En matemáticas , un conjunto delgado en el sentido de Serre , llamado así por Jean-Pierre Serre , es un cierto tipo de subconjunto construido en geometría algebraica sobre un campo dado K , mediante operaciones permitidas que son en un sentido definido "improbables". Los dos fundamentales son: resolver una ecuación polinómica que puede ser así o no; resolviendo dentro de K un polinomio que no siempre se factoriza. También se permite tomar uniones finitas.
Más precisamente, sea V una variedad algebraica sobre K (los supuestos aquí son: V es un conjunto irreducible , una variedad cuasi proyectiva , y K tiene característica cero ). Un conjunto delgado de tipo I es un subconjunto de V ( K ) que no es denso en Zariski . Eso significa que se encuentra en un conjunto algebraico que es una unión finita de variedades algebraicas de dimensión inferior a d , la dimensión de V. Un conjunto delgado de tipo II es una imagen de un morfismo algebraico (esencialmente un mapeo polinómico) φ, aplicado a los K -puntos de alguna otra variedad algebraica d -dimensional V ′, que se mapea esencialmente en V como una cobertura ramificada con grado e > 1. Dicho de manera más técnica, un conjunto delgado de tipo II es cualquier subconjunto de
donde V ′ satisface los mismos supuestos que V y φ es genéricamente sobreyectivo desde el punto de vista del geómetra. Por tanto , a nivel de campos funcionales tenemos
Si bien un punto típico v de V es φ( u ) con u en V ′, de v que se encuentra en V ( K ) generalmente solo podemos concluir que las coordenadas de u provienen de resolver una ecuación de grado e sobre K . El objetivo de la teoría de conjuntos finos es entonces entender que la solubilidad en cuestión es un evento raro. Esto reformula en términos más geométricos el teorema clásico de irreductibilidad de Hilbert .
Un conjunto delgado , en general, es un subconjunto de una unión finita de conjuntos delgados de tipos I y II.
La terminología delgada puede justificarse por el hecho de que si A es un subconjunto delgado de la recta sobre Q entonces el número de puntos de A de altura como máximo H es ≪ H : el número de puntos enteros de altura como máximo H es , y este resultado es el mejor posible. [1]
Un resultado de SD Cohen, basado en el método del tamiz grande , amplía este resultado, contando puntos mediante la función de altura y mostrando, en un sentido fuerte, que un conjunto delgado contiene una proporción baja de ellos (esto se analiza detalladamente en las Conferencias de Serre sobre el teorema de Mordell-Weil ). Sea A un conjunto delgado en un espacio n afín sobre Q y sea N ( H ) el número de puntos integrales de altura ingenua como máximo H. Entonces [2]
Una variedad hilbertiana V sobre K es aquella para la cual V ( K ) no es delgada : esta es una invariante biracional de V. [3] Un campo hilbertiano K es aquel para el cual existe una variedad hilbertiana de dimensión positiva sobre K : [3] el término fue introducido por Lang en 1962. [4] Si K es hilbertiano, entonces la línea proyectiva sobre K es hilbertiana, por lo que esto puede tomarse como definición. [5] [6]
El campo de números racionales Q es hilbertiano, porque el teorema de irreductibilidad de Hilbert tiene como corolario que la recta proyectiva sobre Q es hilbertiano: de hecho, cualquier campo de números algebraicos es hilbertiano, nuevamente por el teorema de irreductibilidad de Hilbert. [5] [7] Más generalmente, una extensión de grado finito de un campo hilbertiano es hilbertiano [8] y cualquier campo infinito finitamente generado es hilbertiano. [6]
Existen varios resultados sobre los criterios de permanencia de los campos hilbertianos. En particular, la hilbertianidad se conserva bajo extensiones finitas separables [9] y extensiones abelianas. Si N es una extensión de Galois de un campo hilbertiano, entonces, aunque N no tiene por qué ser hilbertiano en sí, los resultados de Weissauer afirman que cualquier extensión finita adecuada de N es hilbertiana. El resultado más general en esta dirección es el teorema del diamante de Haran . Una discusión sobre estos resultados y más aparece en Field Arithmetic de Fried-Jarden .
Ser hilbertiano está en el otro extremo de la escala de ser algebraicamente cerrado : los números complejos tienen todos los conjuntos delgados, por ejemplo. Ellos, junto con los otros campos locales ( números reales , números p-ádicos ), no son hilbertianos. [5]
La propiedad WWA (débil 'aproximación débil', sic ) para una variedad V sobre un campo numérico es una aproximación débil (cf. aproximación en grupos algebraicos ), para conjuntos finitos de lugares de K evitando algún conjunto finito dado. Por ejemplo, tomemos K = Q : se requiere que V ( Q ) sea denso en
para todos los productos de conjuntos finitos de números primos p , sin incluir ninguno de algún conjunto { p 1 , ..., p M } dado de una vez por todas. Ekedahl ha demostrado que WWA para V implica que V es hilbertiano. [10] De hecho, Colliot-Thélène conjetura que WWA es válida para cualquier variedad uniracional , lo que, por tanto, es una afirmación más contundente. Esta conjetura implicaría una respuesta positiva al problema inverso de Galois . [10]
