Invariantes de Seiberg-Witten

4 invariantes múltiples

En matemáticas, y especialmente en teoría de calibre , las invariantes de Seiberg-Witten son invariantes de 4 variedades compactas orientadas y suaves introducidas por Edward Witten  (1994), utilizando la teoría de Seiberg-Witten estudiada por Nathan Seiberg y Witten  (1994a, 1994b) durante sus investigaciones de Teoría del calibre de Seiberg-Witten .

Los invariantes de Seiberg-Witten son similares a los invariantes de Donaldson y pueden usarse para demostrar resultados similares (pero a veces un poco más fuertes) sobre 4 variedades suaves. Técnicamente, es mucho más fácil trabajar con ellos que con las invariantes de Donaldson; por ejemplo, los espacios de módulos de las soluciones de las ecuaciones de Seiberg-Witten tienden a ser compactos, por lo que se evitan los difíciles problemas que implica la compactación de los espacios de módulos en la teoría de Donaldson.

Para descripciones detalladas de las invariantes de Seiberg-Witten, consulte (Donaldson 1996), (Moore 2001), (Morgan 1996), (Nicolaescu 2000), (Scorpan 2005, Capítulo 10). Para conocer la relación con las variedades simplécticas y las invariantes de Gromov-Witten, consulte (Taubes 2000). Para conocer la historia temprana, consulte (Jackson 1995).

Spin c -estructuras

El grupo Spin ^c (en dimensión 4) es

${\displaystyle (U(1)\times \mathrm {Spin} (4))/(\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} ).}$

donde el actúa como signo de ambos factores. El grupo tiene un homomorfismo natural para SO(4) = Spin(4)/±1 . ${\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$

Dado un colector compacto orientado a 4, elija una métrica Riemanniana suave con conexión Levi Civita . Esto reduce el grupo estructural del componente conectado GL(4) ₊ a SO(4) y es inofensivo desde un punto de vista homotópico. Una estructura Spin ^c o una estructura de spin compleja en M es una reducción del grupo de estructuras a Spin ^c , es decir, un levantamiento de la estructura SO(4) en el paquete tangente al grupo Spin ^c . Según un teorema de Hirzebruch y Hopf , cada 4 colectores compactos orientados suavemente admite una estructura de Spin ^c . ^[1] La existencia de una estructura de Spin ^c es equivalente a la existencia de una elevación de la segunda clase Stiefel-Whitney a una clase. Por el contrario, dicha elevación determina la estructura de Spin ^c hasta 2 torsiones en Una estructura de spin propiamente dicha requiere la más restrictiva ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle \nabla ^{g}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle w_{2}(M)\in H^{2}(M,\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle K\in H^{2}(M,\mathbb {Z} ).}$ ${\displaystyle H^{2}(M,\mathbb {Z} ).}$ ${\displaystyle w_{2}(M)=0.}$

Una estructura de Spin ^c determina (y está determinada por) un paquete de espinor proveniente de la representación de espinor positivo y negativo de 2 dimensiones complejas de Spin(4) sobre el cual U(1) actúa mediante multiplicación. Tenemos . El paquete de espinor viene con una representación de paquete de álgebra de Clifford graduada, es decir, un mapa tal que para cada forma tenemos y . Hay una métrica hermitiana única en st que es hermitiana sesgada para las formas 1 reales . Da una acción inducida de las formas por antisimetrización. En particular, esto da un isomorfismo de las dos formas autoduales con los endomorfismos hermitianos sesgados y sin rastro que luego se identifican. ${\displaystyle W=W^{+}\oplus W^{-}}$ ${\displaystyle K=c_{1}(W^{+})=c_{1}(W^{-})}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle \gamma :\mathrm {Cliff} (M,g)\to {\mathcal {E}}{\mathit {nd}}(W)}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \gamma (a):W^{\pm }\to W^{\mp }}$ ${\displaystyle \gamma (a)^{2}=-g(a,a)}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle \gamma (a)}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \wedge ^{*}M}$ ${\displaystyle \wedge ^{+}M\cong {\mathcal {E}}{\mathit {nd}}_{0}^{sh}(W^{+})}$ ${\displaystyle W^{+}}$

Ecuaciones de Seiberg-Witten

Sea el paquete de líneas determinante con . Para cada conexión con on , existe una conexión de espinor única, es decir , una conexión tal que para cada campo vectorial y de 1 forma . La conexión Clifford define entonces un operador Dirac en . El grupo de mapas actúa como un grupo de calibre en el conjunto de todas las conexiones . La acción de puede "fijarse en calibre", por ejemplo, mediante la condición , dejando una parametrización efectiva del espacio de todas esas conexiones con una acción residual del grupo de calibre. ${\displaystyle L=\det(W^{+})\equiv \det(W^{-})}$ ${\displaystyle c_{1}(L)=K}$ ${\displaystyle \nabla _{A}=\nabla _{0}+A}$ ${\displaystyle A\in iA_{\mathbb {R} }^{1}(M)}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle \nabla ^{A}}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle \nabla _{X}^{A}(\gamma (a)):=[\nabla _{X}^{A},\gamma (a)]=\gamma (\nabla _{X}^{g}a)}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle D^{A}=\gamma \otimes 1\circ \nabla ^{A}=\gamma (dx^{\mu })\nabla _{\mu }^{A}}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}=\{u:M\to U(1)\}}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle d^{*}A=0}$ ${\displaystyle H^{1}(M,\mathbb {R} )^{\mathrm {harm} }/H^{1}(M,\mathbb {Z} )\oplus d^{*}A_{\mathbb {R} }^{+}(M)}$ ${\displaystyle U(1)}$

Escriba para un campo espinorial de quiralidad positiva, es decir, una sección de . Las ecuaciones de Seiberg-Witten para ahora son ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle W^{+}}$ ${\displaystyle (\phi ,\nabla ^{A})}$

${\displaystyle D^{A}\phi =0}$

${\displaystyle F_{A}^{+}=\sigma (\phi )+i\omega }$

Aquí está la forma 2 de curvatura cerrada de , es su parte autodual, y σ es el mapa de cuadratura de un endomorfismo hermitiano sin rastro de identificado con una forma 2 autodual imaginaria, y es una forma dos autodual real, a menudo se considera cero o armónico. El grupo calibre actúa sobre el espacio de soluciones. Después de agregar la condición de fijación del calibre, el U(1) residual actúa libremente, excepto en el caso de las "soluciones reducibles" con . Por razones técnicas, las ecuaciones se definen en espacios de Sobolev adecuados y con una regularidad suficientemente alta. ${\displaystyle F^{A}\in iA_{\mathbb {R} }^{2}(M)}$ ${\displaystyle \nabla ^{A}}$ ${\displaystyle F_{A}^{+}}$ ${\displaystyle \phi \mapsto \left(\phi h(\phi ,-)-{\tfrac {1}{2}}h(\phi ,\phi )1_{W^{+}}\right)}$ ${\displaystyle W^{+}}$ ${\displaystyle W^{+}}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle d^{*}A=0}$ ${\displaystyle \phi =0}$

Una aplicación de la fórmula de Weitzenböck

${\displaystyle {\nabla ^{A}}^{*}\nabla ^{A}\phi =(D^{A})^{2}\phi -({\tfrac {1}{2}}\gamma (F_{A}^{+})+s)\phi }$

y la identidad

${\displaystyle \Delta _{g}|\phi |_{h}^{2}=2h({\nabla ^{A}}^{*}\nabla ^{A}\phi ,\phi )-2|\nabla ^{A}\phi |_{g\otimes h}}$

a las soluciones de las ecuaciones da una igualdad

${\displaystyle \Delta |\phi |^{2}+|\nabla ^{A}\phi |^{2}+{\tfrac {1}{4}}|\phi |^{4}=(-s)|\phi |^{2}-{\tfrac {1}{2}}h(\phi ,\gamma (\omega )\phi )}$.

Si es máximo , esto muestra que para cualquier solución, la norma sup está acotada a priori y el límite depende únicamente de la curvatura escalar de y de la forma dual propia . Después de agregar la condición de fijación del calibre, la regularidad elíptica de la ecuación de Dirac muestra que las soluciones están, de hecho, acotadas a priori en las normas de regularidad arbitraria de Sobolev, lo que muestra que todas las soluciones son suaves y que el espacio de todas las soluciones hasta la equivalencia del calibre es compacto. ${\displaystyle |\phi |^{2}}$ ${\displaystyle \Delta |\phi |^{2}\geq 0}$ ${\displaystyle \|\phi \|_{\infty }}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle (M,g)}$ ${\displaystyle \omega }$

Las soluciones de las ecuaciones de Seiberg-Witten se llaman monopolos , ya que estas ecuaciones son las ecuaciones de campo de los monopolos magnéticos sin masa en la variedad . ${\displaystyle (\phi ,\nabla ^{A})}$ ${\displaystyle M}$

El espacio de módulos de soluciones.

El grupo de calibre actúa sobre el espacio de soluciones, y el cociente de esta acción se denomina espacio de módulos de monopolos.

El espacio de módulos suele ser una variedad. Para métricas genéricas, después de fijar el calibre, las ecuaciones cortan el espacio de solución transversalmente y así definen una variedad suave. El grupo de calibre residual U(1) "de calibre fijo" U(1) actúa libremente excepto en monopolos reducibles, es decir, soluciones con . Según el teorema del índice de Atiyah-Singer, el espacio de módulos es de dimensión finita y tiene "dimensión virtual". ${\displaystyle \phi =0}$

${\displaystyle (K^{2}-2\chi _{\mathrm {top} }(M)-3\operatorname {sign} (M))/4}$

que para métricas genéricas es la dimensión real alejada de los reducibles. Significa que el espacio de módulos está genéricamente vacío si la dimensión virtual es negativa.

Para una forma 2 autodual , las soluciones reducibles tienen y, por lo tanto, están determinadas por conexiones de modo que para alguna forma 2 antiautodual . Por la descomposición de Hodge , dado que es cerrado, la única obstrucción para resolver esta ecuación para dado y , es la parte armónica de y , y la parte armónica, o equivalentemente, la clase de cohomología (de Rham) de la forma de curvatura, es decir . Por lo tanto, dado que la condición necesaria y suficiente para una solución reducible es ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \phi =0}$ ${\displaystyle \nabla _{A}=\nabla _{0}+A}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle F_{0}+dA=i(\alpha +\omega )}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle F_{0}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle [F_{0}]=F_{0}^{\mathrm {harm} }=i(\omega ^{\mathrm {harm} }+\alpha ^{\mathrm {harm} })\in H^{2}(M,\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle [{\tfrac {1}{2\pi i}}F_{0}]=K}$

${\displaystyle \omega ^{\mathrm {harm} }\in 2\pi K+{\mathcal {H}}^{-}\in H^{2}(X,\mathbb {R} )}$

¿Dónde está el espacio de 2 formas armónicas anti-autoduales? Una forma doble es admisible si no se cumple esta condición y las soluciones son necesariamente irreductibles. En particular, para , el espacio de módulos es una variedad compacta (posiblemente vacía) para métricas genéricas y admisible . Tenga en cuenta que, si el espacio de -admisible dos formas está conectado, mientras que si tiene dos componentes conectados (cámaras). Al espacio de módulos se le puede dar una orientación natural a partir de una orientación en el espacio de formas armónicas positivas 2 y la primera cohomología. ${\displaystyle {\mathcal {H}}^{-}}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle b^{+}\geq 1}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle b_{+}\geq 2}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle b_{+}=1}$

El límite a priori de las soluciones también da límites a priori . Por lo tanto, hay (para fijo ) sólo un número finito de estructuras de Spin ^c , y por lo tanto sólo un número finito , con un espacio de módulos no vacío. ${\displaystyle F^{\mathrm {harm} }}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle K\in H^{2}(M,\mathbb {Z} )}$

Invariantes de Seiberg-Witten

El invariante de Seiberg-Witten de una M de cuatro variedades con b ₂ ⁺ ( M ) ≥ 2 es un mapa de las estructuras de espín ^c de M a Z. El valor del invariante en una estructura de espín ^c es más fácil de definir cuando el espacio de módulos es de dimensión cero (para una métrica genérica). En este caso el valor es el número de elementos del espacio de módulos contados con signos.

El invariante de Seiberg-Witten también se puede definir cuando b ₂ ⁺ ( M ) = 1, pero luego depende de la elección de una cámara.

Se dice que una variedad M es de tipo simple si el invariante de Seiberg-Witten desaparece siempre que la dimensión esperada del espacio de módulos es distinta de cero. La conjetura de tipo simple establece que si M es simplemente conexo y b ₂ ⁺ ( M ) ≥ 2 entonces la variedad es de tipo simple. Esto es cierto para las variedades simplécticas.

Si la variedad M tiene una métrica de curvatura escalar positiva y b ₂ ⁺ ( M ) ≥ 2, entonces todos los invariantes de Seiberg-Witten de M desaparecen.

Si la variedad M es la suma conexa de dos variedades, las cuales tienen b ₂ ⁺  ≥ 1, entonces todos los invariantes de Seiberg-Witten de M desaparecen.

Si la variedad M es simplemente conexa y simpléctica y b ₂ ⁺ ( M ) ≥ 2 entonces tiene una estructura de espín ^c s en la que el invariante de Seiberg-Witten es 1. En particular, no se puede dividir como una suma conectada de variedades con b ₂ ⁺  ≥ 1.

Referencias

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• Jackson, Allyn (1995), Una revolución en las matemáticas, archivado desde el original el 26 de abril de 2010.
• Morgan, John W. (1996), Las ecuaciones de Seiberg-Witten y sus aplicaciones a la topología de cuatro variedades suaves, Mathematical Notes, vol. 44, Princeton, Nueva Jersey: Princeton University Press , págs. viii+128, ISBN 978-0-691-02597-1, señor  1367507
• Moore, John Douglas (2001), Conferencias sobre invariantes de Seiberg-Witten , Lecture Notes in Mathematics, vol. 1629 (2ª ed.), Berlín: Springer-Verlag, págs. viii+121, CiteSeerX  10.1.1.252.2658 , doi :10.1007/BFb0092948, ISBN 978-3-540-41221-2, señor  1830497
• Nash, cap. (2001) [1994], "Ecuaciones de Seiberg-Witten", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
• Nicolaescu, Liviu I. (2000), Notas sobre la teoría de Seiberg-Witten (PDF) , Estudios de Posgrado en Matemáticas , vol. 28, Providence, RI: Sociedad Matemática Estadounidense, págs. xviii+484, doi :10.1090/gsm/028, ISBN 978-0-8218-2145-9, señor  1787219
• Scorpan, Alexandru (2005), El mundo salvaje de las 4 variedades , Sociedad Matemática Estadounidense , ISBN 978-0-8218-3749-8, señor  2136212.
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