El espacio de James

En el área de las matemáticas conocida como análisis funcional , el espacio de James es un ejemplo importante en la teoría de los espacios de Banach y suele servir como contraejemplo útil para afirmaciones generales sobre la estructura de los espacios de Banach generales. El espacio fue introducido por primera vez en 1950 en un breve artículo de Robert C. James . ^[1]

El espacio de James sirve como ejemplo de un espacio que es isométricamente isomorfo a su doble dual , sin ser reflexivo . Además, el espacio de James tiene una base , sin tener ninguna base incondicional .

Definición

Sea la familia de todas las sucesiones finitas crecientes de números enteros de longitud impar. Para cualquier sucesión de números reales y definimos la cantidad ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ ${\displaystyle x=(x_{n})}$ ${\displaystyle p=(p_{1},p_{2},\ldots ,p_{2n+1})\in {\mathcal {P}}}$

${\displaystyle \|x\|_{p}:=\left(x_{p_{2n+1}}^{2}+\sum _{m=1}^{n}(x_{p_{2m-1}}-x_{p_{2m}})^{2}\right)^{1/2}.}$

El espacio de James, denotado por J , se define como todos los elementos x de c 0 que satisfacen , dotados de la norma . ${\displaystyle \sup\{\|x\|_{p}:p\in {\mathcal {P}}\}<\infty }$ ${\displaystyle \|x\|:=\sup\{\|x\|_{p}:p\in {\mathcal {P}}\}\ (x\in \mathbf {J} )}$

Propiedades

Fuente: ^[2]

• El espacio de James es un espacio de Banach.
• La base canónica {e _n } es una base de Schauder (condicional) para J . Además, esta base es a la vez monótona y decreciente .
• J no tiene base incondicional .
• El espacio de James no es reflexivo . Su imagen en su doble dual bajo la incrustación canónica tiene codimensión uno.
• Sin embargo, el espacio de James es isométricamente isomorfo a su doble dual.
• El espacio de James es en cierta medida reflexivo , lo que significa que cada subespacio cerrado de dimensión infinita contiene un subespacio reflexivo de dimensión infinita. En particular, cada subespacio cerrado de dimensión infinita contiene una copia isomorfa de ℓ 2 .

Véase también

• Espacio Banach
• Espacio de Tsirelson

Referencias

1. James, Robert C. Un espacio de Banach no reflexivo isométrico con su segundo espacio conjugado. Actas de la Academia Nacional de Ciencias de los Estados Unidos de América 37, núm. 3 (marzo de 1951): 174–77.
2. Morrison, TJ Análisis funcional: una introducción a la teoría del espacio de Banach . Wiley. (2001)