Espacio reflexivo

Espacio vectorial topológico localmente convexo

En el área de las matemáticas conocida como análisis funcional , un espacio reflexivo es un espacio vectorial topológico localmente convexo para el cual el mapa de evaluación canónico desde su bidual (que es el dual fuerte del dual fuerte de ) es un homeomorfismo (o equivalentemente, un Isomorfismo TVS ). Un espacio normado es reflexivo si y sólo si este mapa de evaluación canónico es sobreyectivo , en cuyo caso este mapa de evaluación (siempre lineal) es un isomorfismo isométrico y el espacio normado es un espacio de Banach . Aquellos espacios para los cuales el mapa de evaluación canónico es sobreyectivo se denominan espacios semirreflexivos . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

En 1951, RC James descubrió un espacio de Banach, ahora conocido como espacio de James , que no es reflexivo (lo que significa que el mapa de evaluación canónico no es un isomorfismo) pero que, sin embargo, es isométricamente isomorfo a su bidual (cualquier isomorfismo isométrico de este tipo no es necesariamente el mapa de evaluación canónica). De manera tan importante, para que un espacio de Banach sea reflexivo, no basta con que sea isométricamente isomorfo a su bidual; es el mapa de evaluación canónico en particular el que tiene que ser un homeomorfismo.

Los espacios reflexivos juegan un papel importante en la teoría general de los TVS localmente convexos y en la teoría de los espacios de Banach en particular. Los espacios de Hilbert son ejemplos destacados de espacios reflexivos de Banach. Los espacios reflexivos de Banach suelen caracterizarse por sus propiedades geométricas.

Definición

Definición de bidual

Supongamos que es un espacio vectorial topológico (TVS) sobre el campo (que son los números reales o complejos) cuyo espacio dual continuo separa puntos en (es decir, para cualquiera existe algo tal que ). Denotemos (escriben algunos textos ) el dual fuerte del cual es el espacio vectorial de funcionales lineales continuos dotado de la topología de convergencia uniforme en subconjuntos acotados de ; Esta topología también se denomina topología dual fuerte y es la topología "predeterminada" colocada en un espacio dual continuo (a menos que se especifique otra topología). Si es un espacio normado, entonces el dual fuerte de es el espacio dual continuo con su topología normal habitual. El bidual de denotado por es el dual fuerte de ; es decir, es el espacio ^[1] Si es un espacio normado, entonces es el espacio dual continuo del espacio de Banach con su topología normal habitual. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {F} }$ ${\displaystyle X^{\prime },}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x\in X,x\neq 0}$ ${\displaystyle x^{\prime }\in X^{\prime }}$ ${\displaystyle x^{\prime }(x)\neq 0}$ ${\displaystyle X_{b}^{\prime }}$ ${\displaystyle X_{\beta }^{\prime }}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X^{\prime \prime },}$ ${\displaystyle X_{b}^{\prime }}$ ${\displaystyle \left(X_{b}^{\prime }\right)_{b}^{\prime }.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X^{\prime \prime }}$ ${\displaystyle X_{b}^{\prime }}$

Definiciones del mapa de evaluación y espacios reflexivos

Para cualquier, definamos dónde está un mapa lineal llamado mapa de evaluación en ; Dado que es necesariamente continuo, se deduce que Dado que separa puntos en el mapa lineal definido por es inyectivo, donde este mapa se denomina mapa de evaluación o mapa canónico . Llamamos semirreflexivo si es biyectivo (o equivalentemente, sobreyectivo ) y lo llamamos reflexivo si además es un isomorfismo de TVS. ^[1] Un espacio normal es reflexivo si y sólo si es semirreflexivo o equivalentemente, si y sólo si el mapa de evaluación es sobreyectivo. ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle J_{x}:X^{\prime }\to \mathbb {F} }$ ${\displaystyle J_{x}\left(x^{\prime }\right)=x^{\prime }(x),}$ ${\displaystyle J_{x}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle J_{x}:X_{b}^{\prime }\to \mathbb {F} }$ ${\displaystyle J_{x}\in \left(X_{b}^{\prime }\right)^{\prime }.}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle J:X\to \left(X_{b}^{\prime }\right)^{\prime }}$ ${\displaystyle J(x):=J_{x}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle J:X\to \left(X_{b}^{\prime }\right)^{\prime }}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle J:X\to X^{\prime \prime }=\left(X_{b}^{\prime }\right)_{b}^{\prime }}$

Espacios reflexivos de Banach

Supongamos que es un espacio vectorial normado sobre el campo numérico o (los números reales o los números complejos ), con una norma. Considere su espacio normado dual que consta de todos los funcionales lineales continuos y está equipado con la norma dual definida por ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {F} =\mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {F} =\mathbb {C} }$ ${\displaystyle \|\,\cdot \,\|.}$ ${\displaystyle X^{\prime },}$ ${\displaystyle f:X\to \mathbb {F} }$ ${\displaystyle \|\,\cdot \,\|^{\prime }}$

$${\displaystyle \|f\|^{\prime }=\sup\{|f(x)|\,:\,x\in X,\ \|x\|=1\}.}$$

El dual es un espacio normado (un espacio de Banach para ser precisos), y su espacio dual normado se llama espacio bidual para El bidual consta de todos los funcionales lineales continuos y está equipado con la norma dual para Cada vector genera una función escalar mediante la fórmula : ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle X^{\prime \prime }=\left(X^{\prime }\right)^{\prime }}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle h:X^{\prime }\to \mathbb {F} }$ ${\displaystyle \|\,\cdot \,\|^{\prime \prime }}$ ${\displaystyle \|\,\cdot \,\|^{\prime }.}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle J(x):X^{\prime }\to \mathbb {F} }$

$${\displaystyle J(x)(f)=f(x)\qquad {\text{ for all }}f\in X^{\prime },}$$

${\displaystyle J(x)}$ ${\displaystyle X^{\prime },}$ ${\displaystyle J(x)\in X^{\prime \prime }.}$

$${\displaystyle J:X\to X^{\prime \prime }}$$

mapa de evaluaciónteorema de Hahn-Banach ${\displaystyle J}$

$${\displaystyle {\text{ for all }}x\in X\qquad \|J(x)\|^{\prime \prime }=\|x\|,}$$

${\displaystyle J}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle J(X)}$ ${\displaystyle X^{\prime \prime }.}$ ${\displaystyle J(X)}$ ${\displaystyle X^{\prime \prime },}$ ${\displaystyle X^{\prime \prime }.}$

Un espacio normado se llama reflexivo si satisface las siguientes condiciones equivalentes: ${\displaystyle X}$

1. el mapa de evaluación es sobreyectivo , ${\displaystyle J:X\to X^{\prime \prime }}$
2. el mapa de evaluación es un isomorfismo isométrico de espacios normados, ${\displaystyle J:X\to X^{\prime \prime }}$
3. el mapa de evaluación es un isomorfismo de espacios normados. ${\displaystyle J:X\to X^{\prime \prime }}$

Un espacio reflexivo es un espacio de Banach, ya que entonces es isométrico al espacio de Banach. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X^{\prime \prime }.}$

Observación

Un espacio de Banach es reflexivo si es linealmente isométrico a su bidual bajo esta incrustación canónica. El espacio de James es un ejemplo de un espacio no reflexivo que es linealmente isométrico a su bidual . Además, la imagen del espacio de James bajo la incrustación canónica tiene codimensión uno en su bidual. ^[2] Un espacio de Banach se llama cuasi-reflexivo (de orden ) si el cociente tiene dimensión finita ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle J.}$ ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle X^{\prime \prime }/J(X)}$ ${\displaystyle d.}$

Ejemplos

1. Todo espacio normado de dimensión finita es reflexivo, simplemente porque en este caso, el espacio, su dual y su bidual, tienen todos la misma dimensión lineal, por lo tanto, la inyección lineal de la definición es biyectiva, según el teorema de rango-nulidad . ${\displaystyle J}$
2. El espacio de Banach de secuencias escalares que tienden a 0 en el infinito, equipado con la norma suprema, no es reflexivo. De las propiedades generales siguientes se deduce que y no son reflexivas, porque es isomorfa al dual de y es isomorfa al dual de ${\displaystyle c_{0}}$ ${\displaystyle \ell ^{1}}$ ${\displaystyle \ell ^{\infty }}$ ${\displaystyle \ell ^{1}}$ ${\displaystyle c_{0}}$ ${\displaystyle \ell ^{\infty }}$ ${\displaystyle \ell ^{1}.}$
3. Todos los espacios de Hilbert son reflexivos, al igual que los espacios Lp. Más en general: todos los espacios de Banach uniformemente convexos son reflexivos según el teorema de Milman-Pettis . Los espacios y no son reflexivos (a menos que sean de dimensión finita, lo que ocurre, por ejemplo, cuando es una medida en un conjunto finito). Asimismo, el espacio de Banach de funciones continuas no es reflexivo. ${\displaystyle L^{p}}$ ${\displaystyle 1<p<\infty .}$ ${\displaystyle L^{1}(\mu )}$ ${\displaystyle L^{\infty }(\mu )}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle C([0,1])}$ ${\displaystyle [0,1]}$
4. Los espacios de operadores en la clase Schatten en un espacio de Hilbert son uniformemente convexos, por lo tanto reflexivos, cuando Cuando la dimensión de es infinita, entonces (la clase traza ) no es reflexiva, porque contiene un subespacio isomorfo a y (los operadores lineales acotados on ) no es reflexivo, porque contiene un subespacio isomorfo a En ambos casos, el subespacio se puede elegir para que sea la diagonal de los operadores con respecto a una base ortonormal dada de ${\displaystyle S_{p}(H)}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle 1<p<\infty .}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle S_{1}(H)}$ ${\displaystyle \ell ^{1},}$ ${\displaystyle S_{\infty }(H)=L(H)}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \ell ^{\infty }.}$ ${\displaystyle H.}$

Propiedades

Dado que todo espacio normado de dimensión finita es un espacio de Banach reflexivo , sólo los espacios de dimensión infinita pueden ser no reflexivos.

Si un espacio de Banach es isomorfo a un espacio de Banach reflexivo, entonces es reflexivo. ^[3] ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$

Todo subespacio lineal cerrado de un espacio reflexivo es reflexivo. El dual continuo de un espacio reflexivo es reflexivo. Todo cociente de un espacio reflexivo por un subespacio cerrado es reflexivo. ^[4]

Sea un espacio de Banach. Los siguientes son equivalentes. ${\displaystyle X}$

1. El espacio es reflexivo. ${\displaystyle X}$
2. El dual continuo de es reflexivo. ^[5] ${\displaystyle X}$
3. La bola unitaria cerrada es compacta en la topología débil . (Esto se conoce como teorema de Kakutani). ^[6] ${\displaystyle X}$
4. Cada secuencia acotada tiene una subsecuencia débilmente convergente. ^[7] ${\displaystyle X}$
5. El enunciado del lema de Riesz se cumple cuando el número real ^{[nota 1]} es exactamente ^[8] Explícitamente, para cada subespacio vectorial propio cerrado de existe algún vector de norma unitaria tal que para todos ${\displaystyle 1.}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle u\in X}$ ${\displaystyle \|u\|=1}$ ${\displaystyle \|u-y\|\geq 1}$ ${\displaystyle y\in Y.}$
   • El uso para denotar la distancia entre el vector y el conjunto puede reformularse en un lenguaje más simple como: es reflexivo si y solo si para cada subespacio vectorial propio cerrado hay algún vector en la esfera unitaria que siempre está al menos a una distancia de desde el subespacio. ${\displaystyle d(u,Y):=\inf _{y\in Y}\|u-y\|}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle 1=d(u,Y)}$
   • Por ejemplo, si el espacio reflexivo de Banach está dotado de la norma euclidiana habitual y es el plano, entonces los puntos satisfacen la conclusión. Si, en cambio, es el eje -, entonces cada punto perteneciente al círculo unitario en el plano satisface la conclusión. ${\displaystyle X=\mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle Y=\mathbb {R} \times \mathbb {R} \times \{0\}}$ ${\displaystyle x-y}$ ${\displaystyle u=(0,0,\pm 1)}$ ${\displaystyle d(u,Y)=1.}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle x-y}$
6. Cada funcional lineal continua alcanza su supremo en la bola unitaria cerrada en ^[9] ( teorema de James ) ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$

Dado que los subconjuntos convexos cerrados por norma en un espacio de Banach son débilmente cerrados, ^[10] se deduce de la tercera propiedad que los subconjuntos convexos cerrados y acotados de un espacio reflexivo son débilmente compactos. Por lo tanto, para cada secuencia decreciente de subconjuntos convexos acotados cerrados no vacíos, la intersección no está vacía. Como consecuencia, toda función convexa continua en un subconjunto convexo cerrado de tal que el conjunto ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle X,}$

$${\displaystyle C_{t}=\{x\in C\,:\,f(x)\leq t\}}$$

${\displaystyle t,}$ ${\displaystyle C.}$

La propiedad geométrica prometida de los espacios reflexivos de Banach es la siguiente: si es un subconjunto convexo cerrado no vacío del espacio reflexivo, entonces para cada existe un tal que minimiza la distancia entre los puntos de Esto se deduce del resultado anterior para funciones convexas, aplicado a Tenga en cuenta que si bien la distancia mínima entre y está definida únicamente por el punto , no lo está. El punto más cercano es único cuando es uniformemente convexo. ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle c\in C}$ ${\displaystyle \|x-c\|}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle C.}$ ${\displaystyle f(y)+\|y-x\|.}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle x,}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle X}$

Un espacio reflexivo de Banach es separable si y sólo si su dual continuo es separable. Esto se desprende del hecho de que para cada espacio normado la separabilidad del dual continuo implica la separabilidad de ^[11] ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle Y^{\prime }}$ ${\displaystyle Y.}$

Espacio súper reflexivo

Informalmente, un espacio de Banach superreflexivo tiene la siguiente propiedad: dado un espacio de Banach arbitrario, si todos los subespacios de dimensión finita tienen una copia muy similar en algún lugar, entonces debe ser reflexivo. Según esta definición, el espacio mismo debe ser reflexivo. Como ejemplo elemental, cada espacio de Banach cuyos subespacios bidimensionales son isométricos a los subespacios de satisface la ley del paralelogramo , por lo tanto ^[12] es un espacio de Hilbert, por lo tanto es reflexivo. También lo es el superreflexivo. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X=\ell ^{2}}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \ell ^{2}}$

La definición formal no utiliza isometrías, sino casi isometrías. Un espacio de Banach es finitamente representable ^[13] en un espacio de Banach si para cada subespacio de dimensión finita de y cada hay un subespacio de tal que la distancia multiplicativa de Banach-Mazur entre y satisface ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y_{0}}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \epsilon >0,}$ ${\displaystyle X_{0}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X_{0}}$ ${\displaystyle Y_{0}}$

$${\displaystyle d\left(X_{0},Y_{0}\right)<1+\varepsilon .}$$

Un espacio de Banach finitamente representable es un espacio de Hilbert. Todo espacio de Banach es finitamente representable en El espacio Lp es finitamente representable en ${\displaystyle \ell ^{2}}$ ${\displaystyle c_{0}.}$ ${\displaystyle L^{p}([0,1])}$ ${\displaystyle \ell ^{p}.}$

Un espacio de Banach es superreflexivo si todos los espacios de Banach finitamente representables en son reflexivos o, en otras palabras, si ningún espacio no reflexivo es finitamente representable en La noción de ultraproducto de una familia de espacios de Banach ^[14] permite una explicación concisa Definición: el espacio de Banach es superreflexivo cuando sus ultrapoderes son reflexivos. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle X}$

James demostró que un espacio es superreflexivo si y sólo si su dual es superreflexivo. ^[13]

Árboles finitos en espacios de Banach

Una de las caracterizaciones de la superreflexividad de James utiliza el crecimiento de árboles separados. ^[15] La descripción de un árbol binario vectorial comienza con un árbol binario enraizado etiquetado por vectores: un árbol de altura en un espacio de Banach es una familia de vectores que se pueden organizar en niveles sucesivos, comenzando con el nivel 0 que consta de un vector único la raíz del árbol, seguido, por una familia de 2 vectores que forman el nivel ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle 2^{n+1}-1}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle x_{\varnothing },}$ ${\displaystyle k=1,\ldots ,n,}$ ${\displaystyle s^{k}}$ ${\displaystyle k:}$

$${\displaystyle \left\{x_{\varepsilon _{1},\ldots ,\varepsilon _{k}}\right\},\quad \varepsilon _{j}=\pm 1,\quad j=1,\ldots ,k,}$$

hijosestructura de árbolvértice interno ${\displaystyle k-1.}$

$${\displaystyle x_{\emptyset }={\frac {x_{1}+x_{-1}}{2}},\quad x_{\varepsilon _{1},\ldots ,\varepsilon _{k}}={\frac {x_{\varepsilon _{1},\ldots ,\varepsilon _{k},1}+x_{\varepsilon _{1},\ldots ,\varepsilon _{k},-1}}{2}},\quad 1\leq k<n.}$$

Dado un número real positivo, se dice que el árbol está separado si para cada vértice interno, los dos hijos están separados en la norma espacial dada: ${\displaystyle t,}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle t}$

$${\displaystyle \left\|x_{1}-x_{-1}\right\|\geq t,\quad \left\|x_{\varepsilon _{1},\ldots ,\varepsilon _{k},1}-x_{\varepsilon _{1},\ldots ,\varepsilon _{k},-1}\right\|\geq t,\quad 1\leq k<n.}$$

Teorema. ^[15] El espacio de Banach es superreflexivo si y sólo si para cada hay un número tal que cada árbol separado contenido en la bola unitaria de tiene una altura menor que ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle t\in (0,2\pi ],}$ ${\displaystyle n(t)}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle n(t).}$

Los espacios uniformemente convexos son superreflexivos. ^[15] Sea uniformemente convexo, con módulo de convexidad y sea un número real en Por las propiedades del módulo de convexidad, un árbol separado de altura contenido en la bola unitaria, debe tener todos los puntos de nivel contenidos en la bola de radio Por inducción, se deduce que todos los puntos de nivel están contenidos en la bola de radio ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \delta _{X}}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle (0,2].}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle n,}$ ${\displaystyle n-1}$ ${\displaystyle 1-\delta _{X}(t)<1.}$ ${\displaystyle n-k}$

$${\displaystyle \left(1-\delta _{X}(t)\right)^{j},\ j=1,\ldots ,n.}$$

Si la altura fuera tan grande que ${\displaystyle n}$

$${\displaystyle \left(1-\delta _{X}(t)\right)^{n-1}<t/2,}$$

${\displaystyle x_{1},x_{-1}}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle n(t),}$ ${\displaystyle \delta _{X}(t)}$

Utilizando la caracterización de árbol, Enflo demostró ^[16] que los espacios de Banach superreflexivos admiten una norma uniformemente convexa equivalente. Los árboles en un espacio de Banach son un ejemplo especial de martingalas con valores vectoriales . Añadiendo técnicas de la teoría de la martingala escalar, Pisier mejoró el resultado de Enflo al mostrar ^[17] que un espacio superreflexivo admite una norma uniformemente convexa equivalente para la cual el módulo de convexidad satisface, para algún número constante y real. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle c>0}$ ${\displaystyle q\geq 2,}$

$${\displaystyle \delta _{X}(t)\geq c\,t^{q},\quad {\text{ whenever }}t\in [0,2].}$$

Espacios reflexivos localmente convexos.

La noción de espacio reflexivo de Banach se puede generalizar a espacios vectoriales topológicos de la siguiente manera.

Sea un espacio vectorial topológico sobre un campo numérico (de números reales o de números complejos ). Considere su espacio dual fuerte que consta de todos los funcionales lineales continuos y está equipado con la topología fuerte , es decir, la topología de convergencia uniforme en subconjuntos acotados en El espacio es un espacio vectorial topológico (para ser más precisos, un espacio localmente convexo) , por lo que se puede considerar su espacio dual fuerte , que se denomina espacio bidual fuerte . Consta de todos los funcionales lineales continuos y está equipado con la topología fuerte. Cada vector genera un mapa mediante la siguiente fórmula: ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {F} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle X_{b}^{\prime },}$ ${\displaystyle f:X\to \mathbb {F} }$ ${\displaystyle b\left(X^{\prime },X\right),}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle X_{b}^{\prime }}$ ${\displaystyle \left(X_{b}^{\prime }\right)_{b}^{\prime },}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle h:X_{b}^{\prime }\to \mathbb {F} }$ ${\displaystyle b\left(\left(X_{b}^{\prime }\right)^{\prime },X_{b}^{\prime }\right).}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle J(x):X_{b}^{\prime }\to \mathbb {F} }$

$${\displaystyle J(x)(f)=f(x),\qquad f\in X^{\prime }.}$$

mapa de evaluación ${\displaystyle X_{b}^{\prime },}$ ${\displaystyle J(x)\in \left(X_{b}^{\prime }\right)_{b}^{\prime }.}$

$${\displaystyle J:X\to \left(X_{b}^{\prime }\right)_{b}^{\prime }.}$$

teorema de Hahn-Banach ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \left(X_{b}^{\prime }\right)_{b}^{\prime }}$ ${\displaystyle J(U)\supseteq V\cap J(X)}$

Un espacio localmente convexo se llama ${\displaystyle X}$

• semirreflexivo si el mapa de evaluación es sobreyectivo (por lo tanto biyectivo), ${\displaystyle J:X\to \left(X_{b}^{\prime }\right)_{b}^{\prime }}$
• reflexivo si el mapa de evaluación es sobreyectivo y continuo (en este caso es un isomorfismo de espacios vectoriales topológicos ^[18] ). ${\displaystyle J:X\to \left(X_{b}^{\prime }\right)_{b}^{\prime }}$ ${\displaystyle J}$

Teorema ^[19]  —  Un espacio de Hausdorff localmente convexo es semirreflexivo si y sólo si con la topología tiene la propiedad de Heine-Borel (es decir, los subconjuntos débilmente cerrados y acotados de son débilmente compactos). ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \sigma (X,X^{*})}$ ${\displaystyle X}$

Teorema ^{[20] [21]}  -  Un espacio localmente convexo es reflexivo si y sólo si es semirreflexivo y tiene forma de cañón . ${\displaystyle X}$

Teorema ^[22]  -  El dual fuerte de un espacio semirreflexivo tiene forma de barril.

Teorema ^[23]  -  Si es un espacio localmente convexo de Hausdorff, entonces la inyección canónica desde su bidual es una incrustación topológica si y solo si está infrabarrilada . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Espacios semireflexivos

Caracterizaciones

Si es un espacio localmente convexo de Hausdorff, entonces los siguientes son equivalentes: ${\displaystyle X}$

1. ${\displaystyle X}$es semirreflexivo;
2. La topología débil tenía la propiedad de Heine-Borel (es decir, para la topología débil todo subconjunto cerrado y acotado de es débilmente compacto). ^[1] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \sigma \left(X,X^{\prime }\right),}$ ${\displaystyle X_{\sigma }}$
3. Si la forma lineal en ese continuo tiene la topología dual fuerte, entonces es continua cuando tiene la topología débil; ^[24] ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$
4. ${\displaystyle X_{\tau }^{\prime }}$está disparado; ^[24]
5. ${\displaystyle X}$con la topología débil es casi completo . ^[24] ${\displaystyle \sigma \left(X,X^{\prime }\right)}$

Caracterizaciones de espacios reflexivos.

Si es un espacio localmente convexo de Hausdorff, entonces los siguientes son equivalentes: ${\displaystyle X}$

1. ${\displaystyle X}$es reflexivo;
2. ${\displaystyle X}$es semirreflexivo e infrabarrilado ; ^[23]
3. ${\displaystyle X}$es semirreflexivo y en forma de cañón ;
4. ${\displaystyle X}$tiene forma de barril y la topología débil tiene la propiedad de Heine-Borel (es decir, para la topología débil cada subconjunto cerrado y acotado de es débilmente compacto). ^[1] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \sigma \left(X,X^{\prime }\right),}$ ${\displaystyle X_{\sigma }}$
5. ${\displaystyle X}$es semirreflexivo y cuasibarrilado . ^[25]

Si es un espacio normado entonces los siguientes son equivalentes: ${\displaystyle X}$

1. ${\displaystyle X}$es reflexivo;
2. La unidad de bola cerrada es compacta cuando tiene una topología débil ^[26] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \sigma \left(X,X^{\prime }\right).}$
3. ${\displaystyle X}$es un espacio de Banach y es reflexivo. ^[27] ${\displaystyle X_{b}^{\prime }}$
4. Cada secuencia con para todos los subconjuntos convexos acotados cerrados no vacíos de tiene una intersección no vacía. ^[28] ${\displaystyle \left(C_{n}\right)_{n=1}^{\infty },}$ ${\displaystyle C_{n+1}\subseteq C_{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle X}$

Teorema ^[29]  -  Un espacio de Banach real es reflexivo si y sólo si cada par de subconjuntos convexos cerrados disjuntos no vacíos, uno de los cuales está acotado, puede estar estrictamente separado por un hiperplano .

Teorema de James  :  un espacio de Banach es reflexivo si y solo si cada funcional lineal continua alcanzasu supremo en la bola unitaria cerradaen ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle B.}$

Condiciones suficientes

Espacios normados

Un espacio normado que es semirreflexivo es un espacio de Banach reflexivo. ^[30] Un subespacio vectorial cerrado de un espacio de Banach reflexivo es reflexivo. ^[23]

Sean un espacio de Banach y un subespacio vectorial cerrado de Si dos de y son reflexivos, entonces todos lo son. ^[23] Esta es la razón por la que se hace referencia a la reflexividad como una propiedad de tres espacios . ^[23] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle X,M,}$ ${\displaystyle X/M}$

Espacios vectoriales topológicos

Si un espacio de Hausdorff localmente convexo en forma de barril es semirreflexivo, entonces es reflexivo. ^[1]

El dual fuerte de un espacio reflexivo es reflexivo. ^[31] Cada espacio de Montel es reflexivo. ^[26] Y el dual fuerte de un espacio de Montel es un espacio de Montel (y por tanto es reflexivo). ^[26]

Propiedades

Un espacio reflexivo de Hausdorff localmente convexo está en forma de cañón . Si es un espacio normado entonces es una isometría sobre un subespacio cerrado de ^[30] Esta isometría se puede expresar mediante: ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle I:X\to X^{\prime \prime }}$ ${\displaystyle X^{\prime \prime }.}$

$${\displaystyle \|x\|=\sup _{\stackrel {x^{\prime }\in X^{\prime },}{\|x^{\prime }\|\leq 1}}\left|\left\langle x^{\prime },x\right\rangle \right|.}$$

Supongamos que es un espacio normado y su bidual está equipado con la norma bidual. Entonces la bola unitaria de es densa en la bola unitaria de para la topología débil ^[30] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X^{\prime \prime }}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle I(\{x\in X:\|x\|\leq 1\})}$ ${\displaystyle \left\{x^{\prime \prime }\in X^{\prime \prime }:\left\|x^{\prime \prime }\right\|\leq 1\right\}}$ ${\displaystyle X^{\prime \prime }}$ ${\displaystyle \sigma \left(X^{\prime \prime },X^{\prime }\right).}$

Ejemplos

1. Todo espacio vectorial topológico de Hausdorff de dimensión finita es reflexivo, porque es biyectivo por álgebra lineal y porque existe una topología de espacio vectorial de Hausdorff única en un espacio vectorial de dimensión finita. ${\displaystyle J}$
2. Un espacio normado es reflexivo como espacio normado si y sólo si es reflexivo como espacio localmente convexo. Esto se desprende del hecho de que para un espacio normado su espacio normado dual coincide como espacio vectorial topológico con el espacio dual fuerte. Como corolario, el mapa de evaluación coincide con el mapa de evaluación y las siguientes condiciones se vuelven equivalentes: ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle X_{b}^{\prime }.}$ ${\displaystyle J:X\to X^{\prime \prime }}$ ${\displaystyle J:X\to \left(X_{b}^{\prime }\right)_{b}^{\prime },}$
   1. ${\displaystyle X}$es un espacio normado reflexivo (es decir, es un isomorfismo de espacios normados), ${\displaystyle J:X\to X^{\prime \prime }}$
   2. ${\displaystyle X}$es un espacio reflexivo localmente convexo (es decir, es un isomorfismo de espacios vectoriales topológicos ^[18] ), ${\displaystyle J:X\to \left(X_{b}^{\prime }\right)_{b}^{\prime }}$
   3. ${\displaystyle X}$es un espacio localmente convexo semirreflexivo (es decir, es sobreyectivo). ${\displaystyle J:X\to \left(X_{b}^{\prime }\right)_{b}^{\prime }}$
3. Un ejemplo (algo artificial) de un espacio semirreflexivo que no es reflexivo se obtiene de la siguiente manera: sea un espacio de Banach reflexivo de dimensión infinita, y sea el espacio vectorial topológico , es decir, el espacio vectorial equipado con la topología débil. Entonces el dual continuo de y es el mismo conjunto de funcionales, y los subconjuntos acotados de (es decir, los subconjuntos débilmente acotados de ) están acotados por normas, por lo tanto, el espacio de Banach es el dual fuerte de Dado que es reflexivo, el dual continuo de es igual a la imagen de bajo la incrustación canónica , pero la topología de (la topología débil de ) no es la topología fuerte que es igual a la topología normal de ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \left(Y,\sigma \left(Y,Y^{\prime }\right)\right),}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y^{\prime }}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Y^{\prime }}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X^{\prime }=Y^{\prime }}$ ${\displaystyle J(X)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle J,}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \beta \left(X,X^{\prime }\right),}$ ${\displaystyle Y.}$
4. Los espacios de Montel son espacios vectoriales topológicos reflexivos localmente convexos. En particular, los siguientes espacios funcionales utilizados frecuentemente en el análisis funcional son espacios reflexivos localmente convexos: ^[32]
   • el espacio de funciones suaves en una variedad suave arbitraria (real) y su fuerte espacio dual de distribuciones con soporte compacto en ${\displaystyle C^{\infty }(M)}$ ${\displaystyle M,}$ ${\displaystyle \left(C^{\infty }\right)^{\prime }(M)}$ ${\displaystyle M,}$
   • el espacio de funciones suaves con soporte compacto en una variedad suave arbitraria (real) y su fuerte espacio dual de distribuciones en ${\displaystyle {\mathcal {D}}(M)}$ ${\displaystyle M,}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\prime }(M)}$ ${\displaystyle M,}$
   • el espacio de funciones holomorfas en una variedad compleja arbitraria y su fuerte espacio dual de funcionales analíticos en ${\displaystyle {\mathcal {O}}(M)}$ ${\displaystyle M,}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}^{\prime }(M)}$ ${\displaystyle M,}$
   • el espacio de Schwartz y su fuerte espacio dual de distribuciones templadas en ${\displaystyle {\mathcal {S}}\left(\mathbb {R} ^{n}\right)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}^{\prime }\left(\mathbb {R} ^{n}\right)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}$

Contraejemplos

• Existe un TVS localmente convexo no reflexivo cuyo dual fuerte es reflexivo. ^[33]

Otros tipos de reflexividad

Un espacio estereotipado, o espacio reflexivo polar, se define como un espacio vectorial topológico (TVS) que satisface una condición similar de reflexividad, pero con la topología de convergencia uniforme en subconjuntos totalmente acotados (en lugar de subconjuntos acotados ) en la definición de espacio dual . Precisamente, un TVS se llama reflexivo polar ^[34] o estereotipo si la evaluación se asigna al segundo espacio dual. ${\displaystyle X^{\prime }.}$ ${\displaystyle X}$

$${\displaystyle J:X\to X^{\star \star },\quad J(x)(f)=f(x),\quad x\in X,\quad f\in X^{\star }}$$

isomorfismo de espacios vectoriales topológicos^[18]estereotipo de segundo espacio dual ${\displaystyle X^{\star }}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X^{\star \star }}$ ${\displaystyle X^{\star }}$

A diferencia de los espacios reflexivos clásicos, la clase Ste de los espacios estereotipados es muy amplia (contiene, en particular, todos los espacios de Fréchet y, por tanto, todos los espacios de Banach ), forma una categoría monoidal cerrada y admite operaciones estándar (definidas dentro de Ste ) de construir nuevos espacios, como tomar subespacios cerrados, espacios cocientes, límites proyectivos e inyectivos, el espacio de operadores, productos tensoriales, etc. La categoría Ste tiene aplicaciones en teoría de la dualidad para grupos no conmutativos.

De manera similar, se puede reemplazar la clase de subconjuntos acotados (y totalmente acotados) en la definición de espacio dual por otras clases de subconjuntos, por ejemplo, por la clase de subconjuntos compactos en – los espacios definidos por la correspondiente condición de reflexividad se llaman reflexivos. , ^{[35] [36]} y forman una clase aún más amplia que Ste , pero no está claro (2012) si esta clase forma una categoría con propiedades similares a las de Ste . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X^{\prime },}$ ${\displaystyle X}$

Ver también

• Espacio Grothendieck
  • Una generalización que tiene algunas de las propiedades de los espacios reflexivos e incluye muchos espacios de importancia práctica es el concepto de espacio de Grothendieck .
• Álgebra reflexiva de operadores  : álgebra de operadores que tiene suficientes subespacios invariantes para caracterizarlaPages displaying wikidata descriptions as a fallback

Referencias

Notas

1. El enunciado del lema de Riesz implica solo un número real, que se denota con en el artículo sobre el lema de Riesz. El lema siempre es válido para todo lo real. Pero para un espacio de Banach, el lema es válido para todo si y sólo si el espacio es reflexivo. ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \alpha <1.}$ ${\displaystyle \alpha \leq 1}$

Citas

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2. Robert C. James (1951). "Un espacio de Banach isométrico no reflexivo con su segundo espacio conjugado". Proc. Nacional. Acad. Ciencia. EE.UU . 37 (3): 174-177. Código bibliográfico : 1951PNAS...37..174J. doi : 10.1073/pnas.37.3.174 . PMC  1063327 . PMID  16588998.
3. Proposición 1.11.8 en Megginson (1998, p. 99).
4. Megginson (1998, págs. 104-105).
5. Corolario 1.11.17, pág. 104 en Megginson (1998).
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7. Dado que la compacidad débil y la compacidad secuencial débil coinciden según el teorema de Eberlein-Šmulian .
8. Diestel 1984, pag. 6.
9. Teorema 1.13.11 en Megginson (1998, p. 125).
10. Teorema 2.5.16 en Megginson (1998, p. 216).
11. Teorema 1.12.11 y Corolario 1.12.12 en Megginson (1998, págs. 112-113).
12. ver esta caracterización del espacio de Hilbert entre los espacios de Banach
13. James, Robert C. (1972), "Espacios de Banach superreflexivos", Can. J. Matemáticas. 24 : 896–904.
14. Dacunha-Castelle, Didier; Krivine, Jean-Louis (1972), "Applications des ultraproduits à l'étude des espaces et des algèbres de Banach" (en francés), Studia Math. 41 : 315–334.
15. ver James (1972).
16. Enflo, Per (1972). "Espacios de Banach a los que se les puede dar una norma uniformemente convexa equivalente". Revista Israelí de Matemáticas . 13 : 281–288. doi :10.1007/BF02762802.
17. Pisier, Gilles (1975). "Martingalas con valores en espacios uniformemente convexos". Revista Israelí de Matemáticas . 20 : 326–350. doi :10.1007/BF02760337.
18. Un isomorfismo de espacios vectoriales topológicos es un mapa lineal y homeomórfico ${\displaystyle \varphi :X\to Y.}$
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20. Schaefer 1966, 5.6, 5.5.
21. Edwards 1965, 8.4.5.
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Referencias generales

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