En matemáticas , la conjetura de Hilbert-Smith se ocupa de los grupos de transformación de variedades ; y en particular de las limitaciones de los grupos topológicos G que pueden actuar eficazmente (fielmente) sobre una variedad (topológica) M. Restringida a los grupos G que son localmente compactos y tienen una acción de grupo continua y fiel sobre M , la conjetura establece que G debe ser un grupo de Lie .
Debido a los resultados estructurales conocidos sobre G , es suficiente tratar el caso en que G es el grupo aditivo de los enteros p-ádicos , para algún número primo p . Una forma equivalente de la conjetura es que no tiene acción de grupo fiel sobre una variedad topológica.
El nombre de la conjetura se debe a David Hilbert y al topólogo estadounidense Paul A. Smith . [1] Algunos la consideran una mejor formulación del quinto problema de Hilbert que la caracterización en la categoría de grupos topológicos de los grupos de Lie a menudo citados como solución.
En 1997, Dušan Repovš y Evgenij Ščepin demostraron la conjetura de Hilbert-Smith para grupos que actúan mediante mapas de Lipschitz en una variedad de Riemann utilizando teoría de dimensión de recubrimiento , fractal y cohomológica . [2]
En 1999, Gaven Martin extendió su argumento de teoría de la dimensión a las acciones cuasiconformales en una variedad de Riemann y dio aplicaciones relacionadas con la continuación analítica única para los sistemas de Beltrami. [3]
En 2013, John Pardon demostró el caso tridimensional de la conjetura de Hilbert-Smith. [4]
