Per H. Enflo ( sueco: [ˈpæːr ˈěːnfluː] ; nacido el 20 de mayo de 1944) es un matemático sueco que trabaja principalmente en análisis funcional , campo en el que resolvió problemas que se habían considerado fundamentales. Tres de estos problemas habían estado abiertos durante más de cuarenta años: [1]
El quinto problema de Hilbert y las incrustaciones.
En la Universidad de Estocolmo, Hans Rådström sugirió que Enflo considerara el quinto problema de Hilbert con el espíritu del análisis funcional. [4] En dos años, 1969-1970, Enflo publicó cinco artículos sobre el quinto problema de Hilbert; Estos artículos están recopilados en Enflo (1970), junto con un breve resumen. Algunos de los resultados de estos artículos se describen en Enflo (1976) y en el último capítulo de Benyamini y Lindenstrauss .
Sin embargo, tales técnicas de inclusión tienen limitaciones, como lo muestra el teorema de Enflo (1969): [5]
Para cada , el cubo de Hamming no puede incrustarse con "distorsión " (o menos) en un espacio euclidiano de dimensiones si . En consecuencia, la incrustación óptima es la incrustación natural, que se presenta como un subespacio del espacio euclidiano de dimensiones. [6]
Este teorema, "encontrado por Enflo [1969], es probablemente el primer resultado que muestra una distorsión ilimitada para incrustaciones en espacios euclidianos . Enflo consideró el problema de la incrustabilidad uniforme entre espacios de Banach , y la distorsión fue un recurso auxiliar en su prueba". [7]
Geometría de los espacios de Banach
Un espacio uniformemente convexo es un espacio de Banach de modo que, para cada uno hay algo de modo que para dos vectores cualesquiera con y
implica que
Intuitivamente, el centro de un segmento de línea dentro de la bola unitaria debe estar profundamente dentro de la bola unitaria, a menos que el segmento sea corto.
El problema de base fue planteado por Stefan Banach en su libro Teoría de los operadores lineales . Banach preguntó si cada espacio separable de Banach tiene una base de Schauder .
Una base de Schauder o base contable es similar a la base habitual (Hamel) de un espacio vectorial ; la diferencia es que para las bases de Hamel usamos combinaciones lineales que son sumas finitas , mientras que para las bases de Schauder pueden ser sumas infinitas . Esto hace que las bases de Schauder sean más adecuadas para el análisis de espacios vectoriales topológicos de dimensión infinita, incluidos los espacios de Banach .
Las bases de Schauder fueron descritas por Juliusz Schauder en 1927. [10] [11] Sea V un espacio de Banach sobre el campo F. Una base de Schauder es una secuencia ( b n ) de elementos de V tal que para cada elemento v ∈ V existe una secuencia única (α n ) de elementos en F de modo que
Banach y otros matemáticos polacos trabajarían en problemas matemáticos en el Café Escocés . Cuando un problema era especialmente interesante y su solución parecía difícil, el problema se anotaba en el libro de problemas, que pronto pasó a ser conocido como el Libro Escocés . Para problemas que parecían especialmente importantes o difíciles, o ambas cosas, el proponente del problema a menudo se comprometía a otorgar un premio por su solución.
El 6 de noviembre de 1936, Stanislaw Mazur planteó el problema de representar funciones continuas. Al escribir formalmente el problema 153 en el Libro escocés , Mazur prometió como recompensa un "ganso vivo", un precio especialmente alto durante la Gran Depresión y en vísperas de la Segunda Guerra Mundial .
Poco después, se comprendió que el problema de Mazur estaba estrechamente relacionado con el problema de Banach sobre la existencia de bases de Schauder en espacios separables de Banach. La mayoría de los demás problemas del Libro escocés se resolvían periódicamente. Sin embargo, hubo pocos avances en el problema de Mazur y en algunos otros problemas, que se convirtieron en famosos problemas abiertos a los matemáticos de todo el mundo. [12]
La formulación de Grothendieck del problema de aproximación.
En una larga monografía, Grothendieck demostró que si cada espacio de Banach tuviera la propiedad de aproximación, entonces cada espacio de Banach tendría una base de Schauder. Grothendieck centró así la atención de los analistas funcionales en decidir si cada espacio de Banach tiene la propiedad de aproximación. [13]
La solución de Enflo
En 1972, Per Enflo construyó un espacio de Banach separable que carece de la propiedad de aproximación y de una base de Schauder. [14] En 1972, Mazur otorgó un ganso vivo a Enflo en una ceremonia en el Centro Stefan Banach de Varsovia ; La ceremonia de la "recompensa de la oca" se retransmitió por toda Polonia . [15]
Enflo propuso una solución al problema del subespacio invariante en 1975, publicando un esquema en 1976. Enflo presentó el artículo completo en 1981 y la complejidad y extensión del artículo retrasaron su publicación hasta 1987 [16]. El largo "manuscrito" de Enflo tuvo circulación mundial entre matemáticos" [17] y algunas de sus ideas fueron descritas en publicaciones además de Enflo (1976). [18] [19] Las obras de Enflo inspiraron una construcción similar de un operador sin un subespacio invariante, por ejemplo por Beauzamy, quien reconoció las ideas de Enflo. [dieciséis]
Desigualdades multiplicativas para polinomios homogéneos
Una idea esencial en la construcción de Enflo fue la " concentración de polinomios en grados bajos ": para todos los números enteros positivos y , existe tal que para todos los polinomios homogéneos y de grados y (en variables), entonces
donde denota la suma de los valores absolutos de los coeficientes de . Enflo demostró que no depende del número de variables . La prueba original de Enflo fue simplificada por Montgomery . [21]
donde usamos la siguiente notación: if , escribimos y y
La propiedad más notable de esta norma es la desigualdad de Bombieri:
Sean dos polinomios homogéneos respectivamente de grado y con variables, entonces se cumple la siguiente desigualdad:
En la afirmación anterior, la desigualdad de Bombieri es la desigualdad del lado izquierdo; la desigualdad del lado derecho significa que la norma de Bombieri es una norma del álgebra de polinomios bajo multiplicación.
La desigualdad de Bombieri implica que el producto de dos polinomios no puede ser arbitrariamente pequeño, y este límite inferior es fundamental en aplicaciones como la factorización polinomial (o en la construcción de Enflo de un operador sin un subespacio invariante).
Hoy en día, todos los humanos pertenecen a una población de Homo sapiens sapiens , que está dividida por barreras de especies. Sin embargo, según el modelo "Fuera de África" esta no es la primera especie de homínidos: la primera especie del género Homo , Homo habilis , evolucionó en África Oriental hace al menos 2 Ma, y miembros de esta especie poblaron diferentes partes de África en un tiempo relativamente corto. El Homo erectus evolucionó hace más de 1,8 Ma, y hacia 1,5 Ma se había extendido por todo el Viejo Mundo .
Los antropólogos han estado divididos en cuanto a si la población humana actual evolucionó como una población interconectada (como lo postula la hipótesis de la Evolución Multirregional ), o evolucionó sólo en África Oriental, se especificó y luego emigró fuera de África y reemplazó a las poblaciones humanas en Eurasia (llamadas " Fuera de África" o el Modelo de "Reemplazo Completo").
Los neandertales y los humanos modernos coexistieron en Europa durante varios miles de años, pero la duración de este período es incierta. [26] Es posible que los humanos modernos hayan emigrado por primera vez a Europa hace 40-43.000 años. [27] Los neandertales pueden haber vivido hace tan solo 24.000 años en refugios en la costa sur de la península Ibérica, como la Cueva de Gorham . [28] [29] Se ha sugerido la interestratificación de restos humanos modernos y de neandertales, [30] pero se discute. [31]
Un niño prodigio tanto en música como en matemáticas, Enflo ganó el concurso sueco para jóvenes pianistas a los 11 años en 1956, y ganó el mismo concurso en 1961. [37] A los 12 años, Enflo apareció como solista con la Royal Opera Orchestra de Suecia. Debutó en la Sala de Conciertos de Estocolmo en 1963. Entre los profesores de Enflo se encontraban Bruno Seidlhofer , Géza Anda y Gottfried Boon (quien fue alumno de Arthur Schnabel). [36]
Enflo actúa regularmente en Kent y en una serie de Mozart en Columbus, Ohio (con la Triune Festival Orchestra). Sus recitales de piano solo han aparecido en Classics Network de la estación de radio WOSU , patrocinada por la Universidad Estatal de Ohio . [36]
Referencias
Notas
^ Página 586 en Halmos 1990.
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↑ El propio Rådström había publicado varios artículos sobre el quinto problema de Hilbert desde el punto de vista de la teoría de semigrupos . Rådström también fue asesor (inicial) de Martin Ribe, quien escribió una tesis sobre espacios lineales métricos que no necesitan ser localmente convexos; Ribe también utilizó algunas de las ideas de Enflo sobre geometría métrica , especialmente "redondez", para obtener resultados independientes en incrustaciones uniformes y de Lipschitz (Benyamini y Lindenstrauss). Esta referencia también describe los resultados de Enflo y sus estudiantes en dichas incrustaciones.
^ La "sensación" de Enflo se analiza en la página 287 de Pietsch, Albrecht (2007). Historia de los espacios de Banach y operadores lineales. Boston, MA: Birkhäuser Boston, Inc. págs. xxiv+855 págs. ISBN 978-0-8176-4367-6. SEÑOR 2300779.Las introducciones a la solución de Enflo fueron escritas por Halmos, Johnson, Kwapień, Lindenstrauss y Tzafriri, Nedevski y Trojanski, y Singer.
^ Kałuża, Sajonia, Eggleton, Mauldin.
^ ab Beauzamy 1988; Yadav.
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^ Schmidt, página 257.
^ Montgomery. Schmidt. Beauzamy y Enflo. Beauzamy, Bombieri, Enflo y Montgomery
^ Bombieri y Gubler
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Página de inicio de Per Enflo en la Universidad Estatal de Kent
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