Propiedad de aproximación

Concepto matemático

La construcción de un espacio Banach sin la propiedad de aproximación le valió a Per Enflo un ganso vivo en 1972, lo que Stanisław Mazur (izquierda) había prometido en 1936. ^[1]

En matemáticas , específicamente en análisis funcional , se dice que un espacio de Banach tiene la propiedad de aproximación (PA) si cada operador compacto es un límite de operadores de rango finito . La inversa siempre es cierta.

Todo espacio de Hilbert posee esta propiedad. Sin embargo, existen espacios de Banach que no la poseen; Per Enflo publicó el primer contraejemplo en un artículo de 1973. Sin embargo, Grothendieck (1955) realizó mucho trabajo en esta área .

Posteriormente se encontraron muchos otros contraejemplos. El espacio de operadores acotados en un espacio de Hilbert de dimensión infinita no tiene la propiedad de aproximación. ^[2] Los espacios para y (véase Espacio de sucesiones ) tienen subespacios cerrados que no tienen la propiedad de aproximación. ${\displaystyle {\mathcal {L}}(H)}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \ell ^{p}}$ ${\displaystyle p\neq 2}$ ${\displaystyle c_{0}}$

Definición

Se dice que un espacio vectorial topológico localmente convexo X tiene la propiedad de aproximación , si el mapa identidad puede aproximarse, uniformemente en conjuntos precompactos , mediante mapas lineales continuos de rango finito. ^[3]

Para un espacio localmente convexo X , las siguientes son equivalentes: ^[3]

1. X tiene la propiedad de aproximación;
2. el cierre de in contiene el mapa de identidad ; ${\displaystyle X^{\prime }\otimes X}$ ${\displaystyle \operatorname {L} _{p}(X,X)}$ ${\displaystyle \operatorname {Id} :X\to X}$
3. ${\displaystyle X^{\prime }\otimes X}$es denso en ; ${\displaystyle \operatorname {L} _{p}(X,X)}$
4. para cada espacio localmente convexo Y , es denso en ; ${\displaystyle X^{\prime }\otimes Y}$ ${\displaystyle \operatorname {L} _{p}(X,Y)}$
5. para cada espacio localmente convexo Y , es denso en ; ${\displaystyle Y^{\prime }\otimes X}$ ${\displaystyle \operatorname {L} _{p}(Y,X)}$

donde denota el espacio de operadores lineales continuos de X a Y dotados de la topología de convergencia uniforme en subconjuntos precompactos de X . ${\displaystyle \operatorname {L} _{p}(X,Y)}$

Si X es un espacio de Banach, este requisito se convierte en que para cada conjunto compacto y cada , existe un operador de rango finito tal que , para cada . ${\displaystyle K\subset X}$ ${\displaystyle \varepsilon >0}$ ${\displaystyle T\colon X\to X}$ ${\displaystyle \|Tx-x\|\leq \varepsilon }$ ${\displaystyle x\in K}$

Definiciones relacionadas

Se estudian otros sabores del AP:

Sea un espacio de Banach y sea . Decimos que X tiene la propiedad de -aproximación ( -AP ), si, para cada conjunto compacto y cada , existe un operador de rango finito tal que , para cada , y . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle 1\leq \lambda <\infty }$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle K\subset X}$ ${\displaystyle \varepsilon >0}$ ${\displaystyle T\colon X\to X}$ ${\displaystyle \|Tx-x\|\leq \varepsilon }$ ${\displaystyle x\in K}$ ${\displaystyle \|T\|\leq \lambda }$

Se dice que un espacio de Banach tiene propiedad de aproximación acotada ( PAA ), si tiene la -PA para algún . ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \lambda }$

Se dice que un espacio de Banach tiene propiedad de aproximación métrica ( MAP ), si es 1-AP.

Se dice que un espacio de Banach tiene propiedad de aproximación compacta ( CAP ), si en la definición de AP un operador de rango finito se reemplaza por un operador compacto.

Ejemplos

• Todo subespacio de un producto arbitrario de espacios de Hilbert posee la propiedad de aproximación. ^[3] En particular,
  • Todo espacio de Hilbert tiene la propiedad de aproximación.
  • Todo límite proyectivo de los espacios de Hilbert, así como cualquier subespacio de dicho límite proyectivo, posee la propiedad de aproximación. ^[3]
  • Todo espacio nuclear posee la propiedad de aproximación.
• Todo espacio de Frechet separable que contiene una base de Schauder posee la propiedad de aproximación. ^[3]
• Todo espacio con base de Schauder tiene el AP (podemos utilizar las proyecciones asociadas a la base como las de la definición), por lo que se pueden encontrar muchos espacios con el AP. Por ejemplo, los espacios , o el espacio simétrico de Tsirelson . ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \ell ^{p}}$

Referencias

1. Megginson, Robert E. Introducción a la teoría del espacio de Banach, pág. 336
2. Szankowski, A.: B(H) no tiene la propiedad de aproximación. Acta Math. 147, 89-108(1981).
3. Schaefer y Wolff 1999, págs. 108-115.

Bibliografía

• Bartle, RG (1977). "MR0402468 (53 #6288) (Reseña de "Un contraejemplo del problema de aproximación en espacios de Banach" de Per Enflo, Acta Mathematica 130 (1973), 309–317)". Reseñas matemáticas . MR  0402468.
• Enflo, P. : Un contraejemplo de la propiedad de aproximación en espacios de Banach. Acta Math. 130, 309–317(1973).
• Grothendieck, A .: Produits tensoriels topologiques et espaces nucleaires . Memorándum. América. Matemáticas. Soc. 16 (1955).
• Halmos, Paul R. (1978). "Bases de Schauder". American Mathematical Monthly . 85 (4): 256–257. doi :10.2307/2321165. JSTOR  2321165. MR  0488901.
• Paul R. Halmos , “¿Se ha ralentizado el progreso de las matemáticas?”, Amer. Math. Monthly 97 (1990), núm. 7, 561-588. MR 1066321
• William B. Johnson "Espacios de Banach separables y complementablemente universales" en Robert G. Bartle (ed.), 1980 Estudios en análisis funcional , Mathematical Association of America.
• Kwapień, S. "Sobre el ejemplo de Enflo de un espacio de Banach sin la propiedad de aproximación". Séminaire Goulaouic-Schwartz 1972—1973: Équations aux dérivées partielles et analyse fonctionnelle, Exp. N° 8, 9 págs. Centre de Math., École Polytech., París, 1973. MR 407569
• Lindenstrauss, J. ; Tzafriri, L.: Espacios de Banach clásicos I, Espacios de secuencias, 1977.
• Nedevski, P.; Trojanski, S. (1973). "P. Enflo resolvió en negativo el problema de Banach sobre la existencia de una base para cada espacio de Banach separable". Fiz.-Mat. Spis. Bulgar. Akad. Nauk . 16 (49): 134–138. MR  0458132.
• Pietsch, Albrecht (2007). Historia de los espacios de Banach y los operadores lineales. Boston, MA: Birkhäuser Boston, Inc. pp. xxiv+855 pp. ISBN 978-0-8176-4367-6.Sr. 2300779  .
• Karen Saxe , Análisis funcional inicial , Textos de pregrado en matemáticas , 2002 Springer-Verlag, Nueva York.
• Schaefer, Helmut H. ; Wolff, MP (1999). Espacios vectoriales topológicos . GTM . Vol. 3. Nueva York: Springer-Verlag . ISBN 9780387987262.
• Cantante, Iván. Bases en espacios de Banach. II . Editura Academiei Republicii Socialiste România, Bucarest; Springer-Verlag, Berlín-Nueva York, 1981. viii+880 págs.  ISBN 3-540-10394-5 . Señor 610799