Por Enflo

Matemático y concertista de piano sueco.

Per H. Enflo ( sueco: [ˈpæːr ˈěːnfluː] ; nacido el 20 de mayo de 1944) es un matemático sueco que trabaja principalmente en análisis funcional , campo en el que resolvió problemas que se habían considerado fundamentales. Tres de estos problemas habían estado abiertos durante más de cuarenta años: ^[1]

• El problema de base y el problema de aproximación ^[2] y posteriores
• El problema del subespacio invariante para espacios de Banach . ^[3]

Para resolver estos problemas, Enflo desarrolló nuevas técnicas que luego fueron utilizadas por otros investigadores en análisis funcional y teoría de operadores durante años. Algunas de las investigaciones de Enflo han sido importantes también en otros campos matemáticos, como la teoría de números , y en informática , especialmente en álgebra informática y algoritmos de aproximación .

Enflo trabaja en la Universidad Estatal de Kent , donde ostenta el título de Profesor Universitario. Anteriormente, Enflo ocupó cargos en el Instituto Miller de Investigación Básica en Ciencias de la Universidad de California, Berkeley , la Universidad de Stanford , la École Polytechnique ( París ) y el Instituto Real de Tecnología de Estocolmo .

Enflo también es concertista de piano .

Contribuciones de Enflo al análisis funcional y la teoría del operador.

En matemáticas , el análisis funcional se ocupa del estudio de los espacios vectoriales y de los operadores que actúan sobre ellos. Tiene sus raíces históricas en el estudio de espacios funcionales , en particular transformaciones de funciones , como la transformada de Fourier , así como en el estudio de ecuaciones diferenciales e integrales . En análisis funcional, una clase importante de espacios vectoriales consiste en los espacios vectoriales normados completos sobre números reales o complejos , que se denominan espacios de Banach . Un ejemplo importante de un espacio de Banach es un espacio de Hilbert , donde la norma surge de un producto interno . Los espacios de Hilbert son de fundamental importancia en muchas áreas, incluida la formulación matemática de la mecánica cuántica , los procesos estocásticos y el análisis de series temporales . Además de estudiar espacios de funciones, el análisis funcional también estudia los operadores lineales continuos en espacios de funciones.

El quinto problema de Hilbert y las incrustaciones.

En la Universidad de Estocolmo, Hans Rådström sugirió que Enflo considerara el quinto problema de Hilbert con el espíritu del análisis funcional. ^[4] En dos años, 1969-1970, Enflo publicó cinco artículos sobre el quinto problema de Hilbert; Estos artículos están recopilados en Enflo (1970), junto con un breve resumen. Algunos de los resultados de estos artículos se describen en Enflo (1976) y en el último capítulo de Benyamini y Lindenstrauss .

Aplicaciones en informática

Las técnicas de Enflo han encontrado aplicación en la informática . Los teóricos de los algoritmos derivan algoritmos de aproximación que incorporan espacios métricos finitos en espacios euclidianos de baja dimensión con baja "distorsión" (en la terminología de Gromov para la categoría de Lipschitz ; cf distancia de Banach-Mazur ). Los problemas de baja dimensión tienen menor complejidad computacional , por supuesto. Más importante aún, si los problemas se integran bien en el plano euclidiano o en el espacio euclidiano tridimensional , entonces los algoritmos geométricos se vuelven excepcionalmente rápidos.

Sin embargo, tales técnicas de inclusión tienen limitaciones, como lo muestra el teorema de Enflo (1969): ^[5]

Para cada , el cubo de Hamming no puede incrustarse con "distorsión " (o menos) en un espacio euclidiano de dimensiones si . En consecuencia, la incrustación óptima es la incrustación natural, que se presenta como un subespacio del espacio euclidiano de dimensiones. ^[6] ${\displaystyle m\geq 2}$ ${\displaystyle C_{m}}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle 2^{m}}$ ${\displaystyle D<{\sqrt {m}}}$ ${\displaystyle \{0,1\}^{m}}$ ${\displaystyle m}$

Este teorema, "encontrado por Enflo [1969], es probablemente el primer resultado que muestra una distorsión ilimitada para incrustaciones en espacios euclidianos . Enflo consideró el problema de la incrustabilidad uniforme entre espacios de Banach , y la distorsión fue un recurso auxiliar en su prueba". ^[7]

Geometría de los espacios de Banach

Un espacio uniformemente convexo es un espacio de Banach de modo que, para cada uno hay algo de modo que para dos vectores cualesquiera con y ${\displaystyle \epsilon >0}$ ${\displaystyle \delta >0}$ ${\displaystyle \|x\|\leq 1}$ ${\displaystyle \|y\|\leq 1,}$

${\displaystyle \|x+y\|>2-\delta }$

implica que

${\displaystyle \|x-y\|<\epsilon .}$

Intuitivamente, el centro de un segmento de línea dentro de la bola unitaria debe estar profundamente dentro de la bola unitaria, a menos que el segmento sea corto.

En 1972, Enflo demostró que "todo espacio de Banach superreflexivo admite una norma uniformemente convexa equivalente ". ^{[8] [9]}

El problema de las bases y el ganso de Mazur

Con un artículo, publicado en 1973, Per Enflo resolvió tres problemas que habían desconcertado a los analistas funcionales durante décadas: el problema de base de Stefan Banach , el " problema del ganso " de Stanislaw Mazur y el problema de aproximación de Alexander Grothendieck . Grothendieck había demostrado que su problema de aproximación era el problema central en la teoría de los espacios de Banach y los operadores lineales continuos .

Problema básico de Banach

El problema de base fue planteado por Stefan Banach en su libro Teoría de los operadores lineales . Banach preguntó si cada espacio separable de Banach tiene una base de Schauder .

Una base de Schauder o base contable es similar a la base habitual (Hamel) de un espacio vectorial ; la diferencia es que para las bases de Hamel usamos combinaciones lineales que son sumas finitas , mientras que para las bases de Schauder pueden ser sumas infinitas . Esto hace que las bases de Schauder sean más adecuadas para el análisis de espacios vectoriales topológicos de dimensión infinita, incluidos los espacios de Banach .

Las bases de Schauder fueron descritas por Juliusz Schauder en 1927. ^{[10] [11]} Sea V un espacio de Banach sobre el campo F. Una base de Schauder es una secuencia ( b _n ) de elementos de V tal que para cada elemento v ∈ V existe una secuencia única (α _n ) de elementos en F de modo que

${\displaystyle v=\sum _{n\in \mathbb {N} }\alpha _{n}b_{n}\,}$

donde la convergencia se entiende respecto de la topología de norma . Las bases de Schauder también se pueden definir de manera análoga en un espacio vectorial topológico general .

En 1937, el matemático polaco Stanislaw Mazur prometió un "ganso vivo" como premio por resolver el problema 153 del Libro escocés . En 1972, Mazur regaló el ganso a Per Enflo.

Problema 153 del libro escocés: el ganso de Mazur

En 1972, Stanislaw Mazur otorgó a Enflo el ganso vivo prometido por resolver un problema del libro escocés .

Banach y otros matemáticos polacos trabajarían en problemas matemáticos en el Café Escocés . Cuando un problema era especialmente interesante y su solución parecía difícil, el problema se anotaba en el libro de problemas, que pronto pasó a ser conocido como el Libro Escocés . Para problemas que parecían especialmente importantes o difíciles, o ambas cosas, el proponente del problema a menudo se comprometía a otorgar un premio por su solución.

El 6 de noviembre de 1936, Stanislaw Mazur planteó el problema de representar funciones continuas. Al escribir formalmente el problema 153 en el Libro escocés , Mazur prometió como recompensa un "ganso vivo", un precio especialmente alto durante la Gran Depresión y en vísperas de la Segunda Guerra Mundial .

Poco después, se comprendió que el problema de Mazur estaba estrechamente relacionado con el problema de Banach sobre la existencia de bases de Schauder en espacios separables de Banach. La mayoría de los demás problemas del Libro escocés se resolvían periódicamente. Sin embargo, hubo pocos avances en el problema de Mazur y en algunos otros problemas, que se convirtieron en famosos problemas abiertos a los matemáticos de todo el mundo. ^[12]

La formulación de Grothendieck del problema de aproximación.

El trabajo de Grothendieck sobre la teoría de los espacios de Banach y los operadores lineales continuos introdujo la propiedad de aproximación . Se dice que un espacio de Banach tiene la propiedad de aproximación , si cada operador compacto es un límite de operadores de rango finito . Lo contrario siempre es cierto. ^[13]

En una larga monografía, Grothendieck demostró que si cada espacio de Banach tuviera la propiedad de aproximación, entonces cada espacio de Banach tendría una base de Schauder. Grothendieck centró así la atención de los analistas funcionales en decidir si cada espacio de Banach tiene la propiedad de aproximación. ^[13]

La solución de Enflo

En 1972, Per Enflo construyó un espacio de Banach separable que carece de la propiedad de aproximación y de una base de Schauder. ^[14] En 1972, Mazur otorgó un ganso vivo a Enflo en una ceremonia en el Centro Stefan Banach de Varsovia ; La ceremonia de la "recompensa de la oca" se retransmitió por toda Polonia . ^[15]

Problema de subespacio invariante y polinomios.

En el análisis funcional , uno de los problemas más destacados fue el problema del subespacio invariante , que requirió la evaluación de la verdad de la siguiente proposición:

Dado un espacio de Banach complejo H de dimensión > 1 y un operador lineal acotado T  :  H  →  H , entonces H tiene un subespacio cerrado T -invariante no trivial , es decir, existe un subespacio lineal cerrado W de H que es diferente de {0 } y H tal que T ( W ) ⊆ W .

Para los espacios de Banach , Enflo construyó el primer ejemplo de un operador sin un subespacio invariante. (Para los espacios de Hilbert , el problema del subespacio invariante permanece abierto ).

Enflo propuso una solución al problema del subespacio invariante en 1975, publicando un esquema en 1976. Enflo presentó el artículo completo en 1981 y la complejidad y extensión del artículo retrasaron su publicación hasta 1987 ^[16]. El largo "manuscrito" de Enflo tuvo circulación mundial entre matemáticos" ^[17] y algunas de sus ideas fueron descritas en publicaciones además de Enflo (1976). ^{[18] [19]} Las obras de Enflo inspiraron una construcción similar de un operador sin un subespacio invariante, por ejemplo por Beauzamy, quien reconoció las ideas de Enflo. ^[dieciséis]

En la década de 1990, Enflo desarrolló un enfoque "constructivo" al problema del subespacio invariante en los espacios de Hilbert. ^[20]

Desigualdades multiplicativas para polinomios homogéneos

Una idea esencial en la construcción de Enflo fue la " concentración de polinomios en grados bajos ": para todos los números enteros positivos y , existe tal que para todos los polinomios homogéneos y de grados y (en variables), entonces ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle C(m,n)>0}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle k}$

${\displaystyle |PQ|\geq C(m,n)|P|\,|Q|,}$

donde denota la suma de los valores absolutos de los coeficientes de . Enflo demostró que no depende del número de variables . La prueba original de Enflo fue simplificada por Montgomery . ^[21] ${\displaystyle |P|}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle C(m,n)}$ ${\displaystyle k}$

Este resultado se generalizó a otras normas en el espacio vectorial de polinomios homogéneos . De estas normas la más utilizada ha sido la norma Bombieri .

norma bombieri

La norma de Bombieri se define en términos del siguiente producto escalar : Para todo tenemos ${\displaystyle \alpha ,\beta \in \mathbb {N} ^{N}}$

${\displaystyle \langle X^{\alpha }|X^{\beta }\rangle =0}$si ${\displaystyle \alpha \neq \beta }$

Para cada uno definimos ${\displaystyle \alpha \in \mathbb {N} ^{N}}$ ${\displaystyle ||X^{\alpha }||^{2}={\frac {|\alpha |!}{\alpha !}},}$

donde usamos la siguiente notación: if , escribimos y y ${\displaystyle \alpha =(\alpha _{1},\dots ,\alpha _{N})\in \mathbb {N} ^{N}}$ ${\displaystyle |\alpha |=\Sigma _{i=1}^{N}\alpha _{i}}$ ${\displaystyle \alpha !=\Pi _{i=1}^{N}(\alpha _{i}!)}$ ${\displaystyle X^{\alpha }=\Pi _{i=1}^{N}X_{i}^{\alpha _{i}}.}$

La propiedad más notable de esta norma es la desigualdad de Bombieri:

Sean dos polinomios homogéneos respectivamente de grado y con variables, entonces se cumple la siguiente desigualdad: ${\displaystyle P,Q}$ ${\displaystyle d^{\circ }(P)}$ ${\displaystyle d^{\circ }(Q)}$ ${\displaystyle N}$

${\displaystyle {\frac {d^{\circ }(P)!d^{\circ }(Q)!}{(d^{\circ }(P)+d^{\circ }(Q))!}}||P||^{2}\,||Q||^{2}\leq ||P\cdot Q||^{2}\leq ||P||^{2}\,||Q||^{2}.}$

En la afirmación anterior, la desigualdad de Bombieri es la desigualdad del lado izquierdo; la desigualdad del lado derecho significa que la norma de Bombieri es una norma del álgebra de polinomios bajo multiplicación.

La desigualdad de Bombieri implica que el producto de dos polinomios no puede ser arbitrariamente pequeño, y este límite inferior es fundamental en aplicaciones como la factorización polinomial (o en la construcción de Enflo de un operador sin un subespacio invariante).

Aplicaciones

La idea de Enflo de "concentración de polinomios en grados bajos" ha dado lugar a importantes publicaciones en teoría de números ^{[22], geometría} algebraica y diofántica , ^[23] y factorización de polinomios . ^[24]

Biología matemática: dinámica de poblaciones.

En matemáticas aplicadas , Per Enflo ha publicado varios artículos en biología matemática , específicamente en dinámica de poblaciones .

Evolución humana

Enflo también ha publicado en genética de poblaciones y paleoantropología . ^[25]

Hoy en día, todos los humanos pertenecen a una población de Homo sapiens sapiens , que está dividida por barreras de especies. Sin embargo, según el modelo "Fuera de África" ​​esta no es la primera especie de homínidos: la primera especie del género Homo , Homo habilis , evolucionó en África Oriental hace al menos 2 Ma, y miembros de esta especie poblaron diferentes partes de África en un tiempo relativamente corto. El Homo erectus evolucionó hace más de 1,8 Ma, y hacia 1,5 Ma se había extendido por todo el Viejo Mundo .

Los antropólogos han estado divididos en cuanto a si la población humana actual evolucionó como una población interconectada (como lo postula la hipótesis de la Evolución Multirregional ), o evolucionó sólo en África Oriental, se especificó y luego emigró fuera de África y reemplazó a las poblaciones humanas en Eurasia (llamadas " Fuera de África" ​​o el Modelo de "Reemplazo Completo").

Los neandertales y los humanos modernos coexistieron en Europa durante varios miles de años, pero la duración de este período es incierta. ^[26] Es posible que los humanos modernos hayan emigrado por primera vez a Europa hace 40-43.000 años. ^[27] Los neandertales pueden haber vivido hace tan solo 24.000 años en refugios en la costa sur de la península Ibérica, como la Cueva de Gorham . ^{[28] [29]} Se ha sugerido la interestratificación de restos humanos modernos y de neandertales, ^[30] pero se discute. ^[31]

Con Hawks y Wolpoff , Enflo publicó una explicación de la evidencia fósil sobre el ADN de los neandertales y los humanos modernos . Este artículo intenta resolver un debate en la evolución de los humanos modernos entre teorías que sugieren orígenes multirregionales y únicos africanos . En particular, la extinción de los neandertales podría haber ocurrido debido a la entrada de oleadas de humanos modernos en Europa; en términos técnicos, debido a "la afluencia continua de ADN humano moderno en el acervo genético de los neandertales". ^{[32] [33] [34]}

Enflo también ha escrito sobre la dinámica poblacional del mejillón cebra en el lago Erie . ^[35]

Per Enflo, concertista de piano , debutó en la Sala de Conciertos de Estocolmo en 1963. ^[36]

Piano

Per Enflo también es concertista de piano .

Un niño prodigio tanto en música como en matemáticas, Enflo ganó el concurso sueco para jóvenes pianistas a los 11 años en 1956, y ganó el mismo concurso en 1961. ^[37] A los 12 años, Enflo apareció como solista con la Royal Opera Orchestra de Suecia. Debutó en la Sala de Conciertos de Estocolmo en 1963. Entre los profesores de Enflo se encontraban Bruno Seidlhofer , Géza Anda y Gottfried Boon (quien fue alumno de Arthur Schnabel). ^[36]

En 1999, Enflo compitió en el primer Concurso Internacional de Piano para Aficionados Destacados de la Fundación Van Cliburn. Archivado el 19 de abril de 2009 en Wayback Machine . ^[38]

Enflo actúa regularmente en Kent y en una serie de Mozart en Columbus, Ohio (con la Triune Festival Orchestra). Sus recitales de piano solo han aparecido en Classics Network de la estación de radio WOSU , patrocinada por la Universidad Estatal de Ohio . ^[36]

Referencias

Notas

1. Página 586 en Halmos 1990.
2. Per Enflo: un contraejemplo del problema de aproximación en espacios de Banach. Acta Matemática vol. 130, núm. 1 de julio de 1973
3. * Enflo, Per (1976). "Sobre el problema del subespacio invariante en espacios de Banach". Séminaire Maurey--Schwartz (1975--1976) Espaces L ^p , aplicaciones radonifiantes et géométrie des espaces de Banach, Exp. Núms. 14-15 . Centro de Matemáticas, École Polytech., Palaiseau. pag. 7. SEÑOR  0473871.
   • Enflo, Per (1987). "Sobre el problema del subespacio invariante para los espacios de Banach". Acta Matemática . 158 (3): 213–313. doi : 10.1007/BF02392260 . ISSN  0001-5962. SEÑOR  0892591.
4. El propio Rådström había publicado varios artículos sobre el quinto problema de Hilbert desde el punto de vista de la teoría de semigrupos . Rådström también fue asesor (inicial) de Martin Ribe, quien escribió una tesis sobre espacios lineales métricos que no necesitan ser localmente convexos; Ribe también utilizó algunas de las ideas de Enflo sobre geometría métrica , especialmente "redondez", para obtener resultados independientes en incrustaciones uniformes y de Lipschitz (Benyamini y Lindenstrauss). Esta referencia también describe los resultados de Enflo y sus estudiantes en dichas incrustaciones.
5. Teorema 15.4.1 en Matoušek.
6. Matoušek 370.
7. Matoušek 372.
8. Beauzamy 1985, página 298.
9. Pisier.
10. Schauder J (1927). "Zur Theorie stetiger Abbildungen in Funktionalraumen" (PDF) . Mathematische Zeitschrift . 26 : 47–65. doi :10.1007/BF01475440. hdl :10338.dmlcz/104881. S2CID  123042807.
11. Schauder J (1928). "Eine Eigenschaft des Haarschen Orthogonalsystems". Mathematische Zeitschrift . 28 : 317–320. doi :10.1007/BF01181164. S2CID  120228356.
12. Mauldín
13. Joram Lindenstrauss y L. Tzafriri.
14. La "sensación" de Enflo se analiza en la página 287 de Pietsch, Albrecht (2007). Historia de los espacios de Banach y operadores lineales. Boston, MA: Birkhäuser Boston, Inc. págs. xxiv+855 págs. ISBN 978-0-8176-4367-6. SEÑOR  2300779.Las introducciones a la solución de Enflo fueron escritas por Halmos, Johnson, Kwapień, Lindenstrauss y Tzafriri, Nedevski y Trojanski, y Singer.
15. Kałuża, Sajonia, Eggleton, Mauldin.
16. Beauzamy 1988; Yadav.
17. Yadav, página 292.
18. Por ejemplo, Radjavi y Rosenthal (1982).
19. Heydar Radjavi y Peter Rosenthal (marzo de 1982). "El problema del subespacio invariante". El inteligente matemático . 4 (1): 33–37. doi :10.1007/BF03022994. S2CID  122811130.
20. Página 401 en Foiaş, Ciprian; Jung, Il Bong; Ko, Eungil; Pearcy, Carl (2005). "Sobre operadores cuasinilpotentes. III". Revista de teoría del operador . 54 (2): 401–414.. El método de Enflo de "vectores mínimos" ("hacia adelante") también se menciona en la revisión de este artículo de investigación de Gilles Cassier en Mathematical Reviews : MR 2186363 El método de Enflo de vector mínimo se describe con mayor detalle en un artículo de estudio sobre el problema del subespacio invariante de Enflo y Victor Lomonosov , que aparece en el Handbook of the Geometry of Banach Spaces (2001).
21. Schmidt, página 257.
22. Montgomery. Schmidt. Beauzamy y Enflo. Beauzamy, Bombieri, Enflo y Montgomery
23. Bombieri y Gubler
24. Knuth. Beauzamy, Enflo y Wang.
25. El modelo para la evolución de la genética de poblaciones humanas (desarrollado por Enflo y sus coautores) apareció en la portada de un importante periódico sueco. Jensfelt, Annika (14 de enero de 2001). "Ny brandfackla tänder debatten om manniskans ursprung". Svenska Dagbladet (en sueco): 1.
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Fuentes externas

• Biografía de Per Enflo en Canisius College
• Página de inicio de Per Enflo en la Universidad Estatal de Kent
• Enflo, Per (25 de abril de 2011). "Notas personales, en mis propias palabras". perenflo.com. Archivado desde el original el 26 de abril de 2012 . Consultado el 13 de diciembre de 2011 .

• Per Enflo en el Proyecto de Genealogía de Matemáticas