Teorema de irreductibilidad de Hilbert

Resultado en teoría de números, sobre polinomios irreducibles.

En teoría de números , el teorema de irreducibilidad de Hilbert , concebido por David Hilbert en 1892, establece que todo conjunto finito de polinomios irreducibles en un número finito de variables y que tienen coeficientes de números racionales admiten una especialización común de un subconjunto propio de las variables en números racionales tales que todos los polinomios siguen siendo irreducibles. Este teorema es un teorema destacado en la teoría de números.

Formulación del teorema.

Teorema de irreductibilidad de Hilbert. Dejar

${\displaystyle f_{1}(X_{1},\ldots ,X_{r},Y_{1},\ldots ,Y_{s}),\ldots ,f_{n}(X_{1},\ldots ,X_{r},Y_{1},\ldots ,Y_{s})}$

ser polinomios irreducibles en el anillo

${\displaystyle \mathbb {Q} (X_{1},\ldots ,X_{r})[Y_{1},\ldots ,Y_{s}].}$

Entonces existe una r -tupla de números racionales ( a ₁ , ..., a _r ) tal que

${\displaystyle f_{1}(a_{1},\ldots ,a_{r},Y_{1},\ldots ,Y_{s}),\ldots ,f_{n}(a_{1},\ldots ,a_{r},Y_{1},\ldots ,Y_{s})}$

son irreductibles en el ring

${\displaystyle \mathbb {Q} [Y_{1},\ldots ,Y_{s}].}$

Observaciones.

• Del teorema se deduce que hay infinitas r -tuplas. De hecho, el conjunto de todas las especializaciones irreducibles, llamado conjunto de Hilbert, es grande en muchos sentidos. Por ejemplo, este conjunto es Zariski denso en ${\displaystyle \mathbb {Q} ^{r}.}$
• Siempre hay (infinitas) especializaciones de enteros, es decir, la afirmación del teorema se cumple incluso si exigimos que ( _{a 1, ..., ar} ) _sean números enteros .
• Hay muchos campos hilbertianos , es decir, campos que satisfacen el teorema de irreductibilidad de Hilbert. Por ejemplo, los campos numéricos son hilbertianos. ^[1]
• La propiedad de especialización irreducible establecida en el teorema es la más general. Hay muchas reducciones, por ejemplo, basta con incluir la definición. Un resultado de Bary-Soroker muestra que para que un campo K sea hilbertiano basta considerar el caso de y absolutamente irreducible , es decir, irreducible en el anillo K ^alg [ X , Y ], donde K ^alg es la clausura algebraica de K . ${\displaystyle n=r=s=1}$ ${\displaystyle n=r=s=1}$ ${\displaystyle f=f_{1}}$

Aplicaciones

El teorema de irreductibilidad de Hilbert tiene numerosas aplicaciones en teoría de números y álgebra . Por ejemplo:

• El problema inverso de Galois , motivación original de Hilbert. El teorema implica casi inmediatamente que si un grupo finito G puede realizarse como el grupo de Galois de una extensión de Galois N de

${\displaystyle E=\mathbb {Q} (X_{1},\ldots ,X_{r}),}$

entonces puede especializarse en una extensión de Galois N ₀ de los números racionales con G como su grupo de Galois. ^[2] (Para ver esto, elija un polinomio mónico irreducible f ( X ₁ , ..., X _n , Y ) cuya raíz genera N sobre E . Si f ( a ₁ , ..., a _n , Y ) es irreductible para algún a _i , entonces una raíz del mismo generará el N ₀ afirmado ).

• Construcción de curvas elípticas de gran rango. ^[2]

• El teorema de irreductibilidad de Hilbert se utiliza como un paso en la demostración de Andrew Wiles del último teorema de Fermat .

• Si un polinomio es un cuadrado perfecto para todos los valores enteros grandes de x , entonces g(x) es el cuadrado de un polinomio en Esto se deduce del teorema de irreductibilidad de Hilbert con y ${\displaystyle g(x)\in \mathbb {Z} [x]}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} [x].}$ ${\displaystyle n=r=s=1}$

${\displaystyle f_{1}(X,Y)=Y^{2}-g(X).}$

(Existen pruebas más elementales.) El mismo resultado es cierto cuando se reemplaza "cuadrado" por "cubo", "cuarta potencia", etc.

Generalizaciones

Ha sido reformulado y generalizado extensamente, utilizando el lenguaje de la geometría algebraica . Véase conjunto delgado (Serre) .

Referencias

• D. Hilbert, "Uber die Irreducibilitat ganzer racionaler Functionen mit ganzzahligen Coficienten", J. reine angew. Matemáticas. 110 (1892) 104–129.

1. Lang (1997) p.41
2. Lang (1997) p.42

• Lang, Serge (1997). Estudio de Geometría Diofántica . Springer-Verlag . ISBN 3-540-61223-8. Zbl  0869.11051.
• JP Serre, Conferencias sobre el teorema de Mordell-Weil , Vieweg, 1989.
• MD Fried y M. Jarden, Field Arithmetic , Springer-Verlag, Berlín, 2005.
• H. Völklein, Grupos como grupos de Galois , Cambridge University Press, 1996.
• G. Malle y BH Matzat, Teoría inversa de Galois , Springer, 1999.