En matemáticas , la geometría diofántica es el estudio de las ecuaciones diofánticas mediante métodos poderosos de geometría algebraica . En el siglo XX, quedó claro para algunos matemáticos que los métodos de geometría algebraica son herramientas ideales para estudiar estas ecuaciones. [1] La geometría diofántica es parte del campo más amplio de la geometría aritmética .
Cuatro teoremas de la geometría diofántica que son de importancia fundamental incluyen: [2]
Serge Lang publicó un libro Diophantine Geometry en el área en 1962, y con este libro acuñó el término "geometría diofántica". [1] La disposición tradicional del material sobre ecuaciones diofánticas era por grado y número de variables , como en Diophantine Equations de Mordell (1969). El libro de Mordell comienza con una observación sobre ecuaciones homogéneas f = 0 sobre el cuerpo racional , atribuida a CF Gauss , que existen soluciones distintas de cero en números enteros (incluso puntos reticulares primitivos) si existen soluciones racionales distintas de cero, y señala una advertencia de LE Dickson , que trata sobre soluciones paramétricas. [3] El resultado de Hilbert - Hurwitz de 1890 que reduce la geometría diofántica de curvas de género 0 a grados 1 y 2 ( secciones cónicas ) aparece en el Capítulo 17, al igual que la conjetura de Mordell . El teorema de Siegel sobre puntos integrales aparece en el Capítulo 28. El teorema de Mordell sobre la generación finita del grupo de puntos racionales en una curva elíptica aparece en el Capítulo 16, y los puntos enteros en la curva de Mordell en el Capítulo 26.
En una reseña hostil del libro de Lang, Mordell escribió:
En los últimos tiempos se han desarrollado nuevas e importantes ideas y métodos geométricos mediante los cuales se han descubierto y demostrado nuevos e importantes teoremas aritméticos y resultados relacionados, algunos de los cuales no se pueden demostrar fácilmente de otro modo. Además, ha habido una tendencia a revestir los viejos resultados, sus extensiones y demostraciones con el nuevo lenguaje geométrico. Sin embargo, a veces las implicaciones completas de los resultados se describen mejor en un contexto geométrico. Lang tiene muy presentes estos aspectos en este libro y parece no perder oportunidad de presentarlos geométricamente. Esto explica su título "Geometría diofántica". [4]
Señala que el contenido del libro es en gran parte versiones del teorema de Mordell-Weil , el teorema de Thue-Siegel-Roth y el teorema de Siegel, con un tratamiento del teorema de irreducibilidad de Hilbert y aplicaciones (al estilo de Siegel). Dejando de lado los problemas de generalidad y un estilo completamente diferente, la principal diferencia matemática entre los dos libros es que Lang utilizó variedades abelianas y ofreció una prueba del teorema de Siegel, mientras que Mordell señaló que la prueba "es de un carácter muy avanzado" (p. 263).
A pesar de la mala prensa inicial, la concepción de Lang ha sido lo suficientemente aceptada como para que en 2006 se le hiciera un homenaje y se calificara al libro de «visionario». [5] Un campo más amplio, a veces llamado aritmética de variedades abelianas , ahora incluye la geometría diofántica junto con la teoría de campos de clases , la multiplicación compleja , las funciones zeta locales y las funciones L. [6] Paul Vojta escribió:
Una única ecuación define una hipersuperficie , y ecuaciones diofánticas simultáneas dan lugar a una variedad algebraica general V sobre K ; la pregunta típica es sobre la naturaleza del conjunto V ( K ) de puntos en V con coordenadas en K , y por medio de funciones de altura , se pueden plantear preguntas cuantitativas sobre el "tamaño" de estas soluciones, así como las cuestiones cualitativas de si existen puntos y, de ser así, si hay un número infinito. Dado el enfoque geométrico, la consideración de ecuaciones homogéneas y coordenadas homogéneas es fundamental, por las mismas razones que la geometría proyectiva es el enfoque dominante en la geometría algebraica. Por lo tanto, las soluciones de números racionales son la consideración principal; pero las soluciones integrales (es decir, los puntos reticulares ) se pueden tratar de la misma manera que una variedad afín puede considerarse dentro de una variedad proyectiva que tiene puntos adicionales en el infinito .
El enfoque general de la geometría diofántica se ilustra con el teorema de Faltings (una conjetura de L. J. Mordell ), que establece que una curva algebraica C de género g > 1 sobre los números racionales tiene sólo un número finito de puntos racionales . El primer resultado de este tipo puede haber sido el teorema de Hilbert y Hurwitz que trata el caso g = 0. La teoría consta tanto de teoremas como de muchas conjeturas y preguntas abiertas.