El quinto problema de Hilbert es el quinto problema matemático de la lista de problemas publicada en 1900 por el matemático David Hilbert , y se refiere a la caracterización de grupos de Lie .
La teoría de los grupos de Lie describe la simetría continua en matemáticas; Su importancia allí y en la física teórica (por ejemplo, la teoría de los quarks ) creció de manera constante en el siglo XX. En términos generales, la teoría de grupos de Lie es el terreno común de la teoría de grupos y la teoría de variedades topológicas . La pregunta que hizo Hilbert fue aguda para precisar esto: ¿hay alguna diferencia si se impone una restricción a variedades suaves ?
La respuesta esperada fue negativa (los grupos clásicos , los ejemplos más centrales de la teoría de grupos de Lie, son variedades suaves). Esto finalmente se confirmó a principios de los años cincuenta. Dado que Hilbert no disponía de la noción precisa de "múltiple", hay lugar para cierto debate sobre la formulación del problema en el lenguaje matemático contemporáneo.
Una formulación moderna del problema (en su interpretación más simple) es la siguiente: [1]
Una formulación equivalente de este problema más cercana a la de Hilbert, en términos de leyes de composición, es la siguiente: [2]
De esta forma, el problema fue resuelto por Montgomery-Zippin y Gleason.
Una interpretación más fuerte (ver a G como un grupo de transformación en lugar de un grupo abstracto) da como resultado la conjetura de Hilbert-Smith sobre acciones grupales en variedades, que en general todavía está abierta. Es conocido clásicamente por acciones en variedades bidimensionales y recientemente John Pardon lo resolvió para tres dimensiones .
El primer resultado importante fue el de John von Neumann en 1933, [3] dando una respuesta afirmativa para grupos compactos . El caso del grupo abeliano localmente compacto fue resuelto en 1934 por Lev Pontryagin . La resolución final, al menos en la interpretación de lo que Hilbert quiso decir antes, llegó con el trabajo de Andrew Gleason , Deane Montgomery y Leo Zippin en la década de 1950.
En 1953, Hidehiko Yamabe obtuvo más resultados sobre grupos topológicos que pueden no ser múltiples: [a]
De ello se deduce que cada grupo localmente compacto contiene un subgrupo abierto que es un límite proyectivo de los grupos de Lie, según el teorema de van Dantzig (este último enunciado se llama teorema de Gleason-Yamabe en Tao (2014, teorema 1.1.17)).
Una condición importante en la teoría es que no haya subgrupos pequeños . Se dice que un grupo topológico G , o una parte parcial de un grupo como F arriba, no tiene subgrupos pequeños si hay una vecindad N de e que no contiene ningún subgrupo mayor que { e } . Por ejemplo, el grupo circular satisface la condición, mientras que los p -enteros ádicos Z p como grupo aditivo no la cumplen, porque N contendrá los subgrupos: p k Z p , para todos los enteros grandes k . Esto da una idea de cuál es la dificultad del problema. En el caso de la conjetura de Hilbert-Smith, se trata de una reducción conocida de si Z p puede actuar fielmente en una variedad cerrada . Gleason, Montgomery y Zippin caracterizaron a los grupos de Lie entre los grupos localmente compactos , como aquellos que no tienen subgrupos pequeños.
Los investigadores también han considerado el quinto problema de Hilbert sin suponer una dimensión finita . Este fue el tema de la tesis doctoral de Per Enflo ; su trabajo se analiza en Benyamini & Lindenstrauss (2000, capítulo 17).