Compacto de Banach-Mazur

Concept in functional analysis

En el estudio matemático del análisis funcional , la distancia de Banach-Mazur es una forma de definir una distancia en el conjunto de espacios normados de dimensión . Con esta distancia, el conjunto de clases de isometría de espacios normados de dimensión , se convierte en un espacio métrico compacto , llamado compactum de Banach-Mazur . ${\displaystyle Q(n)}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$

Definiciones

Si y son dos espacios normados de dimensión finita con la misma dimensión, sea que denotemos la colección de todos los isomorfismos lineales . Denotemos por la norma del operador de tal función lineal —el factor máximo por el cual "alarga" vectores. La distancia de Banach-Mazur entre y se define por ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \operatorname {GL} (X,Y)}$ ${\displaystyle T:X\to Y.}$ ${\displaystyle \|T\|}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ $${\displaystyle \delta (X,Y)=\log {\Bigl (}\inf \left\{\left\|T\right\|\left\|T^{-1}\right\|:T\in \operatorname {GL} (X,Y)\right\}{\Bigr )}.}$$

Tenemos si y solo si los espacios y son isométricamente isomorfos. Equipado con la métrica δ , el espacio de clases de isometría de espacios normados de dimensión - se convierte en un espacio métrico compacto , llamado compactum de Banach-Mazur. ${\displaystyle \delta (X,Y)=0}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle n}$

Muchos autores prefieren trabajar con la distancia multiplicativa de Banach-Mazur para la cual y $${\displaystyle d(X,Y):=\mathrm {e} ^{\delta (X,Y)}=\inf \left\{\left\|T\right\|\left\|T^{-1}\right\|:T\in \operatorname {GL} (X,Y)\right\},}$$ ${\displaystyle d(X,Z)\leq d(X,Y)\,d(Y,Z)}$ ${\displaystyle d(X,X)=1.}$

Propiedades

El teorema de F. John sobre el elipsoide máximo contenido en un cuerpo convexo da la estimación:

${\displaystyle d(X,\ell _{n}^{2})\leq {\sqrt {n}},\,}$ ^[1]

donde denota con la norma euclidiana (ver el artículo sobre espacios ). ${\displaystyle \ell _{n}^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle L^{p}}$

De esto se sigue que para todos Sin embargo, para los espacios clásicos, este límite superior para el diámetro de está lejos de ser alcanzado. Por ejemplo, la distancia entre y es (solo) de orden (hasta una constante multiplicativa independiente de la dimensión ). ${\displaystyle d(X,Y)\leq n}$ ${\displaystyle X,Y\in Q(n).}$ ${\displaystyle Q(n)}$ ${\displaystyle \ell _{n}^{1}}$ ${\displaystyle \ell _{n}^{\infty }}$ ${\displaystyle n^{1/2}}$ ${\displaystyle n}$

Un logro importante en la dirección de la estimación del diámetro de se debe a E. Gluskin, quien demostró en 1981 que el diámetro (multiplicativo) del compacto de Banach-Mazur está limitado por debajo de para algún valor universal. ${\displaystyle Q(n)}$ ${\displaystyle c\,n,}$ ${\displaystyle c>0.}$

El método de Gluskin introduce una clase de politopos aleatorios simétricos en y los espacios normados que tienen como unidad la bola (el espacio vectorial es y la norma es el calibre de ). La prueba consiste en mostrar que la estimación requerida es verdadera con gran probabilidad para dos copias independientes del espacio normado. ${\displaystyle P(\omega )}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}$ ${\displaystyle X(\omega )}$ ${\displaystyle P(\omega )}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle P(\omega )}$ ${\displaystyle X(\omega ).}$

${\displaystyle Q(2)}$es un extensor absoluto. ^[2] Por otra parte, no es homeomorfo a un cubo de Hilbert . ${\displaystyle Q(2)}$

Véase también

• Espacio compacto  – Tipo de espacio matemático
• Grupo lineal general  – Grupo de matrices invertibles n × n

Notas

1. Cubo
2. "El compactum de Banach-Mazur no es homeomorfo al cubo de Hilbert" (PDF) . www.iop.org .

Referencias

• Giannopoulos, AA (2001) [1994], "Compactum de Banach-Mazur", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
• Gluskin, Efim D. (1981). "El diámetro del compacto de Minkowski es aproximadamente igual a n (en ruso)". Funktsional. Anal. I Prilozhen . 15 (1): 72–73. doi :10.1007/BF01082381. MR  0609798. S2CID  123649549.
• Tomczak-Jaegermann, Nicole (1989). Distancias de Banach-Mazur e ideales de operadores de dimensión finita . Pitman Monographs and Surveys in Pure and Applied Mathematics 38. Longman Scientific & Technical, Harlow; coeditado en los Estados Unidos con John Wiley & Sons, Inc., Nueva York. pp. xii+395. ISBN 0-582-01374-7.Sr .  0993774.
• Compacto de Banach-Mazur
• Una nota sobre la distancia de Banach-Mazur al cubo
• El compactum de Banach-Mazur es la compactificación de Alexandroff de una variedad de cubo de Hilbert