de lo esperado.
La forma más sencilla de manejar esto es asumir que la variedad objetivo es semipositiva o Fano en cierto sentido. Esta suposición se elige exactamente de modo que el espacio de módulos de mapas con cobertura múltiple tenga una codimensión de al menos dos en el espacio de mapas sin cobertura múltiple. Luego, la imagen del mapa de evaluación forma un pseudociclo, que induce una clase de homología bien definida de la dimensión esperada.
Definir invariantes de Gromov-Witten sin asumir algún tipo de semipositividad requiere una construcción técnica difícil conocida como ciclo de módulos virtuales .
